(完整版)《高等数学》专插本-2019年历年试卷(最新整理).pdf

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1、广东省 2019 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学高等数学一、单项选择题（本在题共一、单项选择题（本在题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选项符合题目分。每小题只有一个选项符合题目要求）要求）x2 x1函数f (x) 2的间断点是x x2Ax 2和x 0Cx 1和x 2Bx 2和x 1Dx 0和x 1x1, x 0f (x)x 0，则lim2设函数f (x) 2,x0cosx, x 0A等于1C等于1或2 3. 已知B等于2D不存在xf (x)dx tan xC,g(x)dx 2xC则下列等式正确的是C为任意常数，BA f (x)

2、g(x)dx 2 tanxCf (x)dx 2xtan xCg(x)Cfg(x)dx tan(2x)CDx f (x) g(x)dx tan x24下列级数收敛的是ACen11n3B( )n12n21C(n3)nn13D2n1( ) nn135已知函数f (x) ax在点x 1处取得极大值，则常数a,b应满足条件xAab 0,b 0Cab 0,b 0Bab 0,b 0Dab 0,b 0b二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） x t33t6曲线，则t 0的对应点处切线方程为y y arctant7微分方程ydx xd

3、y 0满足初始条件的y|x1 2特解为y 8若二元函数z f (x, y)的全微分dz e sin ydxe cos ydy,则xx2zyx9设平面区域D (x, y)|0 y x,0 x 1，则10已知xdxdy Dt1f (x)dx tsint(t 1)，则1f (x)dx 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）exsin x111求limx0 x2xxdy(x 0)，求12设y 2x1dx13求不定积分2 x1 x2dx14计算定积分012x 2x1dxzz和xy15设x z exyz，求16计算二重积分222

4、2ln(x y )dD (x, y)|1 x y 4，其中平面区域Dbn1(n1)417 已知级数an和bn满足0 anbn,且4,判定级数an的收敛bn3n 2n1n1n1n1性18设函数f (x)满足df (x) x,求曲线y f (x)的凹凸区间dexx0四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19已知函数(x)满足(x) 1 x（1）求(x)；（2）求由曲线y (x)和x 0,x 0t(t)dt x(t)dtx2及y 0围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体的体

5、积20设函数f (x) xln(1 x)(1 x)ln x（1）证明：f (x)在区间(0,)内单调减少；（2）比较数值20182019与20192018的大小，并说明理由；20192019 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每个空小题，每个空 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6.1x

6、7.2 8.ex13xcosy 9.3 10.三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）11.原式 limexcosxexsin xx02x limx021212.解：xxy 2x1ln y xlnxln(2x1)1yy lnx122x1dy2xxdx (lnx12x1)2x113.解：2 x1 x2dx 211 x2dx1121 x2d(1 x2) 2arctan x12ln(1 x2)C14.解：令2x1 t,则x 12t212,dx tdt2 x 1 t , x 012x121t, dx tdt221112 x 1

7、 dxt (t2) :tdt0221210( t4 t2) dt11151(tt3)253 115015.解：设f (x, y,z) x zexyz fx(x, y,z) 1 yzexyzfy(x, y,z) xzexyzfz(x, y,z) 1 xyexyzz1 yzexyzzxzexyz, x1 xyexyzy1 xyexyz16.解：由题意得1 r 2,0 ln(x2 y2)dD23(4ln 2)d0232 (4ln 2)|02(8ln 23)bn1(n1)417.解：由题意得4,bn3n 2n1bn1(n1)41lim lim41,xbx3n 2n13n由比值判别法可知bn1n收敛0

8、anbn,由比较判别法可知an也收敛n118解df (x) xxdedf (x) xdex f (x) xex f (x) ex(x1) f (x)的凹区间为(1,)，凸区间为(,1)19.（1）由题意得(x) 1 x(x)0 x(t)dt x(x) 1(t)dtx0(x) (x)(x)(x) 0特征方程r 1 0，解得r i通解为(x) cos xsin xC2(0) 1,C 0(x) cosxsin x(2)由题意得Vx2(cosxsinx)2dx02(1sin2x)dx0212(xcos2x)22020.证明（1） f (x) xln(1 x)(1 x)ln xx1 x f (x) ln

9、(1 x)ln x1 xx11 ln(1 x)ln x()1 xx证明ln(1 x)ln x(11) 0即可1 xx11)1 xx即证ln(1 x)ln x (令g(x) ln xg(x) ln x在(0,)连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1 x)ln x ln(1 x)ln x1 g(x) 1 x x且x 1 xx 1 x0 1111 xx11ln(1 x)ln x ()成立1 xx11ln(1 x)ln x() 01 xx f (x)在(0,)单调递减b2018（2）设a 2019,b 2018则a 2019,ba 20182019比较b ,a即可，假设b a即alnb blnaaba

10、b即lnblnaba设g(x) ln x1lnx,则g(x) xx2g(x)在(0,)单调递减即g(b) g(a)即ba ab成立，2019即2018 20192018广东省 2018 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学高等数学一、单项选择题（本在题共一、单项选择题（本在题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选项符合题目分。每小题只有一个选项符合题目要求）要求）1lim3xsinx01sin xxxB1D4A0C32设函数f (x)具有二阶导数，且f (0) 1,f (1)0, f (0) 1,f (1)3，则下列结论正确的是A点x 0

11、是f (x)的极小值点C点x 1是f (x)的极小值点 3. 已知5B点x 0是f (x)的极大值点D点x 1是f (x)的极大值点f (x)dx x2C,其中C为任意常数，则f (x2)dx Bx CD4Ax CC14x C223x C32(1)n4级数n3n1A2CB1D23421225已知D (x, y)|4 x y 9，则D1x y2dA2C2lnB10D4ln3232二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6已知7dyx log3t则|t1，tdxy 322(| x|sin x)dx 80e12xdx y19

12、二元函数z x2，当x e, y 0时的全微分dz |xey010微分方程x dy ydx，满足初始条件y|x11的特解为y 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）xa2,x 0 x 111确定常数a,b的值，使函数f (x) b,x 0，在点x 0处连续x21, x 0 x1ln(1 x)x0 xx212求lim13求由方程(1 y )arctan y xe所确定的隐函数的导数22xdydx14已知ln(1x )是函数f (x)的一个原函数，求xf(x)dx15求由曲线y 1x和直线y 0,x 0及x 1所围成的平

13、面图形的面积1 xz2zxy,，求,16已知二元函数z y yx1 y217求Dx1d，其中D是由直线y x和y 1,y 2及x 0所围成的闭区域yn的收敛性|sinn|2n118判定设级数四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19已知函数f (x)满足f (x)4f (x) 0,且曲线y f (x)在点(0,0)处的切线与直线y 2x1平行（1）求f (x)；（2）求由曲线y f (x)的凹凸区间与拐点20已知函数f (x) （1）求f (0)；x0cost2d

14、t（2）判断函数f (x)的奇偶性，并说明理由；(1)x3（3）证明：当x 0时，f (x) x其中 0常数3，20182018 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.B 2.C 3.D 4.C 5.A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每个空小题，每个空 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1e6.3(ln3) 7.4 8. 9.dxedy 10.ex212三、

15、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）11. 解：limf (x) limx0 x0 x a2x 1x2lim f (x) lim 1 e2x0 x0 x当a b e2时，f (x)在点x 0处连续12.解：xln(1 x)1ln(1 x)lim limx0 xx2x0 x211 lim1 xx02x11 limx02(1 x)213.解：等式两边对求导得2yarctan y(1 y2)1dy ex xex21 y dxdy(12yarctan y) (1 x)exdxdy(1 x)exdx12yarctan y14.解

16、：xf(x)dx xdf(x) xf (x)f (x)dx xln(1 x2)ln(1 x2)C2x22ln(1 x )C21 x1xx)dx 1dx01 x1 x15.解：A 10(1设x t,则x t2,dx 2tdt1x1A 1dx 12(1)dt01 x01t2112(t arctant)|10 316.解：2zx(1 y2)2xy2x(1 y2)y(1 y2)2(1 y2)22z1 y2yx(1 y2)217.解：2yxx1ddy1dx10yy2D12yx32(1)23y2yy2dy 332dy0y211118解：此级数为正项级数，且|sinn|22n1nnnlimun1xunn1n

17、1n11 lim2 lim1xx2nn2n2nn收敛，故收敛nn12n1|sinn|219. 解：（1）由f (x)4 f (x)=0得y4y=0，其特征方程r24 0的解为r 2y4y=0的通解为y C1e2xC2e2x由题意知y|x0 0,y|x0 2，C1C2 0,2C12C2 2,得C1故f (x) 11,C2 2212x2x(ee)22x (2)由题意得 f (x) ee2x, f (x) 2e2x2e2x令f (x) 0得x 0当x 0时，f (x)0，当x 0时，f (x) 0所以曲线的凹区间为(0,)，凸区间为(,0)，点(0,0)为曲线的拐点20.解：（1） f (x) co

18、sx , f (0) 1,x2（2）f (x) 0cost2dt令u t,则xxxf (x) cost2dt cosu2du cost2dt f (x)000 f (x)为奇函数(1)x3,（3）设g(x) f (x) x3(1)x2则g(x) f (x)1 cosx 12,g(x)在(0,)区间内单调递增，所以，当x 0时，g(x) g(0) 0由此知g(x)在(0,)区间内单调递增故当x 0时，g(x) g(0) f (0)(1)x3即当x 0时，f (x) x 03(1)x3所以，当x 0时，f (x) x3广东省 2017 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学高等数学一、单项选择题

19、（本在题共一、单项选择题（本在题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选项符合题目分。每小题只有一个选项符合题目要求）要求）1下列极限等式不正确的是1Alimnne 0Blimenn1Climx1x1x21 0Dlimxsin1x0 x 02若lim(1xax)x 4，则常数a Aln2B2ln2C1D43设F(x)是可导函数f (x)的一个原函数，C为任意常数，则等式不正确的是Af (x)dx f (x)CBf (x)dx f (x)Cf (x)dx F(x)CD F(x)dx f (x)C4已知函数f (x)在区间0,2上连续，且20 xf

20、 (x)dx 4，则40f ( x)dx A2B4C6D85将二次积分I 1x211dx0f (x2 y2)dy化为极坐标形式的二次积分，则I A10d10rf (r2)drB0d0f (r2)drC212210d0rf (r )drD0d0f (r2)dr二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6已知当x 0时，f (x) : 2x，则limsin6xx0f (x)7若常数p 1，则广义积分11xpdx 8设二元函数z f (x, y)的全微分dz y1x2dxxdy,则2zyx。9微分方程y9y 0的通解为y 10

21、级数1的和为n(n1)n1三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）e3x3x111求极限limx01cosx12设y x (x 0)，求y13设函数f (x) x2x1(t 1)21dt，求曲线y f (x)的凹凸区间和拐点14求不定积分xcos(x2)dx15设(x y) ztan z 0，计算16求二重积分33zzxy2xy x，其中是由曲线和直线x 1及y 0围成的有界闭区域e dDD17若曲线经过点(0,1)，且该曲线上一点(x, y)处的切线斜率为2ye，求这条曲线的方程x14n18判定级数(2)敛散性。n!

22、n1n四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19设函数f (x) 1 x1 x2（1）求曲线y f (x)的水平渐近线方程；（2）求由曲线y f (x)和直线x 0,x 1及y 0围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V20已知f (x) arctan1x1x（1）证明：当x 0时，恒有f (x) f ( ) 2；（2）试问方程f (x) x在区间(0,)内有几个实根？广东省 2016 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学高等数学一、单项选择题（本在题共一、

23、单项选择题（本在题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选项符合题目分。每小题只有一个选项符合题目要求）要求）1若函数f (x)=3xa,x 1在点x 1处连续,则常数a x1,x 1B0D2A1C12已知函数f (x)满足limA1C3f (x0 x) f (x0) 6,则f (x0) x0 xB2D 6323若点(1,2)为曲线y ax bx的拐点,则常数a与b的值应分别为A1和3C2和6B3和1D6和24设函数f (x)在区间1,1上可导，C为任意实数,则sin xf (cosx)dx Acos xf (cosx)CCf (cosx)C5

24、已知常数项级数un的部分和Snn1Bcos xf (cosx)CD f (cosx)Cn(nN*),则下列常数项级数下列级数中，发散n1的是A2un1nB(un1nun1)1C(un)nn1D3nu ( )n5n=1二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6极限lim xsinx3x7设y x,则dyx021 x2z8设二元函数z xln y,则yx9设平面区域D (x, y)| x y 1,则22。2(xD y2)d。x2 y21围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积V 10椭圆曲线4三、计算题（本大题共三、计

25、算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）11求极限lim(x01sin x3)2xxxy12求曲线3x ye2 2在点(0,1)处的切线方程13求不定积分1dx。x(1 x)114计算定积分v0 x2xdx15设z u,而u 2x y,v x,求zxx1y0和zyx1y016设平面区域D由曲线xy 1和直线y x及x 2围成,计算Dxdy217已知函数y e是微分方程y2yay 0的一个特解,求常数a的值,并求该微分方程的通解11n*18已知级数un满足un1(1) un(nN ),且u11,判定级数un的收敛性。3nn1n12x四、综合题（大

26、题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19设函数f (x) ln(1 x) x12x ,证明:2（1）当x 0时,f (x)是比x高阶的无穷小量;（2）当x 0时,f (x) 020已知定义在区间0,)上的非负可导函数f (x)满足1 f2(t)f (x) dt(x 0)01t22x（1）判断函数f (x)是否存在极值,并说明理由；（2）求f (x)20162016 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准高等数学参考答案及

27、评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.A 2.B 3.A 4.D 5.C二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每个空小题，每个空 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6.3 7.dx 8.18 9. 10.y23三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）11.lim(x01sin xxsin x1cosxsin x1) lim lim lim2332x0 x0 x0 xxx3x6x6dyxydye (y

28、 x) 0dxdx12.解：等式两边对x求导得：6xdy(1 xexy) 6x yexydxdy6x yexydy,dx1 xexydxx0y1 1故曲线在点(0,1)处切线方程为y 1 (x0)，即y x113.解：设x t，则x t2,dx 2tdt111dx 2tdt 2dt 2arcsin t C22x(1 x)t 1t1t 2arcsinx C14.解：1111xx1x0 x2 dx ln20 xd2 ln2(x2002 dx)1x1211(2) (2)ln2ln20ln2ln2x115.解：zz uz v 2vuv1uvlnuxu xv xzz uz v vuv1yu yv y又当

29、x 1,y 0时，u 2,v 1zxx1y0 22ln 2,zxx1y0116.解：2xx2xxddxdy 11xy21yy221x1xD22dx 11 xdxx3 (x)343y12x17.解：y 2e , y 4ex2x由题意知4e2x4e2xae2x 0,即ae2x 0,a 0当a 0时微分方程为y2y 0其特征方程为r 2r 0，解得r 0,r 22所以，微分方程的通解为y c1c2e2x18解由题意知，该级数为正项级数，用比值审敛法判断limun111e lim(1)n1该级数收敛xux3n3n19.证明：f (x) limx0（1）x0 xx1 lim(1 x) 0 x01 xli

30、mln(1 x) x1121 xx2 lim1 xx01所以当x 0时，f (x)是比x高阶的无穷小量11(1 x)(x1)x21 x 0，且等号仅在x 0处(2)当x 0时，f (x) 1 x1 x1 x成立所以f (x)在区间(0,)单调递增20.（1）对条件等式两边对x求导得1 f2(x)2 f (x) f (x) ,21 x21 f (x) 0, f (x) 01 x2即f (x)无驻点，故f (x)不存在极值1 y2（2）令f (x) y，则由（1）式得2yy ，且y21 xx0 0，即2y1 y2dy 11 x2dx即ln(1 y2) arctanxc由yx0 0 c 01故1 y

31、2 earctanx，因此f (x) y (earctanx1)2(x 0)广东省 2015 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学高等数学一、单项选择题（本在题共一、单项选择题（本在题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选项符合题目分。每小题只有一个选项符合题目要求）要求）231若当x0时，kx2x 3x与x是等价无穷小，则常数k A0C2B1D32已知函数f (x)在x0处有二阶导数，且f (x0)=0，Ax0为f (x)的极小值点Cx0为f (x)的极值点f (x0) 1，则下列结论正确的是Bx0为f (x)的极大值点D (x0, f

32、 (x0)是曲线y f (x)的拐点3设F(x)是f (x)的一个原函数，C为任意实数，则AF(x)CCf (2x)dx=BF(2x)CD2F(2x)C1F(2x)C224若函数f (x) 1 x kx数在区间0,1上满足罗尔（Rolle）定理的条件，则常数k A-1C15下列级数中，收敛的是B0D22An1nCn2B2n1n 1n11nD3n1( ) 2nn=14二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）6曲线y (15x)的水平渐进线为y x。7 设 函 数=8广义积分x tantdy所 确 定 ， 则y f (x)

33、由 参 数 方 程3dx t 0y t 2t。11dx=6x。9微分方程y xy 0满足初始条件yx 01的特解为y 。10设函数f (x) log2x(x 0)，则limx0f (xx) f (x)=x。三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）sin2(x1)x1,x 1x 1在点x 1处连续，求常数a和b的值。11已知函数f (x) a,xb,x 112求极限limarctan x x。x0 x3ex13设y lnx，求y。x 0e 114计算不定积分x2dx。x315求由曲线y xcos2x和直线y 0,x 0及

34、16将二次积分I 4围成的平面图形的面积。11dx1x20ex2y2dy化为极坐标形式的二次积分，并计算I的值。 2，y 0的特解。17求微分方程y2y5y 0满足初始条件yx 0 x 0n218判定级数n的收敛性。3 1n1四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19设二元函数z f (x,y) xylnx(x 0,x 1)，平面区域D (x,y)2 x e,1 y 1。（1）求全微分dz；（2）求f (x,y)d。D20已知f (x)是定义在R上的单调递减的可导

35、函数，且f (1) 2，函数F(x) x0f (t)dt x21。（1）判别曲线y F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；（2）证明：方程F(x) 0在区间(0,1)内有且仅有一个实根。20152015 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1B2A3C4C5D二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每个空小题，每个空 3 3 分，共分，共 1515 分）分）126e57281

36、2x59e101xln2三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）11解：lim f (xsin2(x1)sin2(x1)x1)limx1x1 limx12(x1)2 2，xlim1f (x) lim(x1xb) 1b，f (1) a，当a 1b 2，即a 2,b 1时，f (x)在x 1处连续。112解法一：limarctan x x21x0 x3 lim1 xx203x2x =lim(1 x2)2x06x 13lim1x0(1 x2)2 13。1解法二：limarctanx x21x0 x3 lim1 xx03x2（

37、3 分）4 分）6 分）3 分）6 分）3 分）（ lim11 （6 分）x03(1 x2)3x13解：y xln(e 1),ex1x,（3 分）y1xe 1e 1exy，x2(1e )故y1 （6 分）x 0414解：设x2 t,则x t22,dx 2tdt,（2 分）x2tdx 22tdt（2 分）x3t 1t21dt 2(1)dt（4 分） =222t 11t 2(t arctant)C 2( x2 arctanx2)C（6 分）15解：所求面积：A40 xcos2xdx（2 分）1144sin2xdx)（4 分）4xdsin2x (xsin2x0020211cos2x 4 （6 分）8

38、484016解：由给定的二次积分知，积分区域D (x,y)1 x 1,0 y 1 x2，y 1 x2（2 分）如图：I 0derrdr（4 分）01212( er10)d0211( e)d0222(e1)（6 分）17解：微分方程的特征方程为r 2r 5 0，解得r 12i，（2 分）微分方程的通解为y e(C1cos2xC2sin2x)（4 分）y ex(C1cos2xC2sin2x)ex(2C1sin 2x2C2cos2x)，yx02xC1 2,yx0 C12C2 0,解得C1 2,C21x故微分方程的特解为y e(2cos2xsin2x)（6 分）n2n2n，18解法一：显然n3 13(

39、n1)23n(n1)212 lim1，limnn3 1nn3n23n2则由比值审敛法知，级数n收敛，（3 分）n13n2由比较审敛法知，级数n收敛。（6 分）3 1n11n(n1)3 1(n1)13解法二：limn12 lim1，n3n131nn23n32n21（3 分）n2由比较审敛法知，级数n收敛。（6 分）n13 1四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1212 分，第分，第 2020 小题小题 1010 分，共分，共 2222 分）分）19解：（1）zz xy1 yxy1ln x xy1(1 yln x), xyln2x，（4 分）xyzz

40、dx dy xy1(1 yln x)dx xyln2xdy。（6 分）xye1dz （2）yf (x,y)ddxxln xdy（8 分）D21e2e(xy 11)dx（10 分）21112(x)dx (x2ln x)ee ln23。（12 分）2x2220 （1）解 ： F(x) f (x)2x,F(x) f (x)2,且由题意知f (x) 0(xR)， （3 分）F(x) 0(xR)，故曲线y F(x)在R上是凸的。（4分）（2）证：显然F(x)在0,1上连续，且F(0) 1 0，F(1) 10f (t)dt 2 2dt 2 0,01方程F(x) 0在区间(0,1)内至少有一个实根。（7分）

41、由F(x) 0知F(x)在R上单调递减，x 1时，有F(x) F(1) f (1)2 0，由此知F(x)在(0,1)内单调递增。因此方程F(x) 0在(0,1)内至多只有一个实根，故 方 程F(x) 0在 区 间(0,1)内 有 且 仅 有 一 个 实 根 。（10 分）广东省 2014 年普通班高等学校本科插班生招生考试高高 等等 数数 学学一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分。每小题只有一个选分。每小题只有一个选项符合题目要求）项符合题目要求）x2,x 0 x 0则下列结论正确的是1设函数f (x) 1,23

42、x, x 0Alim f (x) 1x0Blim f (x) 2x0Clim f (x) 3x0Dlim f (x)不存在x02函数y x的图形的水平渐近线是x 2sin xAy 0Cy 12By 13Dy 13曲线y lnx12x 1的凸区间是2B(1,0)D(1,)A(,1)C(0,1)4已知arctan x2是函数f (x)的一个原函数，则下列结论中，不正确的是Af (x) C02x1 x4B 当x 0时，f (x)和x是同阶无穷小量Df (2x)dx arctan4x2Cf (x)dx 25交换二次积分I dx2f (x, y)dy和积分次序，则I 0 x11Ady0101y01f (

43、x, y)dxBdy011yf (x, y)dxCdy2f (x, y)dxyDdy01y20f (x, y)dx二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）4n23n 16limnn。7f (x) x2 2x 1在区间0,2上应用拉格朗日（Langrange）中值定理时，满足定理要求的。x lncostdy8 若由参数方程所确定的函数y y(x)是微分方程 y ex的解，dxy asect则常数a 。2z9，设二元函数z ln(xy)，则xy10微积分方程y y12y 0的通解是y 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题

44、共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）1111求极限lim(x)。x0 xe112设 y xarcsinx 1 x2，求 y13求函数f (x) log4(4x1) 14计算不定积分x 0。1x log42的单调区间和极值。21(x 2) x 33dx。215设函数f (x) x2。3（1）求曲线y f (x)上相应于0 x 1的弧段长度s；（2） 求由曲线y f (x)和直线x 0，x 1及y 0围成的平面图绕x轴旋转而成的旋转体体积Vx。16已知三元函数f (u,v,w)具有连续偏导数，且fv fw 0。若二元函数z z(x, y)是由三元方程f (

45、x y, y z,z x) 0所确定的隐函数，计算zz。xy区域17计算二重积分(xD2 y2)d，其中积分D (x, y) x2 y21, x 2, y 2。18求微分方程(1 x2)dy (x xsin2y)dx 0满足初始条件 yx 0 0的特解。四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题小题 1010 分，第分，第 2020 小题小题 1212 分，共分，共 2222 分）分）12(13x )x2sin3x1,x 019已知函数f (x) 在x 0处连续。x 0a,（1）求常数a的值；（2）求曲线y f (x)在点(0,a)处的切线方程。20设函数f

46、 (x) etdt。lnx22（1）求f (e2)；（2）计算定积分e211f (x)dx。x广东省 2014 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1B2D3C4D5A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1627189010C1e4xC2e3x2三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 48

47、48 分）分）ex1 xex111解：原式=lim limxxx0 x(ex1)x0e1 xe=limx0（3 分）exex1 。xx2e xe（6 分）12解：y arcsin x 2x1 x2，（3 分）y 11 x22(1 x )322，（5 分） yx 0 3（6 分）13解：f (x)的定义域为(,)4xln414x1f (x) xx(4 1)ln422(4 1)令f (x) 0，解得x 0当x 0时，f (x) 0,当x 0时，f (x) 0，（3 分）（6 分）所以f (x)在区间,0内递减，在(0,)内递增 ；f (0) 0是f (x)的极小值。（6 分）（2 分）14解：令3

48、 x t，则x t 3,dx 2tdt，原式=22111dt (t21t 1t 1)dt=lnt 1 lnt 1 C lnt 13 x 1C lnC（6 分）t 13 x 1（3 分）15解：（1）s 1031221 xdx (1 x)2(2 2 1)；033（2）Vx4341x dx x099091（6 分）16解：设F(x, y,z) f (x y, y z,z x) f (u,v,w)，其中u x y,v y z,w z x，则Fx fu fw,Fy fu fv,Fz fv fw（2 分）Fy fu fvFxfu fwzz , xFzfv fwyFzfv fw故zzfu fw fu fv

49、1xyfv fw（6 分）17.解：D如图：记圆域x2 y21为D1，原式=DD1(x2222 y2)d(x2 y2)dD121（2 分）=dx(x2 y2)dydr3dr22200（4 分）2116=(4x )dxdr3dr200321612128=(4x2)dxd203432（6 分）18解：将原方程变形为dyxdxcos2y1 x2dyxdx22cos y1 x（2 分）两边积分得：即tan y 1ln(1 x2)C2（5 分）又x 0时，y 0，C 0故原方程的特解为tan y 1（6 分）ln(1 x2)2四、综合题（大题共四、综合题（大题共 2 2 小题，第小题，第 1919 小题

50、小题 1010 分，第分，第 2020 小题小题 1212 分，共分，共 2222 分）分）19解：（1）lim(13x2)x01x2123x2 lim(13x ) e3x03（2 分）12x2lim f (x) lim(13x )sin3x1 e3011x0 x0又f (0) a,由f (x)在x 0处连续知a 1（4 分）（2）limx0f (x) f (0)(13x )sin3x11 limx0 xx1212x2=lim(13x2)xx0sin3x3 3e3x（4 分）故曲线y f (x)在点(0,a)即(0,1)处的切线方程为y 3ex1（10 分）2120解：（1）f (x) eln