专题10以三角形为载体的几何综合问题-决胜2022年中考数学压轴题（江苏）（解析版）.pdf

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1、决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）专 题 1 0 以三角形为载体的几何综合问题W11（2020堂州）【考 点1三角形有关角的计算综合问题【例1】（2020常州）如图，在4BC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若ABC是等边三角形，则/8=30【分析】根据垂直平分线的性质得到N B=N 2 C F,再利用等边三角形的性质得到/4F C=60,从而可得N 8的度数.【解析】EF垂直平分BC,BF=CF,：.ZB=ZBC F,.ACF为等边三角形，.ZAFC=60,：.ZB=ZBCF=30.故答案为：30.【变 式 1-1】（2019南通）如图，AAfiC 41.AB=B

2、C,ZABC=90Q,F 为AB延长线上一点，点 E 在 BC上，S.A E=C F,若/B4E=25,则上ACF=70 度.【分析】先证明可得N 8A E=/B C 尸=25；然后根据A8=BC,NA8C=90,求出NACB的度数，即可求出NACF的度数.【解析】在 RtZVIBE与 RtzXCBF中，=BC.,.RtAAfiERtACBF（HL）.；.NBAE=NBCF=25；：AB=BC,N48C=90,：.ZACB=45,；./ACF=25+45=70；故答案为：70.【变 式 1-2（2020南京）如图，线段48、BC的垂直平分线/1、相交于点O，若/1 =39,则NAOC【分析】解

3、法一：连接8 0,并延长8 0 到 P,根据线段的垂直平分线的性质得AO=O8=OC和N8。=/8 。=90,根据四边形的内角和为360得N/）OE+/A8C=180,根据外角的性质得/A O P=ZA+ZABO,ZCOP=ZC+ZOBC,相加可得结论.解法二：连接OB,同理得AO=O8=OC由等腰三角形三线合一得NAOO=N8OD,ZBOE=ZCOE,由平角的定义得/8。+/8。E=1 4 1,最后由周角的定义可得结论.【解析】解法一：连接8 0,并延长8。到P,线段A3、8 c的垂直平分线人、/2相交于点。，：.AO=OB=OC,NBDO=NBEO=90,：.ZDOE+ZABC=1SO,V

4、ZDOE+Z 1 =180,/.ZABC=Z 1=39,：OA=OB=OC,：.ZA=ZABOf NOBC=NC,V ZAOP=ZA+ZABO,/COP=/C+/OBC,NAOC=NAOP+NCOP=NA+NA8C+NC=2X39=78；解法二：连 接OB,线段A3、8C的垂直平分线/i、/2相交于点。，：.AO=OB=OCf：.ZAOD=/BOD,ZBOE=ZCOEtV Z D O E+Z 1 =1 8 0 ,Z l=3 9 ,.Z D O E=1 4 1 ,即/3 O Z)+N 8 O E=1 4 1 ,：.Z.AO D+ZC O E=a,N A O C=3 6 0 -(ZBO D+ZBO

5、 E)-(ZAO D+ZC O E)=7 8 ；故答案为：7 8。.【考点2 三角形有关线段计算问题【例2】(2 0 1 9扬州)已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是+2、+8、3，则满足条件的的值 有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【分析】分三种情况讨论：若+2 +8 W 3，若 +2 3 W+8,若3 W +2 +8,分别依据三角形三边关系进行求解即可.【解析】若 +2 3nm +8 3n解 得 卜 4正整数有 6 个：4,5,6,7,8,9；若+2 V 3 W+8,则j n +2 +3 n n 4-8(3几 2 ,即 2 W 4,tn 4正整数有2个：3和4；若3 W+2

6、C=90而得出结论；由条件知/ABC=/ABO+N。3C=45,由/8C+/ACE=90,就可以得出结论.延长A尸 至 4 G,使得尸G=A凡 连接CG,O G.则四边形AOGC是平行四边形.想办法证明E48名G C A,即可解决问题；延 长 必 交 BE于 H.只要证明/A H 8=9 0 即可；【解析】（T）：Z B A C Z D A E,：.Z B A C+Z D A C ZD AE+Z D A C,即/B A。=N CAE.在ABC和ACE中，（AD =AEz.BAD=H IE,AB=AC：./ABD /AC E （SAS）,：.B D=C E.故正确：/ABD/ACE,：./ABD

7、=ZACE.1 4 8=9 0 ,A ZABI)+ZDIiC+ZACB=90,ZDBC+ZACE+ZACB=90,A ZBDC=180-90=90.：.BDLCE；故正确；(3)VZBAC=90,AB=AC,：.ZABC=45,:.NABD+NDBC=45.：.ZACE+ZDBC=45a,故正确，延长A尸到G,使得FG=A尸，连接CG,D G.则四边形AOGC是平行四边形.：.AD/CG,AD=CG,：.ZDAC+ZACG80Q,：/B A C=ND4E=90,：.ZEAB+ZDAC=S0,:.NEAB=NACG,：EA=ADCG,AB=AC,：./EAB/GCA(SAS),：.AG=BE,：

8、.2AF=BE,故正确，延长必交8 E于H.：/XEAB/GCA(SAS),NABE=NCAG,：ZCAG+ZBAH=90,ZBAH+ZABE=90,；.NAHB=90,：.AF1.BE,故正确.故选：D.E【变式4-l】（2019内江模拟）如图，NBAC与/C B E 的平分线相交于点P,BE=BC,P B 与CE交于点H,P G A D 交 B C千 F,交 A 8 于 G,下列结论：GA=GP；S 幺 c：SAMB=A C：AB；BP垂直平分 CE；F P=F C；其中正确的判断有（）A.只有 B.只有 C.只有 D.【分析】利用角平分线的性质对进行一一判断，从而求解.【解析】YAP平分

9、N8AC：.Z C A P=Z B A P：PG/AD：.Z A P G Z C A P：.Z A P G=Z B A P：.G A=G P 尸 平 分/A 4C.P至 l AC,AB的距离相等-5A M C：SA%B=A C：AB：BE=BC,BP 平分 N C B E二8尸垂直平分CE（三线合一）NBAC与N C 8的平分线相交于点P,可得点P也位于N8C。的平分线上:/D C P=NBC P又 PG/AD：.Z F P C=Z D C P：.F P=F C故都正确.故选：D.【变 式 4-2 (2 0 1 9 思明区校级模拟)如图，AABP与 C O P 是两个全等的等边三角形，且有下列

10、四个结论：(1)APBC=5；(2)AD/BC；(3)直线P C与 A8垂直；(4)四边形A 8 C D 是轴对称图形.【分析】(1)先求出NBP C的度数是3 6 0 -6 0 X 2-9 O0=1 50 ,再根据对称性得到 B PC 为等腰三角形，N P BC即可求出；(2)根据题意：有人尸。是等腰直角三角形；P8 C 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形A8 c。是轴对称图形，进而可得正确.【解析】.AB P0 ZX C Q P,：.AB=C D,AP=D P,BP=C P.又.A8 P与 C OP是两个等边三角形，：.Z P A B=Z P B A=ZAPB=60.根据

11、题意，NB PC=3 6 0 -6 0 X 2 -9 0 =1 50,:BP=PC,:./P B C=(1 8 0 -1 50 )+2=1 5,故本选项正确；V Z A B C=6 0 0 +1 5=7 5,：AP=D P,ND 4 P=4 5 ,V ZB AP=6 0 ,A Z B A D=ZBAP+ZD AP=6Q+4 5=1 0 5,：.ZBAD+ZABC 050+7 5=1 8 0 ,J.AD/BC-,故本选项正确:延 长 C 尸交于A 3于点O./APO=1 8 0 -(N A P D+N C P D)=1 8 0 -(9 0 +6 0 )=1 8 0 -1 50 =3 0 ,V Z

12、 4 B=6 0 ,ZAOP=30+6 0 =9 0 ,故本选项正确；根据题意可得四边形A B C D是轴对称图形,故本选项正确.综上所述，以上四个命题都正确.【考点5】以三角形为背景的几何综合探究问题【例 5】（2 0 2 0 盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1-4.（I ）在 R t a A B C 中，ZC=9 0 ,A B=2 加,在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）A C2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.94

13、3.93.2（II）根据学习函数的经验，选取上表中8C和 A C+8 C 的数据进行分析：BC=x,A C+B C=y,以（x,）为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点:连线：(Il l)结合表中的数据以及所画的图象，猜 想.当 =一 时，y最大；(IV)进一步猜想：若R t ZV l B C中，ZC=9 0 ,斜边A8=2 a (a为常数，a 0),则B C=时，AC+B C最大.推理证明(V)对(IV)中的猜想进行证明.问题1,在图中完善(II)的描点过程，并依次连线；问题2,补全观察思考中的两个猜想：(III)2 ；(IV)_ V 2 a _；问题3,证明上述(V)中的猜想；问题4,图中

14、折线8 -E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，A G=B E=1厘 米./E=NF=NG=9 0 .平行光线从4 B区域射入，N B N E=60 ,线段尸例、硒 为感光区域，当E尸的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.【分析】问题1：利用描点法解决问题即可.问题2：利用图象法解决问题即可.问题3：设B C=x,A C-8 C=y,根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可.问题4：延长A M交E F的延长线于C,过点4作A H L E F于H,过 点B作B K L G F 于 K 交 A H 于 Q.证明 F N+F M=EF+FG-EN

15、-G M=B K+A H-当 一 次=B Q+A Q+K Q+Q H-竽 BQ+A Q+2-竽，求出H Q+A Q的最大值即可解决问题.【解析】问题1:函数图象如图所示:问题2：(III)观察图象可知，x=2时，y有最大值.(IV)猜想：BC=y2a.故答案为：2,BC=y/2a.问题 3：设 8C=x,AC+BCy,在 RtABC 中，V ZC=90：.AC=y/AB2-B C2=V4a2-x2,.y=x+y/4a2 x2,.y-x=V4a2 x2,.y2-2xy+x1=4a2-/.2A2-2yy+)2-4/=0,关于x的一元二次方程有实数根，.=4/-4X2X(y2-4a2)20,.)2

16、W 8 4 2,.0,a0,.y：2yj2a,当 y=2夜a 时，2?-4V2ax+42=0(缶-2a)2=0,.*.xi=X2=2a,.当B C=&a时，y有最大值.问题4：延长AM交E尸的延长线于C,过点A作AH1.EF于，过点8作8K_LG尸于K交A”于Q.在 Rt/XBNE 中，ZE=90，NBNE=60，BE=cm,：tan/BNE=春,：N E=g(cm),:AM BN,A ZC=60,VZGFE=90,ZCM F=30,/.ZAMG=30,V ZG=90,AG=cm,ZAMG=30,：.在 RtAAGM 中，tan ZAMG=赢；.GM=V3(cm),:NG=NGFH=90,ZA

17、HF=90,四边形AGF”为矩形，：.AH=FG,:NGFH=NE=90,ZB KF=90四边形BKFE是矩形，BK=FE,:FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH-等-b=BQ+AQ+KQ+QH-竽=8Q+AQ+2-竽，在 RtZABQ 中，AB=4cm,由问题3可知，当8Q=AQ=2位cvn时.，4。+8。的值最大，此时科=(1+2近)cm,；.80=A Q=2&时，FN+BW 的最大值为(4 a+2-华)c m,此时 EF=(1+272)cm.【变式5-1(2019南通)定义：若实数x,y满足7=2)”,y1=2x+t,且r为常数，则称点M(x,y)为“线 点 例 如，点(0,-

18、2)和(-2,0)是“线点”.已知：在直角坐标系xOy中，点P(?,(1)Pl(3,1)和 放(-3,1)两点中，点P 2是“线点”；(2)若点P是“线点”，用含，的 代 数 式 表 示 并 求f的取值范围；(3)若点。(，相)是“线点”，直线P。分别交x轴、y轴于点A,B,当IN POQ-N A OB|=3 0 时，直接写出/的值.【分析】(1)若x,y满足7+2 y=f,且xW y,f为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；(2)由新定义得出 尸+2”=，2+2加=/,m2+2 n -n2-2 m=0,m2+2 n+n2+2 m=2 t,分解因式得出(，-)(ffi+n -2)=

19、0,得出?+“=2,?=4 -f,由完全平方公式得出(/*+)2 -得出如?0,/.ir?-2m+20,(?+)2-4/77/70,/.(-2)2-4 7 0,/v i,V mn=4-3：.t 3；(3)设 P。直线的解析式为：y=kxb,财n =吗我,vm=nfc+o解得：k-I,直线P。分别交x 轴，y 轴于点4、B,：.ZAOB=90,.AOB是等腰直角三角形，：ZAOB-ZPOei=30,；.NPOQ=120 或 60,VP(m,),Q(.n,in),.P、Q 两点关于y=x 对称，若/尸OQ=120时，如 图 1 所示：作 PC_Lr轴于C,QO_Ly轴于,作直线A/NJ_A8.图1

20、1,:P、Q 两点关于 y=x)(寸称，；,NPON=NQON/NPOQ=60,:A OB是等腰直角三角形,/.ZAO N=BO N=45 ,：.ZPO C=ZQO D=5 ,在。上截取 O T=P T,则N T P0=N 7 OP=1 5 ,/.ZC7P=30,:,PT=2 PC=2 n,TC=V 3 n,m=V 3 n+2 n,由(2)知，m+n=-2,解得：m-1 V 3,n=V 3 1,由(2)知：mn=4-r,r 3,/.(-1-V 3)(-1+V 3)=4-6解得：f=6,若/尸OQ=6 0 时，如图2所示，作轴于。，QC _ Ly轴于C,作直线M N _ LA 3.;尸、Q两点关

21、于y=x对称，J Z P O N=N Q O N=ZPO Q=30,A O8是等腰直角三角形，A ZAO N=BO N=45 ,：.ZPO D=ZQO C=1 5 ,在 0。上截取 O T=P T,则N T PO=N 7 t P=1 5 ,：.ZD TP=30,：.PT=2 PD=-2%TD=-V 3 n,-ni=-V 3 z?-2 ,由(2)知，m n=-2,解得/=-1 坐，n=-1 +空，由（2）知：m n=4 -t,t3,：.（-1-冬（-1 +坐）=4-r，解得：仁 竽，综上所述，f的值为：6或三.【变 式 5-2（2 0 1 9 扬州）如图，平面内的两条直线/卜/2，点 A,8在直

22、线/1 上，点 C、。在直线人上,过 人 8两点分别作直线，2 的垂线，垂足分别为4,Bi，我们把线段4 B i 叫做线段AB在直线/2 上的正投影，其长度可记作T,AB,C D或 T （A B,v特别地线段AC在直线/2 上的正投影就是线段4 c.V_/1D 1-2）请依据上述定义解决如下问题：（1）如图 1，在锐角 A B C 中，AB=5,T（AC.=3,则 m =2 ；（2）如图 2,在 R tZ V IB C 中，/A C B=9 0 ,T（AC,AB=4,T 9,求 A A B C 的面积；（3）如图 3,在钝角 A B C 中，Z A=6 0 ,点。在 48边上，/A C C=9

23、 0 ,TAD A O=2,TBC.【分析】（1）如 图 I 中，作 C H_ LA 8.根据正投影的定义求出8,即可.（2）如图2中，作于，.由正投影的定义可知A H=4,B H=9,利用相似三角形的性质求解CH 即可解决问题.（3）如图3中，作 CH L AO 于，8K L CO 于 K.根据正投影的定义，求出C O,O K 即可解决问题.【解析】（1）如 图 1 中，作 C _ LA 8.,*T(AC,AB)=3，：.AH=3f A8=5,：.BH=5-3=2,T(8c,AB)=BH=2,故答案为2.(2)如图2中，作CH_L4B于”.图2T(AC AB)=4,T(BC AB)=9,A，

24、=4,BH=9,ZACB=ZCHA=Z CHB=90,ZA+ZACH=90,ZACH+ZBCH=90,NA=NBCH,ACHsM BH,CH AHBH-CHCH _ 49-CH07=6,S BC=ABCH=m X13 X 6=39.(3)如图 3 中，作 C”_LAO 于 H,BKLCD 于 K./A 8=9 0 ,T K 中，V ZK=9 0,8/）=3,N 8 OK=3 0 ,：.D K=BD-c os30a=芋，C K=C D+D K=2/3+孥=孥，：.TBC.CD）=C K=粤.【变式5-3（2 0 2 0宿迁模拟）在平面直角坐标系xO），中，点A （t,0）,B G+2,0）,C（

25、，1）,若射线0 c上存在点P,使得A B P是以A B为腰的等腰三角形，就称点P为线段A B关于射线。C的等腰点.（1）如图，若r=0,=0,则线段A B关于射线O C的等腰点的坐标是（0,2）:（2）若线段A B关于射线OC的等腰点的坐标是（-3,V 3）,求和f的值；（3）若 =苧，且射线O C上只存在一个线段A B关于射线OC的等腰点，则f的 取 值 范 围 是-4 V fW -2或f=0或当三一2 _ 1_*轴于，过点C作C O L x轴于.,：P(-3,V3).：.0H=3,PH=V3,.*.lan/POH=苧ZPO/7=30,V C(M,1),：.C D=,：.0 D=6 CD=

26、V3,73,观察图象可知，当4 (-2,0),A2(-4,0),A 3(-6,0)时，ZXABP是以A 8为腰的等腰三角形,-2 或-4 或-6.(3)如图3-1 中，作 C H Ly轴于，.分 别 以 A,B 为圆心，4 8 为半径作OA,QB图3-14 V3由题意C(1):.CH=岸 0/7=1,.t anN/CmCuW=CH 3：.ZCOH=30,当。8 经过原点时，8(-2,0),此时f=-4,射线OC上只存在一个线段A 8关于射线OC的等腰点，二射线OC与O A,。8 只有一个交点，观察图象可知当-4 此时仁万一2，如图3-4 中，当。A 与 OC相切时，同法可得。4=竽，此时/=竽

27、，满足条件.y图3T如图3-5中，当OA经过原点时，=2,图3-5473观察图形可知，满足条件的，的值为：综上所述，满足条件t的值为-4V K -2或，=0或之473 一2V/W2或/=竽4、代.4x/3 4、叵故答案为：-4 W-2或t=0或 一-2忘2或t=.压轴精练一.选 择 题（共5小题）1.（2020徐州）若一个三角形的两边长分别为3c办6 c m,则它的第三边的长可能是（）A.2 c m B.3c m C.6c m D.9 c m【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6-3 x 6+3,再解不等式即可.【解析】设第三边长为x c m根据三角形的三边关系可得：6-3

28、 Vx6+3,解得：3x9,故选：c.2.（2 0 2 0宿迁）在 ABC中，AB=1,B C=居,下列选项中，可以作为A C长度的是（）A.2 B.4 C.5 D.6【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到A C的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题.【解析】：在 ABC中，AB=1,BC=V 5,.,.V 5-1 AC V 5+1,.,5-1 2/5+1,4 V 5+1,5 V 5+1,6 V 5+1,.AC的长度可以是2,故选项A正确，选项5、C、）不正确；故选：A.3.（2 0 2 0常州）如图，A 8是。的弦，点C是优弧A B上的动点（C

29、不与A、B重合），C H 1 A B,垂足为 H,点 是B C的中点.若。的半径是3,则 长 的 最 大 值 是（）A.3 B.4 C.5 D.6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得例”的最大值是3.【解析】垂足为“，.,./C H8=9 0 ,点M是8 c的中点.BC的最大值是直径的长，。的半径是3,.M 4的最大值为3,故选：A.4.（2 0 2 0南通）如图，在 ABC中，4 8=2,乙4 8 c=6 0 ,ZAC B=45,。是8 C的中点，直线/经过点。，AE l,B F L I,垂足分别为E,F,则AE+B尸的最大值为（）AEDiBA.V6 B.25

30、/2 C.2V3 D.3V2【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即可.【解析】如图，过点C作CK，/于点K,过点A作1 8 c于点”，在 Rt/AHB 中，./ABC=60,AB=2,：.BH=1,AH=V3,在 RtZAbC 中，ZACB=45,:点。为8 C中点，：.BD=CD,在与CKC 中，BFD=Z.CKD=90z.BDF=乙 CDK,(BD=CD:.ABFD0/XCKD(AAS),：.BF=CK,延长A E,过点C作CNJ_AE于点M可得 AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,在 RtZXACN 中，AN=y,BD=2 y,：A

31、 D VBC,/.Z A D B=ZAD C=9 0 ,在 RtZsABO 中，.4S2=4X2+4V2,/.x2+y2=l,在 RtaCQE 中，.EC2=x2+y2=lVC0：.E C=.另解：依据A C 8 C,BD=2 C D,E 是 A。的中点，即可得判定 C D E s BD A,且相似比为1：2,_C E 1 *,AB 2即 C E=1.故答案为：18.（2020泰州）如图，将分别含有3 0 、4 5 角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65,则图中角a 的 度 数 为 140。.650a X 【分析】根据三角形外角性质求出求出N O F 8,再根据三角形外

32、角性质求出N a即可.【解析】如图，V ZB=30,NDCB=65,；.NDFB=/B+NDCB=300+65=95,.Za=ZD+ZDFB=450+95=140,故答案为：140.49.（2020亭湖区校级一模）如图，点/为ABC的重心，A B=4,作 A 3交BC于点。，则=一.一3一EI 1【分析】延长A/交8C于E,如图，根据三角形重心的性质得A/=2/E,则 =；，再证明E/B s 4E A B,然后利用相似比可求出/Q 的长.【解析】延长4交8 C于E,如图，点/为ABC的重心，：.A I=2IEf_EI 1，EA 3*：ID/AB,eID EI 1 AB EA 3：.ID=%B=

33、|X4=4故答案为310.（2020如皋市一模）如图，已知乙408=60,点尸在边OA上，O P=12,点M,N在边OB上，PM【分析】过P作PO J-O 8,交0 8于点。，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出0。的长，再由PM=PN,利用三线合一得到。为MN中点，根 据 求 出MD的长，由。-MO即可求出0M的长.【解析】过P作PDLOB,交0B于点D,在 RtZOPO 中，cos60Q=器=2，0P=2,：.0D=6,:PM=PN,PDLMN,MN=2,1:MD=ND=MN=1,：.0M=0D-MD=6-1=5.故答案为：5.11.（2020沐阳县模拟）如图，在直角4B C中，

34、Z C=90,AC=9,4B=15,P、。分别为边BC、AB上的两个动点，若 要 使 是 等 腰 三 角 形 且 8P。是直角三角形，则 尸。=_ 或8 7【分析】分两种情形分别求解：如 图 1 中，当 4。=。，NQP8=90 fl寸，如 图 2 中，当 AQ=PQNPQB=90 时.【解析】在 RtZiA8c 中，V ZC=90,AC=9,A8=15,：.BC=JA B2-A C2=V152-92=12,如 图 1中，当4。=尸Q,ZQ PB=90时，设 AQ=PQ=x,?PQ/AC,:.丛 BPQSBCA,BA AC.15-x X.=一,15 9-PQ=书45.当 4Q=PQ,ZPQB=

35、90 时，设 AQ=PQ=y.,:BQPs/BCA,=,AC BC.y _ 15-y =9 12综上所述，满足条件的尸。的值为三或三.故答案为3 或12.（2020徐州）如图，/M ON=30,在 OM上截取0 4=遍.过 点 4作 Ai _LOM,交 ON于点Bi，以点B i为圆心，BiO为半径画弧，交于点A2；过点A2作 A 2&LO M,交 ON于点例，以点历为圆心，比0 为半径画弧，交于点A3；按此规律，所得线段A20B20的 长 等 于 2.【分析】利用三角形中位线定理证明上比=2481,A3B3=2A2B2=22-A|BI，寻找规律解决问题即可.【解析】.810=8142,BAI1

36、0A2,；.0 AI=4 A 2，,：B2A2OM,BAVOM,：.BA/B2A2,.,.B|A1=9 2 历，：.AZB2=2AB,同法可得A3B3=2A2B2=224BI,由此规律可得420820=2凶乂181，VAiBi=OAitan30=V 3 x y=l,A20&0=219,故答案为2?三.解 答 题（共 10小题）13.（2020南通模拟）如图，AD,AE分别是ABC的角平分线和高线.(1)若NB=50,ZC=60,求ND4E 的度数;(2)若N C/B,猜想N Q AE与N C-N 8之间的数量关系，并加以证明.【分析】由三角形内角和定理得出/3 4 C=7 0 .由角平分线定义

37、得出N B 4 O=N D 4 C=2/B A C=3 5 .由直角三角形的性质得出/B A E=4 0 ,即可得出结果；(2)由直角三角形的性质得出/E 4C=9 0 -ZC,由 角 平 分 线 定 义 得 出 再 由 三 角形内角和定理即可得出结论.【解析】(1)在 ABC 中，V Z B=50 ,N C=60,，/8AC=1 80-50 -60 =70.是NB A C 的角平分线，1N B A D=Z D A C=|Z B A C=35 .又是B C 上的高，A ZAE B=9 0.在8AE 中，/BAE=9 0-NB=9 0 -50 =40,A Z D A E=Z B A E -ZBA

38、D=40 -35 =5.(2)Z D A E=1 (Z C-Z B).理由如下:是8 c的高，Z A E C=9 0 ,：.ZE AC=9 0-Z C,VA D是 ABC的角平分线，：.Z D A C=Z B A C.VZB A C=1 800-Z B -Z C,/.Z D A C=1 (1 80-Z B-Z C),Z D A E Z D A C -Z E A C(1 800-Z B -Z C)-(9 0 -Z C)(Z C-Z B).1 4.(2 02 0常州)已知：如图，点 A、B、C、。在一条直线上，EA/FB,EA=FB,AB=CD.(1)求证：NE=NF；(2)若/A=40,Z D=

39、80,求/E 的度数.【分析】(1)首先利用平行线的性质得出，ZA=ZF B D,根据A B=C。即可得出A C=3 O,进而得出解答即可；(2)根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可.【解答】证明：(1)-：EA/FB,：.ZA=ZFBD,:AB=CD,：.AH+BC=CD+BC,即 AC=BD,在 E 4C与尸8。中，E 4=FB/-A=乙 FBD，AC=BD:AEAC迫/FBD(S AS),NE=NF；(2),:EAgXFBD,；./E C4=/O=80 ,V Z A=40,./E=1 80-40-80 =60,答：/E的度数为60 .1 5.(2 01 9镇江)如图，四边形A8C

40、中，A O B C,点E、尸分别在A。、8 c上，AE=CF,过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H.(1)求证：/AGE/CHFi（2）连接A C,线段GH与AC是否互相平分？请说明理由.【分析】（I）由垂线的性质得出NG=N，=90,AGC，由平行线的性质和对顶角相等得出N4EG=Z C F H,由 AAS 即可得出AGE丝/XCHF；（2）连接A、C G,由全等三角形的性质得出AG=CH,证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论.【解答】（1）证明：:AGLEF,CHIEF,/.Z G=Z/=90,AG/CH,JAD/BC,：.NDEF=NBFE,：NAEG=ZDEF,Z CFH=

41、Z BFE,：.ZAEG=ZCFH,zG=UI在aAGE 和C”F 中，bAEG=CFH,AE=CF：.AAGEACWF CAAS（2）解：线段G”与AC互相平分，理由如下：连接A/、C G,如图所示：由（1）得：AGEZACHF,；.AG=CH,JAG/CH,四边形AHCG是平行四边形，.线段G 与4 c 互相平分.1 6.(2 02 0清江浦区二模)已知：如图，A B为。的直径，。过A C的中点。，D E L B C于点E.(1)试判断直线。E与。的位置关系，并说明理由；(2)若 D E=2 4c=30,求的直径.【分析】(1)如图，连接0。，构造 A8C的中位线，利用中位线定理可以判定O

42、 O 8C；然后结合已知条件和平行线的性质证得D E L O D,所以由切线的判定定理推知直线D E与。0相切；(2)如图，连接8/9,构造直角 ABD,通过解该直角三角形和三角形中位线定理求得线段A 8的长度即可.【解答】(1)解：直线。E与。0相切，理由如下：如图，连接O O,:A B为 的 直 径，。是线段A 8的中点.又 点。是A C的中点，/.OD是ABC的中位线，A OD/BC.：DELBC,：.DEOD.点在。上，直线。E与。相切；(2)解：如图，连接8Q.JD E LBC,二在直角CO E 中，DE=2/区4c=30,:.C D=2 D E=4,点。是A C的中点，：.AD=4

43、y/3.AB为。的直径，.*.408=9 0.;点。是A C的中点,.80垂直平分AC.：.BA=BC.：.ZBAD=ZBC D=30 .在直角AO 8 中，AD=4y/3,ZBAD=30 ,/.AB=8.1 7.(2 01 9高邮市二 模)在R t Z ABC中，N ACB=9 0,点。、E分别是48、B C的中点，过 点C作CF/AB,与。E的延长线并交于点F,连接BF.(1)试判断四边形CD 8F的形状，并说明理由：(2)若C =5,s i n/CAB=,过点C作垂足为”点，试求C H的长.【分析】(1)证出DE是 A8C的中位线，得出D E/AC,4c=2/)，证出四边形CC8F是平行

44、四边形,由直角三角形的性质得出C D=A B=B D,即可得出四边形CO B尸是菱形；(2)由直角三角形的性质得出A8=2 CD=1 0,求 出8 C=6,由勾股定理得出4C=VAB2 一 BC 2=8,得出O E=y C=4,由菱形的性质得出D F=2 D E=8,F=C D=5,山菱形CD S尸的面枳即可得出结果.【解析】(1)四边形COBF是菱形，理由如下:.点。、E 分别是A3、8 c 的中点，OE是4BC的中位线，*.DE/AC,AC=2DE,.DF/AC,：CF/AB,四边形以 8尸是平行四边形，./AC8=90,点。是 4 8 的中点，CD=AB=BD,.四边形CD?尸是菱形；(

45、2)如图所示：；/AC8=90,CD=5,.AB=2CD=0,.sin/C AB=|=BC=6,.AC=y/AB2-B C2=8,.=|AC=4,.四边形CO8F是菱形，,.DF=2DE=8,BF=CD=5,.菱形 C7J8尸的面积=8FX C H=gx8C X O F=*x6X 8=24,18.(2020射阳县校级模拟)如图，在ABC中，ZACB=45,过点A 作 AOLBC于点。，点 E 为A。上一点，且 EO=BD.(1)求证：4ABD与LCED；(2)若 CE为NACQ的角平分线，求/B A C 的度数.【分析】（1）证出/!是等腰直角三角形，得出A =C ,Z C A D=ZACD=

46、45 ,由 S AS 证明ABD/X C E D 即可：出由角平分线定义得出/反力=92。=2 2.5,由全等三角形的性质得出/区4 =/。=2 2.5,即可得出答案.【解答】（1）证明：AD1.BC,Z ACB=45 ,：.Z A D B=Z C D E=9 0Q,AQ C是等腰宜角三角形，：.AD=CD,/C A O=/ACD=45 ,AD=CD在 ABD 与 CE O 中，1/.ADB=/.CDE,BD=ED.,.ABC也 CE O （S AS）；（2）解：为NA C O的角平分线，Z E C D=|Z A C D=2 2.5 ,由（1）得：48。丝（?：/）,:.N B A D=NEC

47、D=2 2 5 ,A Z B A C=ZBAD+ZCAD=2 2.5+45=67.5.1 9.（2 02 0鼓楼区二模）如图，。是 ABC边 3 c上的点，连接A。，N B A D=NCAD,B D=C D.用两种【分析】证 法 1：如图，过。作 O E _ L A8,D F L A C,垂足分别为E、F,根据角平分线的性质得到O E=DF,Z BE D=9 0 ,ZDFC=90 .根据全等三角形的性质得到结论；证法2：如图，延长AO到 使OE=4Z),根据平行四边形的性质得到AC=3 AC/B E,根据等腰三角形的性质即可得到结论.【解析】证 法1：如图，过。作E_LA8,D FLAC,垂足

48、分别为E、F.；NBAD=NCAD,D ELAB,。凡LAC,:DE=DF,ZBED=90,ZDFC=90.在 Rt/XBDE 与 RtACDF+,(BD=CD(.DE=DF9ARtABDERtACDF(HL),:,N B=N C,：.AB=AC；证法2：如图，延长AO到E,使。E=AQ,:DE=AD,BD=CD,J四边形A3EC是平行四边形,；,AC=BE,AC/BE,：/BED=/CAD,ZBAD=ZCADf：.NBED=NBAD,:.AB=BE.：.AB=AC.20.（2020如皋市二模）（1）如图，一块四边形纸板剪去OEC,得到四边形A8CE,测得=90,BC=CE,A B=D E.能

49、否在四动形纸板ABCE上只剪一刀，使剪下的三角形与 收：全等？请说明理由.（2）我市某学校八年级同学乘坐大巴车去长江青少年素质教育实践基地参加综合实践活动.1 号车出发 4 分钟后，2 号车才出发，结果两车同时到达，已知素质教育基地距离该校18千米，2 号车的平均速度 是 1号车的平均速度的1.2倍.请你就“1号车”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.D【分析】（1）证明8cg（SAS）即可;（2）设 1 号车的平均速度为x 千米/小时，则 2 号车的平均速度为12*千米/小时，根据时间=路程+速度结合1号车比2 号车多用4 分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论

50、.D【解析】（1）能，沿 AC剪下一刀，AABCq/DEC：理由如下:连接A C,如图所示:；NBAE=NBCE=90,./A8C+/AEC=180,V ZAEC+ZDEC=180,：.ZD E C=ZB,AB=DE在A8C 和DEC 中，=BC=EC.,.ABC丝OEC(SAS).（2）设 1号车的平均速度为x 千米/小时，则 2 号车的平均速度为l.2x千米卜时,解得：x=4 5,经检验，x=4 5是原方程的解，且符合题意，答：1号车的平均速度为4 5千米/小时.2 1.(2 0 2 0海门市校级模拟)在AB C中，Z B=4 5 ,AM BC,垂足为M.(1)如图 1,若 AB=4&,B