专题15三角函数与解三角形第二缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021年).pdf

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1、备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015 2021)专题15三角函数与解三角形第二缉1.【2018年贵州预赛】若边长为6 的正 B C 的三个顶点到平面a 的距离分别为1,2,3,贝 ijM BC的重心 G 到平面a 的距离为.【答案】0，r，2【解析】(1)当 B C 的三个顶点在平面a 的同侧时，由公式d=小 产 求 得 重 心 G 到平面a 的距离为2.(2)当AABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面a 的异侧时，求得重心G 到平面a 的距离分别为 0,故答案为：0,|,/22.2018年贵州预赛】函数y=2(5-x)sinnx-1(0 x 10)的 所 有 零 点

2、 之 和 等 于.【答案】60【解析】函数y=2(5-x)sinnx-1(0 x ABx AC ,AB=AC=二时取等号.2 49 25.【2018年浙江预 赛】设x,y 6R满足x-6 7 7-4/二歹+12=0,则x的取值范围为.【答 案】1 4-2 V HS XW 14+2旧【解 析】由 6yfy 4“y+12=0=Q x y-2)2+(仔 3)2=1.令 JK y -2=COS0,y/y 3=sin。=x=(2+cos。)？+(3 4-sin J?=14+V52sin(0+(p)(sin(p=),所以 14-2V13%14+2/13.6.【2018年重庆预 赛】在ABC中，sin24+

3、sin2C=2018sin2B,则 照 但0迪tan4+tanB+tanC【答 案】嘉【解 析】因为 siMa+sin2c=2018sin2B所以 M+c2=2018-ft2注意到：tan4 4-tanB 4-tanC=tanA tanB-tanC(tan/l+tanC)tan25tan/l+tan5+tanC(tan A+tanC)tan2B1siMB _ Q /2ac _sinA sinC cosB ac a2+c2-b2/故答案为：高1tan/1-tanF tanC tanA tanC.tanF2b222018bz-b2 20177.2018年 陕 西 预 赛】设2MBe的内角A,B,C

4、所对 的 边 分 别 为见4 c,且4 C=会见仇c成 等 差 数 列，则cosB=.【答 案】;4【解 析】分 析：根据三角形内角和定理及其关系，用N C表示/A与NB；根据a,b,c成等差，得到2b=a+c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于/C的等式；由c o s B =c o s g-2 C)=s i n 2C 即可得到最后的值。详解：A+B+C=;A-C=所以A =+C ,B =1-2 C同取正弦值，得s i n 4 =s i r)G +C)=c o s C71sinB=s i n(-2C)=c o s 2C因为Q,b,C 成等差，所以2b =Q +C,由正弦定理，边化角2c o s

5、 2C =c o s C +s i n C,根据倍角公式展开2(c o s C +s i n C)(c o s C s i n C)=c o s C +s i n C所以c o s C-s i n。=等式两边同时平方得(c o s C -s i n C)2=化简2s i n C c o s C =即s i n 2c =-4 4 4而 c o s B =c o s C 2C)=s i n 2C =3点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。8.(20 1 8 年陕西预赛】设z M B C 的 内 角 所 对 的 边

6、 分 别 为 a,b,c,且4 C =a,b,c 成等差数列，则cosB=,【答案】；4【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用/C表示/A与/B；根据a,b,c 成等差，得到2b =a +c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于NC的等式；由c o s B =c o s g-2 C)=s i n 2c 即可得到最后的值。详解：A+B+C=-.A-C=所以A =+C ,B =1-2 C同取正弦值，得s i r t 4 =s i n(+C)=c o s tnsinB s i n(2C)=c o s 2C因为Q,b,c 成等差，所以2b =a +c,由正弦定理，边化角2c o s 2C =c

7、o s C +s i n C,根据倍角公式展开2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cost+sinC所以cosC-sinC=5等式两边同时平方得(cosC-sinC)2=%化简2sinCcosC=即sin2c=:而 cosB=cos 仔 2C)=sin2C=|点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练学握各个式子的相互转化，属于难题。9.(2018年陕西预赛】设A4BC的内角4 B,C所对的边分别为a,b,c,且4 一 C=a,b,c成等差数列，则cosB=.【答案】74【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用N C表示N A与

8、N B；根据a,b,c成等差，得到2b=a+c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于/C的等式；由cosB=c o s g-2 C)=sin2c即可得到最后的值。详解：A+B +C=n ;4-C=所以4=：+C,B=-2 C同取正弦值，得sirh4=sin(+C)=cosCITsinF=sin(2C)=cos2C因为Q,b,C成等差，所以2b=Q +C,由正弦定理，边化角2cos2C=cosC+s in C,根据倍角公式展开2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cost+sinC所以cosC-sinC=%等式两边同时平方得(cosC-sinC)2=%化简2sinCcosC=即sin2c

9、=:而 cosB=cos 2C)=sin2C=|点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练学握各个式子的相互转化，属于难题。10.【2018年湖南预赛】函数/(%)=sinx+2sinxf x E 0,2汨的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则 k 的 取 值 范 围 是.【答案】l k 3【解析】/(x)=1，?作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为1 k 3.故答案为：l k sinD=与 场)s i n D s i n 3 O s i n D 2由 得 富=在三 n (x+l)V x2-1=V3=x4+2x3-2x-4=02(x+l

10、)2 =(x+2)(/-2)=0,因为x+20,；.丁=2.即久=返.故答案为：x=V213.2018年贵州预赛】函数y=2(5-x)sinm-1(0 x 10)的 所 有 零 点 之 和 等 于.【答案】60【解析】函数y=2(5-x)sinjrx-1(0 x 10)的零点,即为方程2(5-x)sin7rx-1=0在区间 0,10上的解.等价于函数y=2sin x的图象与函数y=-的图象，在区间 0,10上的交点的横坐标.因为函数y=2sinm的图象与函数y=W的图象，均关于点(5,0)对称，且在区间 0,10上共有12个 交 点(6组对称点)，每组对称点的横坐标之和为10,即 这12个点横

11、坐标之和为60.所以函数y=2(5-x)sin7rx-l(0 x 14-2sinx-cosx=-=sinx cosx=-=sin3x+cos3x2 4 8=(sinx+cosx)(sin2%sinx-cosx+cos2%)2 k 8/1615.【2018年安徽预赛】函数f (%)=|sin2%+sin3%+sin4%|的最小正周期=.【答案】27r【解析】/(%)=|1+2cosx|sin3%|,其中|1+2cos%的最小正周期是2兀，|sin3x|的最小正周期是去故答案为：27r16.2018年湖北预赛】若对任意的6 e 。,引，不等式4+2sin0cos0-asin。-acosd 0恒成立

12、，则实数a的 最 小 值 为.【答案】4【解析】设x=sin+cosO=V2sin(。+：)，则2sin0cos0=x2 1.当e e o,外时，可得不等式4+2sin0cos0 asin0 acos0 0,即/ax 4-3/(1)=1 +3 =4.故实数a 的最小值为4.1 7.【2 0 1 8 年湖北预赛】设G为44B C 的重心，若B G 1 C G,B C =&，则A B +4 C 的 最 大 值 为.【答案】2 V 5【解析】设B C 的中点为。，因为B G J _ C G,故4B C G是直角三角形，所以。=加。=当又因为G 为4A B e 的重心，所以4D=3G D=萨.由 三

13、角 形 的 中 线 长 公 式 可 得=*2 48 2 +2AC2-B C2),所以A B2+A C2=2AD2+B C2=2 律?+?(a J=1 0.所以4 8 +4 C 2),则A ABC的 面 积 最 大 值 为.【答案】3【解析】由正弦定理将s i n C =k s i n A 变形为c =k a,其中c =AB,a=BC.以线段AC所在直线为x 轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则4(一|,0),C G,0),F(x,y),由 =/2)=：x W 在 上 单 调 递 减，所k以S m a x =：X W =3.29【2 0 1 8 年河北预赛】已知晨公 1.则 t a

14、 n。的取值范围是-【答案】(8,V u(V，V 5 由 条 件 知 出 备 1 0 W逅 百点表示单位圆上的动点P(c o s O,s i n O)与点M(-*,0)连线的斜率大于V3.作图可得点P在圆弧A B 与C D 上运动，含点A (F,g)和点C (-日,-E)，不含点B(O,1)和点D (-/，-：)如图：而t a n。表示原点与点P连线的斜率，由图计算得t a n。e (8,-q U 停 闾.故答案为：(一 8,-u (?,或 2 0 .【2 0 1 8 年河北预赛】在A ABC中，AC=3,s i n C =ksinAk 2),则A ABC的 面 积 最 大 值 为.【答案】3

15、【解析】由正弦定理将s i n C =k s i a 4 变形为c=k a,其中c=AB,a=BC.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则4 (-1,0),C (|,0),B(x,y),由 =ka 得 J(x+分+y2=+y2两边平方整理得(4 2 1)%2+(f c2 l)y2 (3k2+3)x+(k2 1)=0因为k 2,所以上述方程可化为为/+y 2 整 筌 x+：=o由此可知点B的轨迹是以(薨号,0)为圆心，以r =含为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点 B到 x轴的最大距离为半径r =含，所以做 的 面 积 S =；x 3 x 志(k 2)X9-2

16、=r 在k2 上单调递减，所以Smax=鼻 X=3.4 /一;2 1 .【2 0 1 8 年四川预赛】在。4 B C 中，co s B =；,则乙+二的最小值为_ _ _ _.4 ta n/tanC【答案】【解析】由co s B =知s i n B V1 co s2B .4 4 目 1.1 cos/l,cosCJ *足-|-=-1-=tan A tanC sinA sinCsinBsin/lsinC注意到0 sinA-sinC=一 g cos(4+C)-cos(A-C)=-g-cosB-cos(71-C)=：+gcos(4-C)AB xAC%,48=AC=1时取等号.2 49 224.2018

17、年辽宁预赛】在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a2+/=2019c2,则 一匕二C 0t4+C 0tB【答案】1009【解析】由题得cotCcotA+cotBsin/lsinHcosC _ absin2C c2a2+b2-c2 _ 2019C2-C2 _2ab-2c21009.故答案为：100925.【2018年江西预赛】若三个角x、y、z成等差数列，公差为;,则tanxtany+tanytanz+tanztanx=【答案】-3【解析】根据=y-z=y+$则 tanx=t a n y-V3l+V t a n ytanz=t a n y+v S1-V3 t a n y所以tan

18、xtany=詈釜署，tanytanz=弋差患,tanztanx=詈 磊.则tanxtany 4-tanytanz+tanztanx=:累；=-3.故答案为：32 6.【2018年山西预赛】计算cos芋cos cos三的值为.【答案】J【解析】、r c 27r 47r 67r.,1.1 c 乃 c 汗 n 27r 4”.2n 2n 47r.47r 4n记 S=cosy cosy c o s y,则一S 8sm 5=8sm y cos-cosy cosy=4sm 彳 coscos=2sinyCOSy=sin-=-s in-,所以，S=-.7 7 827.【2018年湖南预赛】如果函数y=3cos(

19、2%+0)的图象关于点(拳0)中心对称，那么|初 的 最 小 值 为.【答案】6【解析】由y=3cos(2%+9)得图象关于点小,0)中心对称知，f (y)=0,即C +9=WZ),即3 =/C7T-y+|(/cG Z).因此，|列的最小值为l 8 l mi n =|(k-2)7 T 9.1 6 1 mm 6故答案为：g628.(2018 年湖南预赛】若3sir)3%+cos3%=3,则siM。1%+cos20i8%的值为.【答案】1【解析】首先由3sin3%+cos?%=3可知，必有sinx N 0,否则cos3%=3-BsirPx 工 3,矛盾.又由sin?%sin2x,cos3%cos2

20、x,因此有3=3sin3%+cos3x 1.因此有sinx=1以及cos%=0,故有sin2018x+cos2018x=1.故答案为：12 9.【2018年福建预赛】在 ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a=2,b=3,C=2/1,贝 iJcosC=.【答案】;4【解析】由C=2 4,知sinC=sin2A=2siru4cos4.结合正弦定理，得c=2acosA.由Q=2,b=3,及余弦定理，得c=2QCOS4=2Q 十1-2 a,c=4 x 9+c 4.2bc 6c所以 2 10,C =V T O.故COSC=+J =2ab 2X2X3 43 0.12018高中数学联赛B

21、卷(第01试)】设tr,0满足tan(a+=3,tan(/?=5,则tan(a 0)的值为.【答案】4【解析】由两角差的正切公式可知tan(a+三)一(夕一；)=高急=?即tan(ci p+万),从而tan(tz-/?)cot(ct p+-.3 1.12017高中数学联赛A卷(第。1试)】在A A 8 C中，M是边8 c的中点，N是线段8 M的中点若=条 A8C的面积为 遮，则 獭 前 的 最 小值为.【答案】V3+1【解析】由条件知，AM=(AB+AC),AN=AB+AC,2 4 4故 丽.前=；颂+而).C而 +河)号 画2+AC2+4AB-AC).由 于 遮=S BC=-A B-|衣卜

22、sin4=-A B-A C,所以|亚|AC=4,进一步可 得 福 AC=AB AC cosA=2.从 而 询 丽 1 2 J3|4 B|2-AC2+4AB-AC)=YAB AC+A B-C=A/3+1.当|彳 面=*,|而|=2 x胃 时，獭 丽 的最小值 为 百+1.3 2.1 20 1 7 高中数学联赛B 卷(第 01试)】在A A 8 C 中，若sinA=2sinC,且三条边a、b、c 成等比数歹i j,则cos4的值为.【答案】一当4【解析】由正弦定理知，巴=学=2,又b2=a c,于是“为:片2:短:1,从而由余弦定理得，cos4=c sinC标+/_ 3 =(0 2 +I2 _Z2

23、=_ 立-2 b c一 2xV2xl-4 3 3.20 1 7 年河北预赛】设函数f (x)=x3+x,若0 6 0 恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】m 0,所以/(mc os。)-/(I m)=f(m-1),所以?nc os。m 1 对0 6，恒成立，令t=c os。,则0 t 0 对0 t 1 恒成立.所以 m +l 之 故加 03 4.20 1 7 年河北预赛】函数/(%)=sin(y x 一9 一 2c os2f x +1 的图象与函数y =g(%)的图象关于直线x =1 4 6/o对称，当X G o,3 时,g(x)的最大值为.【答案】y【解析】提示：f(x)=sinQ x 一 匀 一 c osx =y sinx -j c osx =V 3 sin Qx-；),在函数y =g(x)的图象上任取一点(g(x),其关于直.线=1 的对称点为(2依题意(2 x,g(x)在函数y =/(x)的图象上，从而 g(x)=/(2-X)=7 5 c osc%+当0 x CD-DM,所以当且仅当方与血反向共线时奇|最小，|CM|mjn=3-l=1.