2023年上海市中考数学试卷.pdf

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1、2018年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分2 4分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的）1.（4.00分）（2018上海）下列计算V IU-V2的结果是（）A.4 B.3 C.2V2 D.V22.（4.00分）（2018上海）下列对一元二次方程x?+x-3=0根的情况的判断，正确的是（）A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根 D.没有实数根3.（4.00分）（2018 上海）下列对二次函数y=x 2-x的图象的描述，正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是y轴C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的4.（4.00分）（2018上

2、海）据统计，某住宅楼3 0户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27,30,29,25,26,28,2 9,那么这组数据的中位数和众数分别是（）A.25 和 30 B.25 和 29 c.28 和 30 D.28 和 295.（4.00分）（2018上海）已知平行四边形A B C D,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BD D.ABBC6.（4.00分）（2018上海）如图，已知NPOQ=30。，点A、B在射线OQ上（点A在点。、B之间），半径长为2的。A与直线OP相切，半径长为3的。B与。A相交，那么OB的取值范围是（）A.5O

3、 B 9 B.4 O B 9 C.3O B 7 D.2O B T T T 联结DE并延长，与AB的延长线交于点F.设=a,0 c4 那么向量DF用向量B16.（4.00分）（2018上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度.17.（4.00分）（2018上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E 在AB C的边BC上，顶点G、F 分别在边A B、AC上.如 果 BC=4,AABC的面积是6,那么这个 正 方 形 的 边 长 是.18.（4.00分）（2018上海）对于一个位置确定的图形

4、，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如 图 1）,那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形A BCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的三、解答题（本大题共7 题，满分78分）2%+x19.（10.00分）（2018上海）解不等式组：x+5，并把解集在数轴上表示出来.-4-3-2-1 0 1 2 3 4 52a 1 Q+220.（10.00分）（2018上海）先化简，再求值：（-）4-,其中az-l a 4-1 az-aa=V5.321.(10.00 分)(2018上海)如图，已知A A B

5、C 中，A B=BC=5,tanZABC-4（1）求边AC的长;A n（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求 法 的值.22.（10.00分）（2018上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.（1）求 y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米?23.（12.00分）（2018上海）已知：如图，正

6、方形A BCD中，P 是边BC上一点,BE_LA P,D F AP,垂足分别是点E、F.(1)求证：EF=A E-BE；A F DF(2)联结B F,如课一=.求证：EF=EP.BF AD24.（12.00分）（2018上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）.已知抛物线y=1 5-&x2+bx+c经过点A （-1,0）和点B（0,顶点为C,点 D 在其对称轴上且位于点C下方，将线段D C绕点D按顺时针方向旋转9 0。，点C落在抛物线上的点P处.（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段C D的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点0的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以。、D

7、、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐2 5.（1 4.0 0分）（2 0 1 8上海）已知。0的直径AB=2,弦A C与弦B D交于点E.且（1）如图1,如果AC=B D,求弦A C的长；（2）如图2,如果E为弦B D的中点，求NA BD的余切值；（3）联结B C、C D、D A,如果B C是。的内接正n边形的一边，C D是。0的内接 正（n+4）边形的一边，求4A CD的面积.2018年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6 题，每题4 分，满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的）1.（4.00分）（2018上海）下列计算9-V I的结果是（）A

8、.4 B.3 C.2V2 D.V2【考点】78：二次根式的加减法.【专题】11：计算题.【分析】先化简，再合并同类项即可求解.【解答】解：V18-V2=3V2-=2V2.故选：C.【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.2.（4.00分）（2018上海）下列对一元二次方程x?+x-3=0根的情况的判断，正确的是（）A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根 D.没有实数根【考点】A A：根的判别式.【专题】45：判别式法.【分

9、析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=1 3 0,进而即可得出方程 x2+x-3=0有两个不相等的实数根.【解答】I?：.a=l,b=l,c=-3,/.=b2-4ac=l2-4X（1）X（-3）=130,方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根.故选：A.【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当a 0时，方程有两个不相等的实数根 是解题的关键.3.（4.00分）（2018 上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是y轴C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质.【专题】535：二次函数图象及其性质.

10、【分析】A、由a=l 0,可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=1,选项B不正确；C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；1 1D、由a=l 0及抛物线对称轴为直线x=i,利用二次函数的性质，可得出当x 时，y随x值的增大而增大，选项D不正确.综上即可得出结论.【解答】解:A、V a=l0,二抛物线开口向上，选项A不正确；b 1B、*.-=-,2a 2.抛物线的对称轴为直线x=选项B不正确；C、当 x=0 时，y=x2-x=0,.抛物线经过原点，选项C正确；D.V a 0,抛物线的对称轴为直线x=；,.当x 寸，y随x值的

11、增大而增大，选项D不正确.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键.4.（4.00分）（2018上海）据统计，某住宅楼3 0户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27,30,29,25,26,28,2 9,那么这组数据的中位数和众数分别是（）A.25 和 30 B.25 和 29 c.28 和 30 D.28 和 29【考点】W4：中位数；W5：众数.【专题】11：计算题.【分析】根据中位数和众数的概念解答.【解答】解:对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30,处于最中间是数是28,

12、这组数据的中位数是28,在这组数据中，2 9出现的次数最多，这组数据的众数是29,故选：D.【点评】本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.5.（4.00分）（2018上海）已知平行四边形A B C D,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BD D.ABBC【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定.【专题】55：几何图形.【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.【解答】解：A、NA=NB,Z A+

13、Z B=1 8 0,所以N A=/B=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、N A=N C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、A B 1 B C,所以NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故 选:B.【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.6.（4.00分）（2018上海）如图，已知/POQ=30。，点 A、B 在射线OQ上（点A在点。、B 之间），半径长为2 的。A与直线OP相切，半径长为3 的。B 与。A相交，那么OB的取值范围是（）A.5O

14、B9 B.4OB9 C.3OB7 D.2OB7【考点】MB：直线与圆的位置关系；MC：切线的性质；MJ：圆与圆的位置关系.【专题】55A：与圆有关的位置关系.【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得：OA=4,再确认。B 与。A相切时，OB的长，可得结论.【解答】解：设。A与直线OP相切时切点为D,连接A D,AADlO P,VZO=30o,A D=2,，OA=4,当。B 与。A相内切时，设切点为C,如图1,V BC=3,OB=OA+A B=4+3-2=5；当。A与。B 相外切时，设切点为E,如图2,，OB=OA+A B=4+2+3=9,.半径长为3 的。B 与。A相交，那么OB的取

15、值范围是：5OB9,故选：A.图2【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定0B的取值范围.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分4 8分）7.（4.0 0分）（2 0 1 8常德）-8的立方根是-2 .【考点】2 4：立方根.【分析】利用立方根的定义即可求解.【解答】解：（-2）3=-8,-8的立方根是-2.故答案为：-2.【点评】本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a（x 3=a）,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.读作“三次根号a 其中，a叫做被开方

16、数，3叫做根指数.8.（4.0 0 分）（2 0 1 8上海）计算：（a+1）2-a2=2 a+l .【考点】4 C：完全平方公式.【专题】1 1 ：计算题；5 1 2：整式.【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果.【解答】解:原 式=a2+2a+l-a2=2a+l,故答案为：2a+l【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.9.（4.00分）（2018 上海）方程组内 二 厂,的 解 是 仁1：一 彳，仁2二：.+y=2（71-zy2-1-【考点】A F：高次方程.【专题】1：常规题型.【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的

17、解，再代入求出y即可.【解答】解：2一 =2U2+y=2+得：x2+x=2,解得：x=-2或1,把x=-2代入得：y=-2,把x=l代入得：y=l,所以原方程组的解为；：二:,故答案为：解。上二【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键.10.（4.00分）（2018上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售 价 是0 8 a元.（用含字母a的代数式表示）.【考点】32：列代数式.【专题】1:常规题型；512：整式.折扣【分析】根据实际售价=原价Xy即可得.10【解答】解：根据题意知售价为0.8a元,故答案为：0.8a.【点评】本题主要考查列代

18、数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系.k-11 1.（4.0 0 分）（2 0 1 8 上海）已知反比例函数y=（k是常数，k W l）的图象x有一支在第二象限，那 么 k的 取 值 范 围 是 k V l .【考点】G 2：反比例函数的图象；G 4：反比例函数的性质.【专题】5 3 2：函数及其图像.【分析】由于在反比例函数y=（的图象有一支在第二象限，故 k-l 0,求出k的取值范围即可.k1【解答】解：反比例函数y=的图象有一支在第二象限，xA k -1 0,解 得 k V l.故答案为：k 0,y随x的增大而增大；k x19.（10.00分）（2018上海）解不等式组：L

19、,r，并把解集在数轴上表示出来.-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.【专题】52：方程与不等式.【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.解不等式得：x-1,解不等式得：x【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（,向右画；V,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时2,W 要用实心圆点表示；要用空心圆点表示.2a 1 a 4-220.（10.

20、00分）（2018上海）先化简，再求值：（;-）4-,其中a=V5.【考点】6D：分式的化简求值.【专题】11：计算题；513：分式.【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得.【解答】解：原式=12 a CL-I a+2-1 4-a-1Q+1 a(a-l)(a+l)(a-1)a+2a一 a+2 当2=遍时,目 I、机 V 5（V5-2）_原式=两7（遍+2）（回2尸-2后【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.321.（1 0.0 0 分）（20 1 8上海）如图，已知 AB C 中，AB=B C=5,t a n Z AB

21、 C=-.4（1）求边A C的长；（2）设边B C的垂直平分线与边A B的交点为D,求 需 的值.【考点】K G：线段垂直平分线的性质；K H：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形.【专题】1 1 ：计算题；55E：解直角三角形及其应用.【分析】（1）过A作AEJ _ B C,在直角三角形A B E中，利用锐角三角函数定义求出A C的长即可；（2）由D F垂直平分B C,求出B F的长，利用锐角三角函数定义求出D F的长，利用勾股定理求出B D的长，进而求出A D的长，即可求出所求.【解答】解：（1）作A作AEJ _ B C,一 q AE 3在 R t/X AB E 中，t a n N AB

22、C=-，AB=5,BE 4AAE=3,BE=4,.CE=BC-BE=5-4=1,在R tA E C中，根据勾股定理得：AC=32+12=/1 0；(2)DF垂直平分BC,5ABD=CD,BF=CF=-,2DF 3V tan ZDBF=二 一,BF 415DF=,8在R tA B FD中，根据勾股定理得：BD=J(|)2+(第2今,【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.22.（10.00分）（2018上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.（1）求y关

23、于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 5 00千米时，司机发现离前方最近的加油站有3 0千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？利（升）60 145O150M千米）150k+fo =45 解得:【考点】FH：一次函数的应用.【专题】533：一次函数及其应用.【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5 升时行驶的路程，此题得解.【解答】解：(1)设该一次函数解析式为丫=1+13,将(150,45)、

24、(0,6 0)代入 y=kx+b 中，1=-10，=60.该一次函数解析式为y=-x+60.,1,(2)当 y=-x+60=8 时，10解得x=520.即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8 升.530-520=10 千米，油箱中的剩余油量为8 升时，距离加油站10千米.在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米.【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.23.(12.00分)(2018上海)已知：如图，正方形A BCD中，P 是边BC上一点,BE_LA P,D

25、F_LAP,垂足分别是点E、F.(1)求证：EF=A E-BE；AF DF(2)联结B F,如课一=.求证：EF=EP.BF AD【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.【专题】14：证明题.【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD,ZB A D=90,根据等角的余角相等得到N 1=N 3,则可判断4ABE之Z W A F,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论；AF DF BE BF（2）利用一=和AF=BE得到一=，则可判定RtZBEFsRtADFA,所以/4=BF AD DF ADZ 3,再证明N 4=N 5,然后根据等腰三角形的性质

26、可判断EF=EP.【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD,ZBAD=90,VBE1AP,DF1AP,/.ZBEA=ZAFD=90,VZ1+Z2=9O,N2+N3=90,.,.Z 1=Z 3,在4A B E和4 D A F中ZBEA=Z-AFDzl=z2，VAB=DA.,.A BEADA F,；.BE=AF,/.EF=AE-AF=AE-BE；,皿 AF DF如图：就 行而 AF=BE,.BE DF 9BF AD.BE BF ,DF AD：.RtABEFRtADFA,，N 4=/3,而 N 1=N 3,/.Z 4=Z 1,V Z 5=Z 1,，N 4=N 5,即B E平分N FB

27、P,而 B E_ L EP,.EF=EP.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.24.（1 2.0 0分）（20 1 8上海）在平面直角坐标系x O y中（如图）.已知抛物线y=1 5-5 x 2+b x+c经过点A （-1,0）和点B （0,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段D C绕点D按顺时针方向旋转9 0。，点C落在抛物线上的点P处.（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段C D的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点0的位

28、置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以0、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.【考点】H F：二次函数综合题.【专题】1 5 ：综合题.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式;1 9(2)利用配方法得到y=-5(x-2)2+-,则根据二次函数的性质得到C 点坐标9一和抛物线的对称轴为直线x=2,如图，设CD=t,则 D(2,-t),根据旋转性质9 9 15得 NPDC=90,DP=DC=t,则 P(2+t,-t),然后把 P(2+t,-t)代入 y=-x2+2x+-2 2 2 2得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD的长；9 5(3)P 点坐标为(4,-),D 点

29、坐标为(2,-),利用抛物线的平移规律确定E2 21 5点坐标为(2,-2),设 M(0,m),当m 0 时，利用梯形面积公式得到一(m+-+2)2 22=8当m VO时，利用梯形面积公式得到匕(-m+9+2)2=8,然后分别解方程2 2求出m 即可得到对应的M 点坐标.5 1 i b+c=0【解答】解：(1)把 A(-1,0)和点B(0,一)代入y=x2+bx+c得1 匚 ，2 2 lc=225-2得解，抛物线解析式为y=-1x2+2x+-；1.9(2)V y=(x-2)2 H-,2 29A C(2,-),抛物线的对称轴为直线x=2,9如图，设 CD=t,贝！J D(2,-t),线段DC绕点

30、D 按顺时针方向旋转90。，点C 落在抛物线上的点P 处,A ZPDC=90,DP=DC=t,9：.P(2+t,-t),2,9、1 5,1 5 9把 P(2+t,t)代入 y=x?+2x+-得 (2+t)2+2(2+t)=t,2 2 2 2 2 2整理得t2-2 t=0,解得ti=0(舍去)，t2=2,J 线段CD的长为2；9 5(3)P 点坐标为(4,-),D 点坐标为(2,2 29 抛物线平移，使其顶点C(2,-)移到原点0 的位置，9 抛物线向左平移2 个单位，向下平移5个单位，QQ而 P 点（4,-）向左平移2 个单位，向下平移一个单位得到点E,2 2.E点坐标为（2,-2）,设 M（

31、0,m）,1 5 7 7当 m 0 时，（m+2）2=8,解得m=一,此时M 点坐标为（0,一）；2 2 2 21 5 7 _ 7当 m ()时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.8 .高次方程(1)高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程.(2)高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运

32、算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理.换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解.9 .在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意 两定：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为xa,其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在xa的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.1 0.解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，

33、叫做由它们所组成的不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.11.一次函数的性质一次函数的性质：k0,y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k 0 时，（0,b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 bVO 时，（0,b）在 y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴.12.一次函数

34、图象上点的坐标特征一次函数丫=1+13,（kW O,且 k,b 为常数）的图象是一条直线.它与x 轴的交点坐 标 是（-?，0）；与 y 轴的交点坐标是（0,b）.直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.13.一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际.2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.3、概括整合（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用.（2）理清题意是采用分段函数解

35、决问题的关键.14.反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表描点连线.（1）列表取值时，xW O,因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以0为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值.（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确.（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.（4）由于xWO,k N 0,所以yW O,函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.15.反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k#0）的图象是双

36、曲线；（2）当k 0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k V O,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.16.二次函数的图象（1）二次函数丫=2*2（aWO）的图象的画法：列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的

37、曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a#0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.(2)二次函数 y=ax2+bx+c(a W O)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a W O)的图象看作由二次函数y=ax?的图象向右或向左平h 4ac 匕 2移 I丁 I个单位，再向上或向下平移 1个单位得到的.2a 4a17.二次函数的性质b 4ac b2二次 函 数 y=ax2+bx+c(a W 0)的顶点坐标是(-，-),对称轴直线x=2a 4ab-,二 次 函 数 y=ax?+bx+c(a W O)的图象具有如下性质：当 a 0 时，抛物线y=ax?+bx+

38、c(a#0)的开口向上，x -丁 时，y 随 X 的增大而增大；x=-丁 时，y 取得最小值 -,2a 2a 4a即顶点是抛物线的最低点.当 a V O 时，抛物线y=ax2+bx+c(a W O)的开口向下，x V-巳 时，y 随 x 的增2ab b 4ac b2大而增大；x-丁 时，y 随 x 的增大而减小；x=-丁 时，y 取得最大值 -,2a 2a 4a即顶点是抛物线的最高点.抛物线y=ax2+bx+c(a W O)的图象可由抛物线y=ax?的图象向右或向左(右)平移 丁|个单位，再 向 上 或 向 下 平 移 一|个 单 位 得 到 的.2a 4a18.二次函数综合题(1)二次函数图

39、象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项.（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要

40、我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.19.三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0。且小于180.（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180。.（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平行线.（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.20.全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全

41、等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.21.线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称 中垂线”.（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.22.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的

42、性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.23.多边形的对角线（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（2）n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条 对 角 线.从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所 以n边形对角线的总条数为：n（n-3）2（n23,且n为整数）（3）对多边形对角线条数公：n（n-3）2的理解：n边形的一个顶

43、点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故 可 连 出（n-3）条.共 有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2.（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n.24.多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n-2）180（n23）且n为整数）此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将 n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问

44、题常用的方法.（2）多边形的外角和等于360度.多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360。.借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=1802-（n-2）180=360.2 5.平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.（3）平行线间的距离处处相等.（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.同底（等底）同 高（等高）的平行四边形面积相等.2 6.菱形的性

45、质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线.（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式.1菱形面积ab.（a、b是两条对角线的长度）2 7.矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

46、中心是两条对角线的交点.（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.28.矩形的判定（1）矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或 对角线互相平分且相等的四边形是矩形）（2）证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形 来判定矩形.29.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，

47、四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.30.*平面向量平面向量.31.直线与圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点.相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点.相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系：设。0 的半径为r,圆 心 0 到直线I 的距离为d.直 线

48、I 和。相交Q d r.32.切线的性质(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.33.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的五种位置关系：外离；外切；相交；内切；内含.如果两个圆没有公共点，叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离

49、，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：两圆外离QdR+r；两圆外切Qd=R+r；两圆相交oR-rVdVR+r(R 2 r)；两圆内切=d=R-r(R r)；两圆内含QdVR-r(R r).34.圆的综合题圆的综合题.35.相似三角形的判定与性质(1)相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义;反过来，两个三角形相似也有对应角相等,对应边的比相等.(2)

50、三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一,在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.36.解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系锐角直角的关系：ZA+ZB=90；三边之间的关系：a2+b2=c2；边角之间的关系：sinA=Z A的对边