2018年数学高考真题（选修2-1部分）.pdf

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1、2018年数学高考真题（选修2-1部分）剖析解读高考全国I、n、in卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生.虽然在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的.“稳定是高考的主旋律.”在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点.每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题、基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础.试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度.今年数学试题与去年相比整体

2、难度有所降低.“创新是高考的生命线.”与历年试卷对比，I、n卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤不用心理解归纳，是难拿到分数的.在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势.导数和圆锥曲线是高考数学中最难的两块内容，而且在考试中相比其他考点分值也是最多的.圆锥曲线试题命制以椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、曲线性质（焦点、离心率、准线、渐近线）为载体，综合性考查位置关系、范围、面积、定点、定值等.对数形结合思想及分类讨论思想有较高的要求，对运算能力的要求也比较高.空间向量作为工具用来证明线

3、线、线面、面面的平行与垂直问题，以及求空间角的计算问题，属高考必考内容.请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！（说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容相关的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！）穿越自测一 选择题1.（2018北京高考，理6）设a,b均为单位向量，则“1一3Al=|3a+b|”是“的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答 案 c解析|a-3 6|=|3 a+Z|a-3 Z|2=|3 a4-Z|2 a2-6 a-6+9 62=9 a2+6 a-&+Zl2,因

4、为 a,方均为单位向量，所以 a2 6 a Z+9 62=9 a2+6 a-6+624 a-6=0 aZ,即“|a3 勿=|3。+”是 的 充 分 必 要 条 件.故 选 C.2.（2 0 1 8 天津高考，理 4）设 x W R,则“是“/1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案 A解析 绝对值不等式x；1 x1 0 x=京2+2),与抛物线方程联立，2产虱x+2),y=4x,消去尤并整理，得丁一6 y+8=0,解得M(l,2),N(4,4),又 F(l,0),所 以 楞(0,2),月 J(3,4),从而可以求得南旗0X 3+2X 4=8,

5、故选D.v-2 v27.(2018天津高考，理 7)已知双曲线/一上=1 3 0,8 0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,8 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为M和小，且 小+曲=6,则双曲线的方程为()A J12 1CJ i=3 9 1答 案 CB12 4 1D =Iu-9 3 1解 析 由?=2,可得工箸=4,得5=小，故该双曲线的一条渐近线方程为=4工过该双曲线右焦点且垂直于轴的直线方程为x=c，与双曲线方程联立，扶解得y=,即 y=3a.因为c=2 a,所以不妨令A(2a,3a),BQa,-3 a),所以4+dk 曲 等 二 例+匕 吟 土 M=

6、25。=6,得。=小，所以6=3,所以该?2双曲线的方程为5=1.故选C.8.（2018全国卷I ,理 11）已知双曲线C：y2=,。为坐标原点，F为C的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,M若OMN为直角三角形，则|MN=（）3A.1 B.3 C.23 D.4答 案 B解析 由题意分析知，ZFON=30.所以NMON=60。，又因为OMN是直角三角形，不妨取NNMO=90。，则NON尸=3 0 ,于是 FN=OF=2,FM=OF=1,所以|MN|=3.故选 B.9.（2018全国卷III,理 11）设,尸 2是双曲线C：，一=1（。0,方 0）的左、右焦点，。是坐标原点.

7、过尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PFi|=#|O P|,则 C 的离心率为（）AS B.2 C.小 D.2答 案 C解析 由题可知|网=6|。人尸c,.|PO|=a.PPT h在 R1APOF2 中，cosZP F iO=t=-,在PKB 中，|P F 2|2+|FIF2|2一|P FI|2 bcos ZPF2O-2IPF2IIF1F2I-c，.+叱-述 4 b 2_ 9,2b-2c cc 3 a.e=S.故选 C.7 210.（2018全国卷II,理 12）已知乃，尸 2是椭圆C：，+方=1 3 泌 0）的左,右焦点，A 是。的左顶点，点P在过A 且斜率为平的直线上，P K F

8、2 为等腰三角形，Z FIF2P=1 2 0 ,则 C的离心率为()A.|B.；C.1 D.；答 案 D解 析 依题意易知|尸 产 2|=7 1 人|=2(?,且 P在第一象限内，由2 P=1 2 0。可得尸点的坐标为(2 c,4 c).又因为kAP兴,即 嗜 =*，所以a=4 c,e=故选D.二、填空题9 2 71 1.(2 0 1 8 北京高考，理 1 4)已知椭圆M：，方=g b 0),双曲线N：和一t.IT=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双 曲 线N的离心率为答 案 小 一1 2解析 由正六边形的性质知，双曲线

9、的一条渐近线方程为丫=小羽 即 m=小，.双曲线的离心率为2.由得又易知/b2x2+a2y2=a1b2,3 储+配与 ，联立，整理得4 a 4 8 层/+0 4=0,即e4-8 e2+4=0,解得e?=4 2 小,又 e (0,l),：,e=y3-l.1 2.(2 0 1 8 浙江高考，1 7)已知点P(0,l),椭圆，+丁=2(2 1)上两点A,8满足 岸 2 诙，则当机=时，点8横坐标的绝对值最大.答 案 5解析 由而=2而 得 A,P,B三点共线，设A(x i,y i),8(x 2,y 2),贝 U x i=2x2,设直线A B的方程为y=k x+,代入椭圆方程得(1+4 虻*+8 依+

10、4 4 加=0,则加+九 2=一馈 声=X2,则I 九 2 尸 警 浮2*黑=2,当且仅当1=4 斤4 时取等号，故点8横坐标的绝对值最大时，有4/=1,则为*2=中 涯=一 2 之即2 2 机=8,解得m=5.2 21 3.（2 0 1 8 江苏高考，1 8）在平面直角坐标系x O y 中，若双曲线，一方=1 伍 0,匕 0）的右焦点/（&0）到一条渐近线的距离为竽c,则 其 离 心 率 的 值 为.答 案 2解析 取双曲线的一条渐近线方程为法+=0,则 由 题 意 得 塞 鲁=坐C,则，2=坐:,所以从=2,即C2。2=/2,所以。2 =4/,则c=2 a,所以双曲线的离心率e=2.1 4

11、.（2 0 1 8 全国卷III,理 1 6）已知点加（一 1,1）和抛物线C：产=4%,过 C的焦点且斜率为左的直线与。交于A,8两点.若N A M B=9 0。，则攵=.答 案 2y r 4 x i,解析 设 A(x i,y i),8(x 2,y2),贝”货=4 九 2,所以 yyi=4xi4x2,所 以 =皿=+.x1-x2 y i 十”设抛物线C的焦点为凡 取A B的中点M （x o,yo）,分别过点A,B作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A ,B .因为 N A M 8=9 0。，所以皿M|=；|AB|（|AF l+|B f l）=1（|A4z+BB|）.因为M为A 3的中点，所以M

12、M平行于x轴.因为 所以 y o=l,则 y i+”=2,所以 k=2.三、解答题1 5.（2 0 1 8 北京高考，理 1 6）如图，在三棱柱AB C 4。中，C C i_L平面ABC,D,E,F,G 分别为 A4 i,AC,AiC i,的中点，AB=BC=y5,AC=AAi=2.求证：AC_L 平面8ER(2)求二面角B-C D-C i的余弦值；(3)证明：直线FG与 平 面 相 交.解(1)证明：在三棱柱ABC4 B C 1 中,：CG_L 平面 ABC,，四边形4A C G 为矩形.又 E,尸分别为AC,4 G 的中点，J.ACLEF.AB=BC,：.ACBE,，ACJ_ 平面 BEF

13、.由知 AC_L E居 ACA.BE,EF/CC.又 CG _L 平面 ABC,：.EF1.平面 ABC.平面 ABC,：.EFA.BE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得 8(020),C(-1,0,0),(1,0,1).尸(0,0,2),G(0,2,l),.,.=(2,0,1),9(1,2,0).设平面BCD的法向量为=(a,b,c),n,CD=0,M _ L C M.又BCACM=C,所以。ML平面B M C.而OMU平面A M D,故平面AM。，平面BMC.(2)以。为坐标原点，应的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为CO的中

14、点.由题设得 0(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),则 存(一2,1,1),葩=(0,2,0),9=(2,0,0).设=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则n-AM=0,./IAB=O,可取”=(1,0,2).2 x+y+z=0,2 y=0.即4或是平面MCO的法向量，因此,h、n-DA 下.，、25cos n,DA)=_7_,sin n,DA)=T-,M|西所以面MAB与面MC。所成二面角的正弦值是邛519.(2018全国卷I ,理 18)如图，四边形ABCD为正方形，E,尸分别为AD,3 C 的中点，以O F为折痕把OFC折起，使点C 到达点P 的位置，

15、且 PFLBF.(1)证明：平面P E E,平面A3F。；(2)求 DP与平面ABFD所成角的正弦值.解(1)证明：由已知可得，BFVPF,BFLEF,又 PFCEF=F,所以82 L 平面PEF.又 3FU 平面A3FO,所以平面PEF1.平面ABFD.(2)作P H LM,垂足为H.由(1),得平面ABFD以“为坐标原点，曲的方向为y 轴正方向，|明为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DELPE.又 DP=2,D E=,所以 PE=小.又 PF=1,E F=2,故 PEL PF.所以尸”=为、行 EH=W3，则”(0,0,0),尸(0,0,坐)，O(T,-1,0)

16、,3，T0,为平面A B F D的法向量.设D P与平面A B F D所成的角为0,3剧.HP DP 4则 s i n。4 -HPDP NJ所以O P与平面A B F D所成角的正弦值为牛.2 0.(2 0 1 8江苏高考，2 2)如图所示，在正三棱柱A B C 4 3 i C i中，AB=AAi=2,点P,。分别为43,8 C的中点.(1)求异面直线B P与A G所成角的余弦值；(2)求直线CCi与平面AQCi所成角的正弦值.解(1)如图，在正三棱柱A B C A iBG中，设AC,4 G的中点分别为0 1,贝U 0 8 L 0 C,OOilOC,OOi 1 O B,以(而,0 C,曲 为基

17、底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为 A 5=A 4 i=2,所以 A(0,-1,0),B电,0,0),C(0,l,0),Ai(0,-1,2),B i(小，0,2),C i(0,1,2).因为尸为A闰的中点，所以坐，2)从 而 朝(一坐，T 2),元=(0,2,2).故|co s (RP,花 尸殴IS PIIAC i l_|-1+4|_3 V TO小义2&2 0 ,因此，异面直线8尸与A C所成角的余弦值为 嚓.（2）因为。为8 C的中点，所以。（孝，0）因此帝=（坐，|,o）,花=（0,2,2）,名=（0,0,2）.设=（x,y,z）为平面A Q G的法向量，A Q n=Q,J孚%+多=0,

18、则j -即j 2 2-不妨取=（小，1,1）,设直线C C i与平面A Q C 1所成的角为e,m.|./万、.|C C 1 I 2 V 5贝ij s i n。一|co s CC,ii）|c s ,|C C i|w|Y 5 X 2 。所以直线C C 1与平面A Q G所成角的正弦值为?2 1.（2 0 1 8天津高考，理1 9）设椭圆点+$=1（0）的左焦点为F,上顶点为区已知椭圆的离心率为叩，点A的坐标为（仇0）,且阀|上8|=6 6.（1）求椭圆的方程；（2）设直线/：y=O 0）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线A B交于点Q，若 微=sin/A O Q（。为原点），求人的值 解 设

19、椭圆的焦距为2 c,由已知有宗c2 与5，又由 a2=b2+c1,可得 2 a=3 4由已知可得，尸8|=，AB=yJlb,由尸母|AB|=6也，可得必=6,从而 a=3,b=2,所以，椭圆的方程为看+?=L（2）设点设的坐标为（xi,丁），点Q的坐标为（X 2,”）.由已知有 yi”0,故|PQ|s i n N AOQ=yi 又因为而/钻=也所以依0|=/），2.由1 =3 g s i n N A 0 Q,可得 5 yi =9”.y=kx,由 方 程 组+=消去尤，十日 6 k可 付 6=展亮.易 知 直 线A B的 方 程 为x+y2=0,由方程组，y=kx,.x+y-2=0,消 去x,可

20、 得”=肩7.由 5 y 1=92,可得 5（左+1）=3 y 9 q+4,两 边 平 方，整 理 得5 6 F5 0 b Mi=0,解 得=或所 以，攵的值为3或装.2 2.（2 0 1 8.江苏高考，1 8）如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，椭 圆。过点（小，行，焦点为尸1（一 小，0）,尸2（小，0）,圆。的直 径 为QB.求 椭 圆。及 圆。的方 程；设 直 线/与 圆。相 切 于 第 一 象 限 内 的 点P.若 直 线/与 椭 圆C有 且 只 有 一 个 公 共 点，求 点P的 坐 标；直 线/与 椭 圆C交 于A,8两 点，若 Q4 B的面积为 平，求 直

21、线I的方程.解（1）因 为 椭 圆C的 焦 点 为 Q（一小，0）,尸2（小，0）,2 2所 以 可 设 椭 圆。的方程为3十方=1（。90）.又点(小，在椭圆C上,所以今+表=1，2 =3,解得2=4,b2=l.因此，椭 圆。的 方 程 为 扛 尸 1.因为圆。的直径为FIF2,所以其方程为f+V=3.(2)设直线/与圆0 相切于P(xo9 y o)(x o O,y o O),则%;+y j=3,所以直线/的方程为y=一器。-x o)+y o,即 尸 弋 曾消去),得(4 x i+y j)f 24 x o x+36 4 y；=0.(*)因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点，所以/=(24 x

22、 o)24(4/+城(36 4%)=4 8越-2)=0.因为 x o,y o O,所以 x o=6，y o=l.因此，点 P的坐标为(啦，1).因为 0 4 B 的面积为 半，所以a A BH O P|=手，易知|O P|=S，从而|A B|=早.设 A(x i,y i),B(X29”),由(*)得 X1.2=24M)士 7 4 8)3(九 6 2)2(4 君+宛)所以|ABF=(XI X2f+(yy2)2=1(4 8y nC w-2)。十帝.(4 x 6+而2 因为/+4=3,所以|A 5|2=1需：)=需,即 2M4 5第+100=0,解得 XO=|(J C O=2O 舍去),因此点p的

23、坐 标 为 镖，孝综上，直线/的方程为y=-小 x+3啦.23.(2018北京高考，理 19)已知抛物线C：炉=2内经过点P(l,2).过点0(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线以交y轴于M,直线P B交y轴于N.(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，确=诩,确=前),求证：为定值.A y lZ解 因为抛物线y 2=2p x 经过点尸(1,2),所以4=2 p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线I的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=kx+(kG).|V=4 x,由 彳 得庐f+(2左 一4)x+1 =0,3=入+1,依题意/=(2Z

24、4)2 4 X F x i o,解得A 0或0 M,4=1 y z,1 ,1 1 .1 XI -1 X2-1 1 2X1X2-(XI+%2)所以彳+_=-+-=-+-A 4 1 y w 1 y v (k-l)x i(k 1)x 2 k 1 xxi1k2 2&4一 厂 一=2,所以;+为定值.F 24.(2018.浙江高考，理21)如图所示，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C：V=4x上存在不同的两点A,8满足孙，P8的中点均在C上.(1)设A8中点为M,证明：垂直于y轴；2(2)若 P 是半椭圆/+=l(x 0)上的动点，求加8 面积的取值范围.解 证明：设P(A O,y o),x

25、o i-p|=手 就-4 x o)|.因为第+=1(l W x o O),所以 o 4 x o=4 x o 4XO+4G 4,5,因此，以8面积的取值范围是16忑25.（2018全国卷川，理 20）已知斜率为4 的直线/与椭圆C：+5=1 交于A B两点.线段AB的中点为M（l,，）（机 0）.（1）证明：K 1；（2）设尸为。的右焦点，P 为 C 上一点，且 加 以+磅=0.证明：FA,|阿，I两成等差数列，并求该数列的公差.解（1）证明：设 A（xi,yi）,B（X2,yi）,婚+L -两 式 相 减,并 由 得Xl+%2 yi+y2-十 2%=o.,XI+X2-yi+”由就设知 2=2=

26、?，3于是人 一 而 由题设得加 0,即 0m,故 人 一.由题意得F(l,0).设 P(X3,”)，则由(1)及题设得(X31,”)+(X 1 1,yi)+(X2 1 ,2)=(0,0),X3=3(xi+尤2)=1,=一(y +”)=-2 m0)的直线/与。交于A,B 两点，|AB|=8.(1)求/的方程；(2)求过点A,8 且与C 的准线相切的圆的方程.解(1)由题意，得/(1,0),/的方程为y=k(x-lkQ).设 A(xi,y),3(x 2,)2).y:k(x-1),由，得 dx2(2K+4)x+3=0.iy=4x,2庐+4J=16Z?+160,故 xi+x2=-p-.所以|A8|=

27、HM+|BH=(XI+1)+(X2+1)43+4=4炉+4由题设知一 一=8,解得上=一1(舍去)，k=L因此，/的方程为y=x-L(2)由(1),得A 8的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=一(x3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x o,y o),则yo=x o+5,9(yo-xo+1)2.(x o+1)2=2+16,解得xo=3,c或 彳jo=2xo=ll,J0=6.因此，所求圆的方程为(x 3)2+(y 2)2=1 6 或(x l l)2+(y+6)2=i 4 4.2 7.(2 0 1 8 全国卷I ,理 1 9)设椭圆C：y+y2=l的右焦点为R 过F

28、 的直线/与 C 交于A,8两点，点M 的坐标为(2,0).(1)当/与x 轴垂直时，求直线A M 的方程；(2)设。为坐标原点，证明：Z O M A =ZOMB.解(1)由已知得尸(1,0),直线/的方程为x=L由已知可得，点A 的坐标为(1,啕 或(1,由.所以直线A M的方程为y=一坐x+6 或y=x 2.(2)证明：当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0 .当/与x轴垂直时，O M 为A 3的垂直平分线，所以 N O M 4 =NOM3.当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=k(xl)(kO),4(x i,y i),6(x 2,yi),则加卷X 2 2=1,得(2 3+1 W 4 心+2 公一2=0.所以XI+%2 =2-22 F+1 X 1%2=2 +r4 斤则 2 Ax iX2 3 A(XI+X2)+4 A4 好一以一1 2 K+8 K+4 A2 庐+1=0.从而 f c w/t +f c w=O,故直线MA,M B的倾斜角互补，所以N O M 4=N O M R综上，N O M A=N O M B.