《机械制图》课件[04]点、直线、平面的投影27300.pptx

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1、第一节 点的投影第二节 直线的投影第三节 平面的投影第四节 直线与平面、平面与平面的相对位置第四章 点、直线、平面的投影第一节 点的投影一、点在两投影面体系中的投影 过A 作垂直于V、H 面的投射线A a、Aa，分别与H 面交于a，与V 面交于a，a、a 即为点A 的两面投影。VHOXAaaV实际作图时不画投影面边框。VHO XaaaxaaOXHOXAaaV点的两面投影规律：点的两面投影规律：（1 1）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即 aa aa ox ox；（2 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影）、点的投影到投影轴的距离，等于

2、该点到相应投影面的距离，即：面的距离，即：a a a ax x=Aa=Aa aa aax x=Aa=Aa 二、点在三投影面体系中的投影规定：空间点A用大写字母表示，在H 面的投影用a，在V 面的投影用a，在W 面的投影用a 表示。VHWXYZOaaaAaxazayaVHWOXYHYW ZaaXYHYWZOa aa点的三面投影规律：点的三面投影规律：（1 1）、点的投影连线垂直于投影轴。）、点的投影连线垂直于投影轴。即：即：a a a a ox ox，a a a a oz oz（2 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标，也 坐标，也就是该点到相应投

3、影面的距离。就是该点到相应投影面的距离。三、点的三面投影与直角坐标的关系三、点的三面投影与直角坐标的关系：将投影面体系当作空间直角坐标系，把 将投影面体系当作空间直角坐标系，把V V、H H、W W 当作 当作坐标面，投影轴 坐标面，投影轴ox ox、oy oy、oz oz 当作坐标 当作坐标 轴，轴，o o 作为原点。作为原点。点 点A A 的空间位置可以用直角坐标（的空间位置可以用直角坐标（x x，y y，z z）来表示。）来表示。点 点A A的 的X X坐标值 坐标值=oa=oax x=aa=aay y=a=a a az z=Aa=Aa 反映点 反映点A A到 到W W面的距离。面的距离

4、。Y Y坐标值 坐标值=oa=oay y=aa=aax x=a=a a az z=Aa=Aa 反映点 反映点A A 到 到V V面的距离。面的距离。Z Z坐标值 坐标值=oa=oaz z=a=a a ax x=a=a a ay y=Aa=Aa反映点 反映点A A到 到H H面的距离。面的距离。a 由点A的x、y值确定，a由点A 的x、Z 确定，a 由点A 的y、z 值确定。VHWXYZOaaaAaxazayOaaywXYHYWZaaaxazxyzayh例例11、已知点的坐标值为：、已知点的坐标值为：AA（2020，1010，1515）和）和BB（00，1515，2020）求它们的三面投影图。）

5、求它们的三面投影图。解：（解：（1 1）量取坐标值；）量取坐标值；XOYHYWZaaabbb（2 2）作点的投影。）作点的投影。2020例例22、已知各点的两面投影，求作其第三投影，、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。并判断点对投影面的相对位置。abc点A 的三个坐标值均不为0，A 为一般位置。点B 的Z 坐标为0，故点B 为H 面上的点。点C 的x、y坐标为0，故点C 为z 轴上的点。bbccxyHywzoaaz四、两点的相对位置和重影点四、两点的相对位置和重影点 1 1、两点的相对位置、两点的相对位置 要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据 要在投影图上判

6、断空间两点的相对位置，应根据这 这两 两点在每个的面投影关系和坐标差 点在每个的面投影关系和坐标差 来确定。来确定。例：由投影图判断 例：由投影图判断A A、B B两点的空间位置。两点的空间位置。（1 1）由）由A A、B B 两点 两点V V、H H 面投 面投影可确定点 影可确定点A A 在点 在点B B 左方。左方。（2 2）由）由A A、B B 的 的H H、W W 面投影 面投影可确定 可确定A A 在 在B B 前方。前方。（3 3）由）由A A、B B 的 的V V、W W 面投 面投影可确定 影可确定A A 在 在B B 下方。下方。因此 因此点 点A A位于点 位于点B B左

7、、前、下方 左、前、下方。aabbXOYHYWZab2 2、重影点 重影点重影点 重影点 空间两点在一个面的投影重合于一点叫做 空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点 重影点。如图：如图：C C、D D 两点的水平 两点的水平投影，重合为一点。投影，重合为一点。OXc（d）cd又因点 又因点C C 在点 在点D D 的正上 的正上方，所以 方，所以C C 点可见，点可见，D D点被遮盖。点被遮盖。作图时不可见 作图时不可见点加括号。点加括号。结论 结论：如果两个点的某面 如果两个点的某面投影重合时，则对该投影 投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可 面的投影坐标值大者为可见，小者为不

8、可见。见，小者为不可见。例：已知点例：已知点D D 的三面投影，点的三面投影，点CC在点在点DD的正前方的正前方15mm15mm，求作点求作点CC的三面投影，并判别其投影的可见性。的三面投影，并判别其投影的可见性。解：解：由已知条件知：由已知条件知：X XC C=X=XD D Z ZC C=Z=ZD D Y YC C-Y-YD D=15mm=15mm 点 点C C、D D 在 在V V 面上 面上的投影重影。的投影重影。c cc又 又 YC YD YC YD C C 的 的V V 面投影为 面投影为可见点，则 可见点，则D D 的 的V V面投影为不可见 面投影为不可见点。点。()YH dOX

9、 YWZddXDZDYDXCZCYC点 点A A 在 在V V 面上，故 面上，故Y YA A=0=0点 点B B 在 在X X 轴上，故 轴上，故Z ZB B=Y YB B=0=0点 点C C 在原点上，故 在原点上，故 Z Zc c=Y Yc c=X Xc c=0=0X YWOYHZaabb a（b）点 点A A 在点 在点B B 的上方（的上方（Z ZA A Z ZB B)点 点A A 在点 在点B B 的右方（的右方（X XA A X XB B)点 点A A 在点 在点B B 的前方（的前方（Y YA A Y YB B)点 点A A 在点 在点B B 的正前方 的正前方(X XA A=

10、X XB B、Z ZA A=Z ZB B、Y YA A Y YB B)点 点A A 和点 和点B B称为 称为V V 面上的重影点。面上的重影点。VHXYZbBAbaaaWObWVHXYOZABabab(b)aYZVHXOaaabbBAWb(c)ccZX YWYHaabb(c)cabcX YWOYHZaabbab第二节 直线的投影一、直线的投影一、直线的投影 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。投影连线确定。例：已知直线 例：已知直线AB AB 端点坐标为 端点坐标为 A A（20 20，15 15，5 5）,B B（5 5，5

11、5，15 15）作 作AB AB 的三面投 的三面投影。影。OXYHYWZaa abbb二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性1 1、一般位置直线、一般位置直线直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。VHWXYZOYWOXYHZaaabbb2 2、投影面平行线、投影面平行线1 1）、水平线：平行于）、水平线：平行于H H面，对 面，对V V、W W面倾斜 面倾斜水平投 水平投影 影ab=ab=AB AB侧面投影 侧面投影ab ab OY OYw w ab ab与 与OX OX、OY OYH H的夹角 的夹角、等于 等于AB AB对

12、 对V V、W W面的倾角。面的倾角。VHWXYZbA AbbaaaB B O OXYHYWZaa abb b正面投影 正面投影ab ab OX OX2 2）、正平线：平行于）、正平线：平行于V V，对，对H H、W W倾斜 倾斜 正面投影 正面投影cd=CD cd=CDcd cd 与 与OX OX、OZ OZ 的夹角 的夹角、等于 等于CD CD 对 对H H、W W 面的倾角。面的倾角。YWZVHXcOOXYHYWZcdcdcd侧面投影 侧面投影cd cd OZ OZ水平投影 水平投影cd cd OX OX3 3）、侧平线：平行于）、侧平线：平行于W W面，对 面，对V V、H H面倾斜

13、面倾斜侧面投影 侧面投影ef=ef=EF EF水平投 水平投影 影ef ef OY OYH Hef ef 与 与OY OYW W、OZ OZ 的夹角 的夹角、等于 等于EF EF 对 对V V、H H 面的倾角。面的倾角。VHXYOZF Ffeeef f eE EWOXYHYWZefef ef 正面投 正面投影 影ef ef OZ OZ1 1、a b=AB=a b=AB=实长 实长2 2、ab ab OX OX 轴，轴，a b a b OZ OZ 轴 轴3 3、=0=0、反映实际大小 反映实际大小1 1、ab=AB=ab=AB=实长 实长2 2、a b a b OX OX 轴，轴，a b a

14、b OY OYW W轴 轴3 3、=0=0、反映实际大小 反映实际大小1 1、a b=AB=a b=AB=实长 实长2 2、a b a b OZ OZ 轴，轴，ab ab OY OYH H轴 轴3 3、=0=0，、反映实际大小 反映实际大小YWZVHXaOX YWYHZaabbabVHWXYZbA AbbaaaB BOX YWOYHZaabb a bWVHXYOZB BababbaA AXYWOYHZaabba 投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。2、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面上的投影轴）。3 3、投影面垂直线、投影面垂直线1

15、 1）、铅垂线：直线）、铅垂线：直线 H H面，面，V V、W W面。面。水平投影积 水平投影积聚为一点。聚为一点。ab=ab=ABab OX ab OYWOXYHYWZa（b）abab2 2）、正垂线：直线）、正垂线：直线 V V面，面，H H、W W面。面。正面投影积 正面投影积聚为一点。聚为一点。cd=cd=CD cdOXcd OZOXYHYWZcdc(d)c d3 3）、侧垂线：直线）、侧垂线：直线 W W面，面，H H、V V面。面。侧面投影积聚为一点。ef=ef=EFef OYHef OZOXYHYWZefef e（f）1 1、V V面投影积聚为一点。面投影积聚为一点。2 2、a

16、b=ab=AB=a b=ab=AB=实长 实长3 3、ab ab OX OX轴 轴,a b,a b OZ OZ 轴 轴=90=90、=0=01 1、H H面投影积聚为一点。面投影积聚为一点。2 2、a b=ab=AB=a b=ab=AB=实长 实长3 3、ab ab OX OX轴 轴,a b,a b OY OY W W 轴 轴=90=90、=0=0 1 1、w w面投影积聚为一点。面投影积聚为一点。2 2、ab=ab=AB=ab=ab=AB=实长 实长3 3、ab ab OY OYH H轴 轴,ab,ab OZ OZ 轴 轴=90=90、=0=0YWZVHXaa b()VHWXYZA Abba

17、aB BOWVHXYZA AB Babb aOXYWYHZaabba b()X YWOYHZababX YWOYHZaba投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且反映实际长度。三、直线上的点三、直线上的点1 1、从属性、从属性：点在直线上，点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影 点的各面投影必定在该直线的同面投影上；上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则 反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该 该 点必在此直线上。点必在此直线上。OXYHYWZaa abbbkkk2 2、

18、定比性：、定比性：直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。OXYHYWZaaabb bkkk即：即：AK:KB=ak:kb=ak:kb=ak:kb AK:KB=ak:kb=ak:kb=ak:kb例例11、试在直线、试在直线ABAB上取一点上取一点CC，使，使AC:CB=1:2AC:CB=1:2，求作求作CC点。点。解：分点 解：分点C C的投影必在 的投影必在AB AB的同面投影上。的同面投影上。即：即：ac:cb=ac:cb=1:2 ac:cb=ac:cb=1:2OXabab123cc例例22、已知直线、已知直线CDCD及点及点MM的两面投影，判断

19、点的两面投影，判断点MM 是否在是否在CDCD上。上。解解11、作侧平线 作侧平线CD CD和点 和点M M的 的侧面投影，侧面投影，由作图可知点 由作图可知点M M的侧面 的侧面投影不在 投影不在c d c d 上，所 上，所以 以M M不在 不在CD CD上。上。cdmzYHYWOXcdcdmm解解22、在H面作任一直线cE，使cE=cd。并截取cM1=cmEM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdcdmm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上。四、两直线相对位置四、两直线相对位置空间两直线的相对位置分为 空间两直线的相对位置分为 平行、相交、交叉 平行、相交、交叉 1 1

20、、平行两直线：、平行两直线：投影特性：投影特性：空间两直 空间两直线相互平行，它们的 线相互平行，它们的各组同面投影必定相 各组同面投影必定相互平行 互平行。ABCDabcd反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线 反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。在空间一定平行。2 2、相交两直线、相交两直线ab cdABCDKkK K是两直线的共有点，是两直线的共有点，K K在平面上的投影 在平面上的投影k k必在 必在ab ab上，又必在 上，又必在cd cd上。上。交点 交点K K的三面投影符合 的三面投影符合点的投影规律。点的投影规律。相交的两直线是共面的直线。相交的两

21、直线是共面的直线。OXZYHYWabcdkabcdkabcdk3 3、交叉两直线、交叉两直线 在空间既不平行也不相交的两直线为交叉两直线。在空间既不平行也不相交的两直线为交叉两直线。同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。如图示：如图示：aabbccdd直线 直线AB AB、CD CD两面投影的 两面投影的交点连线不 交点连线不 OX OX轴，轴，AB AB、CD CD为交叉两直线。为交叉两直线。aabbccdd 投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直 投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。线上相应点投影的

22、重影点。对重影点应区分其 对重影点应区分其可见性，即根据重 可见性，即根据重影点对同一投影面 影点对同一投影面的坐标值大小来判 的坐标值大小来判断。坐标值大者为 断。坐标值大者为可见点，小者为不 可见点，小者为不可见点。可见点。11223344()()例例11、判断两直线的相对位置、判断两直线的相对位置交点的连线垂直于 交点的连线垂直于OX OX，且两直线为一般位置，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判 直线，由两面投影可判断为相交两直线。断为相交两直线。ab ab与 与cd cd在一 在一直线上，而 直线上，而ab ab cd cd，两 两直线平行。直线平行。CD CD为侧平线，为侧平线，

23、利用点分割线段成 利用点分割线段成比例进行判断。为 比例进行判断。为交叉两直线。交叉两直线。O XaabbccddO XaabbccddO XaabbccddEmk例例22、过、过CC点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。dd先作 先作CD CD的 的正面投影 正面投影kkaabbcc例例33、已知：两直线、已知：两直线ABAB、CDCD的投影及点的投影及点MM的水平投影的水平投影mm，试作一直线，试作一直线MNMNCDCD并与直线并与直线ABAB相交于相交于NN点。点。aabbccddmOXnnm作图：过 作图：过m m作 作mn mn cd cd，并与，并与ab ab交于 交

24、于n n；由；由n n求出 求出n n；过 过n n作 作nm nm cd cd，求得，求得m m。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比定比定理。小 结第三节 平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用几何元素表示平面 用几何元素表示平面不在同一 不在同一直线上的 直线上的三点。三点。aabbccaabbcc一直线和线 一直线和线外一点。外一点。ccaabb相交两 相交两直线。直线。bbaaccdd平行两 平行两直线。直线。bbaacc任意平 任意平面形。面形。二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影铅垂面正

25、垂面侧垂面水平面正平面 侧平面平行于某平行于某一投影面一投影面垂直于某垂直于某一投影面一投影面特殊位置平面特殊位置平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面 投影面垂直面投影面平行面 投影面平行面一般位置平面 一般位置平面1 1、投影面垂直面、投影面垂直面 垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影 垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。面的平面为投影面垂直面。垂直的投影面上 垂直的投影面上投影有积聚性，投影有积聚性，面积聚成一直线。面积聚成一直线。其余两投影面的 其余两投影面的投影为类似性。投影为类似性。OXZYHYWaaabbbccc 1 1、V V 面投影积聚成一条 面投

26、影积聚成一条直线，且反映 直线，且反映、的真 的真实大小。实大小。=90=902 2、H H、W W 投影均为原平 投影均为原平面的类似形 面的类似形1 1、H H 面投影积聚成一条直 面投影积聚成一条直线，且反映 线，且反映、的真实大 的真实大小。小。=90=902 2、V V、W W 投影均为原平面 投影均为原平面的类似形 的类似形1 1、W W 面投影积聚成一条 面投影积聚成一条直线，且反映 直线，且反映、的真 的真实大小。实大小。=90=902 2、V V、H H 投影均为原平 投影均为原平面的类似形 面的类似形YWZVHXaVHWXYZbbaa(c)ab(d)ABDCdcWVHXYZ

27、abbaCAD BX YWYHZaabbYWXOYHZa(c)aba bcdb(d)X YWOYHZaba 平面在平面在所垂直所垂直的投影面上的投影的投影面上的投影积聚积聚为直线；为直线；其余两投影面仍为原形的其余两投影面仍为原形的类似形类似形，但比实形小；，但比实形小；平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映映平面与相应投影面平面与相应投影面的倾角。的倾角。2 2、投影面平行面、投影面平行面 平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。在所平行的投影面上的投影反映实形积聚为直线并平行于相应的投影轴OXZYHYWaa

28、abbbcccV V 面投影反映实形，面投影反映实形，H H、W W投影积聚成一条直线，且 投影积聚成一条直线，且分别平行于 分别平行于OX OX 轴、轴、OZ OZ 轴 轴H H 面投影反映实形，面投影反映实形，V V、W W投影积聚成一条直线，且 投影积聚成一条直线，且分别平行于 分别平行于OY OYW W轴、轴、OX OX 轴 轴W W 面投影反映实形，面投影反映实形，V V、H H投影积聚成一条直线，且 投影积聚成一条直线，且分别平行于 分别平行于OY OYH H轴、轴、OZ OZ 轴 轴YWZVHXCVHWXYZbaabCABWVHXYZabcBCAaX YWYHZab(c)bYWX

29、OYHZab abX YWOYHZab(c)c投 影 特 性 平面在所平行的投影面上的投影反映实形；其余两投影积聚为直线，并分别平行于相应的投影轴。3 3、一般位置平面、一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面。其特性为 其特性为：1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。2、不直接反映该平面与投影面的倾角。OXYWYHZaaabbbccc三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线1 1、平面上的点和直线、平面上的点和直线 定理一：定理一：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。定理二：定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 若一直线过平面内的一点，

30、且平行于该 平面上 平面上另一直线，则此直线在该平面内。另一直线，则此直线在该平面内。定理三：定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面 若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。内。例 例1 1、已知、已知 ABC ABC平面内点 平面内点K K的 的V V面投影 面投影k k，求作，求作K K的 的H H面 面投影。投影。解1 解2ddO XaabbcckkkO Xaabbcckmnnm例 例2 2、已知四边形、已知四边形ABCD ABCD的 的V V面投影及 面投影及AB AB、BC BC的 的H H面投影，面投影，完成 完成H H 面投影。面投影。解 解1 1O Xaabbcc

31、ddeeO Xaabbccd解 解2 2eed2 2、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线 凡在平面上且 凡在平面上且平行于某一投影面 平行于某一投影面的直线，称为平面上 的直线，称为平面上的投影面平行线。的投影面平行线。平面内的水平线直线在平面内，又平行于水平面的直线。平面内的正平线直线在平面内，又平行于正面的直线。平面内的侧平线直线在平面内，又平行于侧面的直线。例例33、作、作ABCABC平面内的正平线，它距平面内的正平线，它距VV面为面为8mm8mm。OXaabbcc因为正平线的水平投影平行于 因为正平线的水平投影平行于OX OX，先作，先作34 34 OX OX，使其距，使其距V

32、 V面 面8mm 8mm，再求出，再求出34 34。34834 例 例4 4、在、在 ABC ABC内取一点 内取一点K K，使点，使点K K距 距V V面 面8mm 8mm，距，距H H 面 面12mm 12mm。O Xaabbcc解：解：12812213344kk四、特殊位置圆的投影四、特殊位置圆的投影1 1、与投影面平行的圆、与投影面平行的圆 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于 投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。圆的直径，且平行于相应的投影轴。OXYHYW

33、Z2 2、与投影面垂直的圆、与投影面垂直的圆 当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上 当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。X Oaabbcdc(d)第四节 直线与平面、平面与平面 之间的相对位置一、一、直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行1 1、直线与平面平行 直线与平面平行定理：定理：直线平行于平面上的某一条直线。直线平行于平面上的某一条直线。即 即：如果直线平行于平面，则 如果直线平行于平面，则直线的各面投影 直线的各面投影必与 必与平面 平面上一直线的同面投影 上一直线的同面投影平行。平行。

34、例 例1 1、过点、过点M M作直线 作直线MN MN平行于平面 平行于平面 ABC ABC。解：解：有多少解？有多少解？nn无数解 无数解aabbccmm例 例2 2、过点、过点M M作直线 作直线MN MN平行于 平行于V V面和 面和 ABC ABC。解：正平线 ABC为正垂面，直线MN的正面投影mn必定平行于abc。又MN为正平线，mn平行于OX轴。nn有唯一解 有唯一解abcmmabc有多少解 有多少解？当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。2 2、平面与平面平行、平面与平面平行几何条件：几何条件：2 2）、若两投影面）、若两

35、投影面垂直面 垂直面 相互平行 相互平行，则它们，则它们具有积 具有积聚性的那组投影 聚性的那组投影必相互平 必相互平行。行。1 1）、若一个）、若一个平面上的两 平面上的两相交直线 相交直线分别 分别平行于另一 平行于另一平面上的两相交直线，平面上的两相交直线，则 则两平面相互平行。两平面相互平行。caabbcddeeff ggX OO X例 例3 3、过点、过点K K作平面平行于 作平面平行于 ABC ABC解：分析：按几何条件，分析：按几何条件，只要过点 只要过点K K作两相交 作两相交直线 直线KL KL、KH KH对应地 对应地平行于已知平面的一 平行于已知平面的一对相交直线，此平面

36、 对相交直线，此平面即为所求。即为所求。作图：作图：KL KL AB AB，KH KH BC BC。llhhaabbcckk例 例4 4、判别如图所示的两平面是否平行。、判别如图所示的两平面是否平行。解：112(2)334(4)aabbcc因两平面均为铅垂面，在 因两平面均为铅垂面，在H H面的投影 面的投影互相平行，所以两平面平行。互相平行，所以两平面平行。1 1、直线与平面相交、直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。讨论：（讨论：（1 1）求直线与平面的交点；）求直线与平面的交点；（2 2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。）判别两者之间的相互遮挡关系

37、，即判别可见性。只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。1 1）、一般位置直线与特殊位置平面相交）、一般位置直线与特殊位置平面相交二、直线与平面、平面与平面相交二、直线与平面、平面与平面相交例 例1 1、求直线、求直线AB AB与铅垂面 与铅垂面 DEF DEF的交点 的交点K K，并判别可见性。，并判别可见性。分析：分析：因 因 DEF DEF的水平投 的水平投影 影def def有积聚性，交点 有积聚性，交点K K是 是 DEF DEF内的点，它必 内的点，它必在 在def def上，又因 上，又因K K是 是AB AB上的点，它的水

38、平投影 上的点，它的水平投影k k必在 必在ab ab上，因此 上，因此k k就是 就是K K的水平投影。由 的水平投影。由k k可求 可求得 得k k。aabbddeef fkk11(2)2 由图知：圆平面是水平 由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，面，其正面投影有积聚性，可先求出 可先求出V V面的投影 面的投影k k，再求，再求出 出H H面投影 面投影k k。由于 由于ak ak在水平面的上方，在水平面的上方，故水平投影 故水平投影ak ak可见，可见，kb kb被圆 被圆遮住的部分为不可见。遮住的部分为不可见。例 例2 2、求直线、求直线AB AB与水平面的交点 与水平面的交

39、点K K，并判别可见性。，并判别可见性。aabbkk 例 例3 3、求特殊位置直线（铅垂线）、求特殊位置直线（铅垂线）DE DE与一般位置平面 与一般位置平面 ABC ABC的交点 的交点K K，并判别可见性。，并判别可见性。aabbccde(e)dk借助于辅助线的方法求出交点 借助于辅助线的方法求出交点nn判别可见性：判别可见性：由 由V V面的 面的bc bc与 与de de的重影点 的重影点1(2)1(2)求出 求出H H面的 面的1 1在直线 在直线DE DE上，上，2 2在 在BC BC上，上，1 1的 的Y Y坐标大 坐标大于 于2 2，所以，所以dk dk可见，可见，ke ke被

40、 被遮住部分不可见。遮住部分不可见。k1(2)122 2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交 平面相交 例 例4 4、求一般位置直线、求一般位置直线MN MN与特殊位置平面（铅垂面）与特殊位置平面（铅垂面）ABC ABC的交点。的交点。kk作图：作图：平面 平面 ABC ABC是铅垂面，其 是铅垂面，其H H面上 面上的投影积聚为一直线，由此可得 的投影积聚为一直线，由此可得交点 交点k k，再向，再向V V面投影可求得 面投影可求得k k。判别可见性：判别可见性：由 由V V面的 面的ac ac与 与mn mn的重影点 的重影点1 1（2 2），

41、求出），求出H H面的 面的1 1在 在 AC AC上，上，2 2在 在MN MN上，上，1 1的 的Y Y坐标大于 坐标大于2 2，所，所以 以nk nk被遮住部分不可见，被遮住部分不可见，mk mk可见。可见。aabbccnmmn21(2)1借助于投影的积聚性求出交点 借助于投影的积聚性求出交点 两平面相交，其交线为 两平面相交，其交线为直线 直线，交线是两平面的，交线是两平面的共有线 共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：讨论：A A、求两平面的交线（方法）、求两平面的交线（方法）1 1）、确定两平面的两个共有点；）、确定两平面的两个共有点；2 2

42、）、确定一个共有点及交线的方向。）、确定一个共有点及交线的方向。B B、判别可见性。、判别可见性。只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。2 2、平面与平面相交、平面与平面相交分析：分析：ABC ABC与 与 DEF DEF交线 交线的正面投影为 的正面投影为mn mn DEF DEF的 的DF DF、EF EF的正面投影 的正面投影df df、ef ef 与 与 ABC ABC的正面投影的交点为 的正面投影的交点为m m、n n，由，由m m、n n求出 求出m m、n n，mn mn为 为可见与不可见的分界线。可见与不可见的分界线。判别可见性：判别可见性：V

43、 V面 面mnf mnf 在 在 abc abc的上方，的上方，mnf mnf 可见，可见，demn demn被 被 ABC ABC遮挡部分为不可 遮挡部分为不可见。见。例 例5 5、平面、平面 ABC ABC为投影面平行面与一般位置平面 为投影面平行面与一般位置平面 DEF DEF相交，求交线并判别可见性。相交，求交线并判别可见性。aabbccddeeff mmnn例 例6 6、求平面、求平面 ABC ABC与铅垂面 与铅垂面 DEF DEF的交线 的交线KL KL，并判别可，并判别可见性。见性。分析：分析：DEF DEF是铅垂 是铅垂面，面，其水平投影有积 其水平投影有积聚性。可直接求出

44、聚性。可直接求出k k、l l，再由，再由k k、l l求出 求出k k、l l，交线，交线KL KL是可见与不 是可见与不可见的分界线。可见的分界线。aabbccddeeff klkl小 结掌握：掌握：1 1、平面投影特性，尤其是、平面投影特性，尤其是特殊位置平面特殊位置平面的投影特性；的投影特性；22、如何在平面上确定、如何在平面上确定直线和点直线和点；3 3、两平面、两平面平行的条件平行的条件；4 4、直线与平面、直线与平面、平面与平面相交的解题、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性。线的已知投影；判别可见性。谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH