等差数列公开课等奖ppt课件.ppt

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1、一、概念与公式一、概念与公式1.定义定义 若数列若数列 an 满足满足:an+1-an=d(常数常数),则称则称 an 为等差数列为等差数列.2.通项公式通项公式3.前前n项和公式项和公式二、等差数列的性质二、等差数列的性质 1.首尾项性质首尾项性质:有穷等差数列中有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两与首末两项距离相等的两项和相等项和相等,即即:特别地特别地,若项数为奇数若项数为奇数,还等于中间项的两倍还等于中间项的两倍,即即:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2a中中.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.Sn=na1+=.n

2、(a1+an)2n(n-1)d 2特别地特别地,若若 m+n=2p,则则 am+an=2ap.2.若若 p+q=r+s(p、q、r、s N*),则则 ap+aq=ar+as.3.等差中项等差中项 如如果果在在两两个个数数 a、b 中中间间插插入入一一个个数数 A,使使 a、A、b 成成等等差差差数列差数列,则则 A 叫做叫做 a 与与 b 的等差中项的等差中项.4.顺次顺次 n 项和性质项和性质5.已知已知 an 是公差为是公差为 d 的等差数列的等差数列a+b A=.2(1)若若 n 为奇数为奇数,则则 Sn=na中中 且且 S奇奇-S偶偶=a中中,=.S奇奇 S偶偶n+1 n-1(2)若若

3、 n 为偶数为偶数,则则 S偶偶-S奇奇=.nd2 若若 an 是公差为是公差为 d 的等差数列的等差数列,则则 ak,ak,ak 也成等也成等差数列差数列,且公差为且公差为 n2d.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 6.若若 an,bn 均为等差数列均为等差数列,则则 man,man kbn 也为等差也为等差数列数列,其中其中 m,k 均为常数均为常数.三、判断、证明方法三、判断、证明方法1.定义法定义法;2.通项公式法通项公式法;3.等差中项法等差中项法.四、四、Sn的最值问题的最值问题二二次次函函数数注注:三个数成等差数列三个数成等差数列,可设为可设为 a-d,a,a+d(

4、或或 a,a+d,a+2d)四个数成等差数列四个数成等差数列,可设为可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.7.若等差数列若等差数列 an 的前的前 2n-1 项和为项和为 S2n-1,等差数列等差数列 bn 的的前前 2n-1 项和为项和为 T2n-1,则则 =.S2n-1T2n-1anbn1.若若 a10,d0 时时,满足满足an0,an+10.2.若若 a10 时时,满足满足an0,an+10.典型例题典型例题解解:不妨设不妨设 QP,则则 SQ-SP=aP+1+aQ =-.P+Q PQ aP+1+aQ2则则 SP+Q=(P+Q)(a1+aP+Q)2(P+Q)(aP+1+aQ)2(P+

5、Q)2 PQ=-.1.已知已知 ,成等差数列成等差数列,求证求证:,成等差数列成等差数列.b1a1c1c a+b b c+a a b+c 2.等差数列的前等差数列的前 n 项和为项和为 Sn,若若 SP=,SQ=(P Q),求求 SP+Q(用用 P,Q 表示表示).QPPQ3.等差数列的前等差数列的前 n 项和为项和为 Sn,若若 Sm=Sk(mk),求求 Sm+k.4.等差数列等差数列 an 的首项的首项 a10,前前 n 项和为项和为 Sn,若若 Sm=Sk,mk,问问 n 为何值时为何值时 Sn 最大最大.0 n=(m+k为偶数时为偶数时);或或 (m+k 为奇数时为奇数时).m+k2m

6、+k+1 2m+k-1 2 5.在等差数列在等差数列 an 中中,已知已知 a1=20,前前 n 项和为项和为 Sn,且且 S10=S15.(1)求前求前 n 项和项和 Sn;(2)当当 n 为何值时为何值时,Sn 有最大值有最大值,并求它的并求它的最大值最大值.(1)Sn=-(n2-25n);56(2)当且当且仅当仅当 n=12 或或 13 时时,Sn 有最大值有最大值,最大值为最大值为130.6.已知等差数列已知等差数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn,且且 a2=1,S11=33.(1)求求数列数列 an 的通项公式的通项公式;(2)设设 bn=(),且数列且数列 bn的前的前

7、n 项和为项和为 Tn,求证求证:数列数列 bn 是等比数列是等比数列,并求并求 Tn.an12(1)an=n;12(2)Tn=(2+1)(1-2-).n2 7.已知函数已知函数 f(t)对任意实数对任意实数 x,y 都有都有:f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3,f(1)=1.(1)若若 t 为正整数为正整数,试求试求 f(t)的表达式的表达式;(2)满满 足足 f(t)=t 的所有整数的所有整数 t 能否构成等差数列能否构成等差数列?若能构成等差数列若能构成等差数列,求出此数列求出此数列;若不能构成等差数列若不能构成等差数列,请说明理由请说明理由;(3)若若 t 为

8、自为自然数然数,且且 t 4,f(t)mt2+(4m+1)t+3m 恒成立恒成立,求求 m 的最大值的最大值.(1)f(t)=t3+3t2-3(t N*);(3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1.所求数列为所求数列为:-3,-1,1 或或 1,-1,-3;(2)f(t)=t3+3t2-3(t Z),f(t)=t t=-3,-1,1,故故 m 的最大值是的最大值是 3.8.已知函数已知函数 f(x)=px2+qx,其中其中,p0,p+q1.对于数列对于数列 an,设它的前项和为设它的前项和为 Sn,且且 Sn=f(n)(n N*).(1)求数列求数列

9、an 的通项的通项 公式公式;(2)证明证明:an+1an1;(3)证明证明:点点 M1(1,),M2(2,),M3(3,),Mn(n,)都在同一直线上都在同一直线上.1S12S23S3nSn(1)an=(2n-1)p+q(n N*);(2)an+1-an=2p0,an+1ana1=p+q=1;(3)只要证其中任意一点只要证其中任意一点 Mr(r,)(r1,r N*)与点与点M1(1,)1S1rSr连线的斜率为定值连线的斜率为定值(p)即可即可.1.已知已知 an 是等差数列是等差数列.(1)前前 4 项和为项和为 21,末末 4 项和为项和为 67,且且各项和为各项和为 286.求项数求项数

10、;(2)Sn=20,S2n=38,求求 S3n;(3)项数为奇数项数为奇数,奇数项和为奇数项和为 44,偶数项和为偶数项和为 33,求数列的中间项和项数求数列的中间项和项数.解解:(1)设数列的项数为设数列的项数为 n,依题意得依题意得:4(a1+an)=21+67=88.a1+an=22.由由 n(a1+an)=2Sn=2 286 得得:(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,且有且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-

11、3.n=26.故所求数列的项数为故所求数列的项数为 26.S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.(3)依题意依题意S奇奇+S偶偶=Sn,S奇奇-S偶偶=a中中,Sn=na中中.Sn=77,a中中=11,Sn=na中中.解得解得:a中中=11,n=7.课后练习题课后练习题 2.等差数列等差数列 an,bn 中中,前前 n 项和分别为项和分别为 Sn,Sn,且且 =,求求 .SnSn 7n+2n+4a5b5解解:an,bn 是等差数列是等差数列,它们的前它们的前 n 项和是关于项和是关于 n 的二次函数的二次函数,且常数项为且常数项为 0,a5=S5-S4=65k,b5=S5-S4

12、=13k.a5b5 =5.65k13kS9 S9 7 9+29+4a5b5或或 =5.a1+a92b1+b92a1+a92b1+b92 9 9 1365可设可设 Sn=kn(7n+2),Sn =kn(n+4),3.设设 an 是一个公差为是一个公差为 d(d 0)的等差数列的等差数列,它的前它的前 10 项和项和 S10=110,且且 a1,a2,a4 成等比数列成等比数列.(1)证明证明:a1=d;(2)求公差求公差 d 的的值和数列值和数列 an 的通项公式的通项公式.(1)证证:a1,a2,a4 成等比数列成等比数列,a22=a1a4.而而 an 是等差数列是等差数列,有有 a2=a1+

13、d,a4=a1+3d.(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得整理得 d2=a1d.d 0,a1=d.(2)解解:S10=110,而而 S10=10a1+45d,10a1+45d=110,又由又由(1)知知 a1=d,代入上式得代入上式得:11a1=22.即即 2a1+9d=22.a1=2.an=2+(n-1)2=2n.d=a1=2.公差公差 d 的值为的值为 2,数列数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2n.4.已知数列已知数列 an 满足满足 a1=4,an=4-(n2),令令 bn=.(1)求求证证:数列数列 bn 是等差数列是等差数列;(2)求数列求数列 an 的通项公式的通

14、项公式.an-1 4 an-2 1(1)证证:由已知由已知 an+1-2=2-=.4an 2(an-2)an an+1-21 =+.2(an-2)anan-2112 -=.an+1-21an-2112即即 bn+1-bn=.12故数列故数列 bn 是等差数列是等差数列.(2)解解:是等差数列是等差数列,an-2 1 =+(n-1)=.a1-21an-21n212数列数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2+.2nan=2+.2n 5.数列数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn=npan(n N*),且且 a1 a2,(1)求常求常数数 p 的值的值;(2)证明数列证明数列 an 是

15、等差数列是等差数列.(1)解解:当当 n=1 时时,a1=pa1,若若 p=1,则则当当 n=2 时有时有 a1+a2=2pa2=2a2.a1=a2 与与 a1 a2 矛盾矛盾.p 1.a1=0.由由 a1+a2=2pa2 知知:(2p-1)a2=a1=0.a2 a1,a2 0,p=.12(2)证证:由已知由已知 Sn=nan,a1=0.12当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,1212 =.an-1 an n-1 n-2 则则 =,=.an-2 an-1 n-2 n-3 a2 a3 21 =n-1.a2 an an=(n-1)a2.an-an-1=a2.故故数列

16、数列 an 是以是以 a1 为首项为首项,a2 为公差的等差数列为公差的等差数列.6.已知已知数列数列 an,an N*,Sn=(an+2)2,(1)求证求证:an 是等差是等差数列数列;(2)若若 bn=an-30,求数列求数列 bn 的前的前 n 项和的最小值项和的最小值.1218(1)证证:由由 an+1=Sn+1-Sn 得得:8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.(2)解解:由已知由已知 8a1=8S1=(a1+2)2 a1=2,故故由由(1)知知 an=4n-2.(an+1-2)2-(an+2)2=0.(an+1+an)(an+1-an-4)=0.an N*,an+1+an

17、 0.an+1-an-4=0 即即 an+1-an=4.an 是等差数列是等差数列.bn=2n-1-30=2n-31.解解 2n-310 且且 2(n+1)-310 得得:n0,da2ak0ak+1.由由 ak=2-(k-1)0 得得 k19.19由由 k=2n19(n N*)得得 n4.即在数列即在数列 a2n 中中,a21a22a23a24 0a25.当当 n=4 时时,An 的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.19946解解:求求 An 的最大值有以下解法的最大值有以下解法:法法2:若存在若存在 n N*使得使得 AnAn+1 且且 AnAn

18、-1,则则 An 的值最大的值最大.=(19n+2-2n+1),19 AnAnAn+1AnAn-1 19n+2-2n+119(n+1)+2-2n+2 19n+2-2n+119(n-1)+2-2n 解得解得:9.52n19(n N*)n=4.故故取取 n=4 时时,An 的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.19946 7.已知等差数列已知等差数列 an 的首项是的首项是 2,前前 10 项之和是项之和是 15,记记An=a2+a4+a8+a2n(n N*),求求 An 及及 An 的最大值的最大值.8.设设 an 为等差数列为等差数列,Sn 为数列为

19、数列 an 的前的前 n 项和项和.已知已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列为数列 的前的前 n 项和项和.求求 Tn.Snn解解:设等差数列设等差数列 an 的公差为的公差为 d,则则 Sn=na1+.n(n-1)d 2S7=7,S15=75,解得解得:a1=-2,d=1.Tn=n2-n.94147a1+21d=7,15a1+105d=75,a1+3d=1,a1+7d=5,即即 =a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212 -=,Sn+1 n+1 Snn1212Snn数列数列 是等差数列是等差数列,其首项为其首项为-2,公差为公差为 .9.两个数列两个数列 an 和和 bn

20、满足满足 bn=,求证求证:(1)若若 bn 为等差数列为等差数列,则数列则数列 an 也是等差数列也是等差数列;(2)(1)的逆命题也的逆命题也成立成立.1+2+n a1+2a2+nan 证证:(1)由已知得由已知得 a1+2a2+nan=n(n+1)bn.12a1+2a2+nan+(n+1)an+1=(n+1)(n+2)bn+1.12将将 式减式减 式化简得式化简得:an+1=(n+2)bn+1-nbn.1212an=(n+1)bn-(n-1)bn-1=(n+1)bn-(n-1)(2bn-bn+1).12121212bn 为等差数列为等差数列,bn-1=2bn-bn+1,bn+1-bn 为

21、常数为常数.an+1-an=(n+2)bn+1-nbn-(n+1)bn+(n-1)(2bn-bn+1)12121212=(bn+1-bn)为常数为常数.32故数列故数列 an 也是等差数列也是等差数列.证证:(2)(1)的逆命题为的逆命题为:两个数列两个数列 an 和和 bn 满足满足:1+2+n a1+2a2+nan bn=,若若 an 为等差数列为等差数列,则数列则数列 bn 也是等差数列也是等差数列.证明如下证明如下:an 是等差数列是等差数列,可设可设 an=an+b(a,b 为常数为常数).nan=an2+bn.a1+2a2+nan=a(12+22+n2)+b(1+2+n).1+2+

22、n a1+2a2+nan bn=an(n+1)(2n+1)+bn(n+1)n(n+1)12121613=a(2n+1)+b.bn+1-bn=a,为常数为常数.23故数列故数列 bn 也是等差数列也是等差数列.10.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列,其前其前 n 项和为项和为 Sn,a3=7,S4=24.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)设设 p,q 是正整数是正整数,且且 p q,证明证明:a1+2d=7 且且 4a1+6d=24.解得解得:a1=3,d=2.an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.Sp+q (S2p+S2q).12故数列故数列 a

23、n 的通项公式为的通项公式为 an=2n+1.(2)证证:由由(1)知知 an=2n+1,Sn=n2+2n.(1)解解:设设等差数列等差数列 an 的公差为的公差为 d,依题意得依题意得:2Sp+q-(S2p+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2.又又 p q,2Sp+q-(S2p+S2q)0.Sp+q (S2p+S2q).12故故小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！谢谢您下载使用！附赠附赠 中高考状元

24、学习方法中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。一定的借

25、鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分英语分英语141分分 文文综综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还

26、问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学1

27、40分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心 班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经

28、常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。上海上海20062006高考理科高考理科状元状元-武武亦文亦文武亦文武亦文 格致中学理科班学生格致中学理科班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文高考成绩：语文127127分分 数学数学142142分分 英语英语14

29、4144分分 物理物理145145分分 综合综合2727分分 总分总分585585分分 “一分也不能少一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上时报纸，晚上1010：3030休息，感觉很轻松地度过了三年高休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。中学习。”当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，文遗憾地说道，“平时模拟考试时，自己总有一门满分，平时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。这次高考却没有出现，有些遗憾。”坚持做好每个学习步骤坚持做好每个学

30、习步骤 武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡

31、然一笑，鼓励学生注重学习的过程。生注重学习的过程。”上海高考文科状元上海高考文科状元-常方舟常方舟曹杨二中高三曹杨二中高三(14)(14)班学生班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：北京高考志愿：北京 大学中文系大学中文系高考成绩：语文高考成绩：语文121121分数学分数学146146分分 英语英语146146分历史分历史134134分分 综合综合2828分总分分总分575575分分 (另有附加分另有附加分1010分分)“我对竞赛题一样发怵我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中

32、三年，我每天晚上都是高中三年，我每天晚上都是10:3010:30休息，这个生活习惯雷打不动。早休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是晨总是6:156:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会我也不会开夜车开夜车。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是

33、做完老师布置的作业就算完。间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。“用好课堂用好课堂4040分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味口味”。