大学解析几何ppt课件.ppt

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1、烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 向量的数量积向量的数量积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，

2、健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人量的分类：标量、向量（矢量）、张量等1.1 1.1 向量的概念向量的概念定义 集合 相互关系烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量的几何表示：向量的几何表示：|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或或或有向线段有向线段有向线段的方向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小有向线段的长度表示向量的大小,1.1 1.1 向量的

3、概念向量的概念返回下一页烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人所有的零向量都相等所有的零向量都相等.模为模为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.单位向量：单位向量：或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量.记为记为 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向两个模相等，方向相反的向量叫做互为量叫做互为反向量反向量.上一页下一页返回自由向量自由向量.固定向量固定向量烧伤病人的治疗

4、通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量叫做叫做共线向量共线向量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量叫做叫做共面向量共面向量.零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并不是所有的有向线段都表注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。示向量，如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下注：在不作声明的前提下

5、,所说的向量都是所说的向量都是自由向量自由向量.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O OA AB B这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则三角形法则三角形法则.一一、向量加法向量加法的概念的概念1.2 1.2 向量的加法向量的加法烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人

6、来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O OA AB BC C这种求两个向量和的方法叫做这种求两个向量和的方法叫做这种求两个向量和的方法叫做这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则.BackBack 注：注：注：注：在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则可归结为三角形法则可归结为三角形法则可归结为三角形法则.一一、向量加法向量加法的概念的概念为什么是这样定义，而不是其它的？烧伤

7、病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理定理定理1.2.21.2.21.2.21.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：向量的加法满足下面的运算规律：向量的加法满足下面的运算规律：向量的加法满足下面的运算规律：（1 1 1 1）交换律：）交换律：）交换律：）交换律：（2 2 2 2）结合律：）结合律：）结合律：）结合律：（4 4 4 4）（3 3 3 3）二二、向量加法向量加法的运算规律的运算规律O OB BC CA AO OB BC CA A烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大

8、面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O OA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An-1n-1A An n 这种求和的方法叫做这种求和的方法叫做这种求和的方法叫做这种求和的方法叫做多边形法则多边形法则多边形法则多边形法则.BackBack二二、向量加法向量加法的运算规律的运算规律烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人向量减法的向量减法的向量减法的向量减法的定义定义定义定义：.向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从

9、向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号等号的一端移到另一端，只需改变它的符号等号的一端移到另一端，只需改变它的符号等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.三三、向量的减法向量的减法烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O OB BA A向量减法的几何作图法向量减法的几何作图法向量减法的几何作图法向量减法的几何作图法:性质：性质：性质：性质：三三、向量的减法向量的减法烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植

10、，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人这个不等式还这个不等式还可以推广到任意这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：有限多个向量的情况：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人ABC上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人

11、1.3 1.3 数乘向量数乘向量下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（2 2）结合律：）结合律：（3 3）第一分配律：）第一分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系（4 4）第二分配律：）第二分配律：上一页下一页返回（1 1 1 1）烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得

12、两式相减，得上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人证明方法证明方法,是根据可能出现的情况是根据可能出现的情况,证明等式两边的向证明等式两边的向量长度相等与方向相同量

13、长度相等与方向相同.1)设设a与与b为共线向量：为共线向量：2)设设a与与b不共线不共线.空间解析几何空间解析几何090610.pdf我们对规律我们对规律4 给出证明给出证明.总结：总结：总结：总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项

14、式的运算规律相同，因此，规律相同，因此，规律相同，因此，规律相同，因此，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算样进行运算样进行运算样进行运算.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例1 1 设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 如图如图 因为 所以 但 因而 即 ABCM(图1.11)上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于

15、大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证证 设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么所以所以且且上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人1、对于任意取定的点组、对于任意取定的点组证明：（证明：（1）存在唯一的点）存在唯一的点，使得，使得（2）对于任意的点）对于任意的点 有有，.烧伤病人的治疗通

16、常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人一、向量的线性组合一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的向量的加法和向量的数乘统称为向量的向量的加法和向量的数乘统称为向量的向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算线性运算线性运算线性运算.BackBack1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、共线向量的基底二、共线向量的基底BackBack烧伤病人的治疗通常是取

17、烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人三、共面向量的基底三、共面向量的基底O OE E2 2B BP PE E1 1A ABackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人四、空间向量的基底四、空间向量的基底E E3 3E E2 2E E1 1O OP PA AB BC C烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例题例题ONBPAM烧伤病人的治疗通常是取

18、烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD=上一页下一页返

19、回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF1是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人五、向量的线性关系五、向量的线性关系BackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人

20、六、向量线性相关的条件六、向量线性相关的条件BackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人七、共线向量的条件七、共线向量的条件BackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人八、共面向量的条件八、共面向量的条件烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例4 4 设设 为两不共线向量，证明为两不共线向量，证明 共线的充要条件

21、是共线的充要条件是 上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人证证 共线 线性相关，即存在不全为0的实数 使 即 又因为 不共线 线性无关 有唯一零解 上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例3 3 上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理 设设A,B是不同的两点是不同的两点,则点则点C在

22、直线在直线AB上的充要上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点条件是对空间中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对存在惟一的一对实数实数m,n,使得使得且且m+n=1.而而C在线段在线段AB上的充要条件是上的充要条件是 且上述关系成立且上述关系成立.空间解析几何空间解析几何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O O一、标架一、标架O OP PO O 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们

23、想一想如何来治疗该病人O OO O右手（旋）标架右手（旋）标架右手（旋）标架右手（旋）标架左手（旋）标架左手（旋）标架左手（旋）标架左手（旋）标架BackBack一、标架一、标架烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、坐标二、坐标O OP PBackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人三、坐标系三、坐标系1 1 1 11 1 1 1对应对应对应对应1 1 1 11 1 1 1对应对应对应对应右手坐标系右手坐标

24、系右手坐标系右手坐标系 ；左手坐标系；左手坐标系；左手坐标系；左手坐标系 ；仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人O三、坐标系三、坐标系烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人x三、坐标系三、坐标系Oyz烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来

25、讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人面面面面面面坐标系共分坐标系共分八个卦限八个卦限烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 卦限坐标 xyz 卦限坐标 x+yz 卦限坐标 x+y+z 卦限坐标 x+y+z+卦限坐标 x+-y+z+卦限坐标 x+-y+z+卦限坐标 x+-y+z+卦限坐标 x+-y+z+卦限坐标 x+-y+-z+卦限坐标 x+-y+-z+卦限坐标 x+-+y+-z+卦限坐标 x+-+y+-z+卦限坐标 x+-+y+-z+卦限坐标 x+-+y+-z+卦限坐标 x+-+y+-+z+卦

26、限坐标 x+-+y+-+z+-卦限坐标 x+-+-y+-+z+-卦限坐标 x+-+-y+-+z+-卦限坐标 x+-+-y+-+z+-卦限坐标 x+-+-y+-+z+-卦限坐标 x+-+-y+-+-z+-卦限坐标 x+-+-y+-+-z+-卦限坐标 x+-+-+y+-+-z+-卦限坐标 x+-+-+y+-+-z+-卦限坐标 x+-+-+y+-+-z+-烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示特殊点的表示特殊点的表示:坐标面上点的坐标有坐标面上点的坐标有坐标

27、面上点的坐标有坐标面上点的坐标有一个一个一个一个为零，为零，为零，为零，点点M 的坐标，记为的坐标，记为 坐标轴上点的坐标有坐标轴上点的坐标有坐标轴上点的坐标有坐标轴上点的坐标有两个两个两个两个为零为零为零为零.三、坐标系三、坐标系烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.BackBack烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人（1 1 1 1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标

28、）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标定理定理定理定理1.5.11.5.11.5.11.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点 的坐标的坐标的坐标的坐标.（2 2 2 2）用向量的坐标进行向量的线性运算）用向量的坐标进行向量的线性运算）用向量的坐标进行向量的线性运算）用向量的坐标进行向量的线性运算定理定理定理定理1.5.21.5.21.5.21.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和两向量和的

29、坐标等于两向量对应的坐标的和两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和.定理定理定理定理1.5.31.5.31.5.31.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应 坐标的积坐标的积坐标的积坐标的积.四、向量的坐标运算四、向量的坐标运算烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲

30、，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理1.5.4 已知两个非零向量则则共线的充要条件是共线的充要条件是 定理定理1.5.5 已知三个非零向量，则，则共面的充要条件是共面的充要条件是 上一页返回三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是？四点共面的充要条件是四点共面的充要条件是？空间解析几何空间解析几何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解解设设为直线上的点，为直线上的点，线段的定比分点坐标线段的定比分点坐标上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体

31、移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人由题意知：由题意知：上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人l l 1.6 1.6 向量在轴上的射（投）影向量在轴上的射（投）影空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人

32、l l空间向量在轴上的射影空间向量在轴上的射影烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人向量的射影定理向量的射影定理向量间夹角向量间夹角的规定的规定烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理1.6.11.6.1的说明：的说明：射影为正；射影为正；射影射影为负；为负；射影为零；射影为零；(4)相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于

33、大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人向量的射影定理向量的射影定理注注注注:可推广到有限多个的情形可推广到有限多个的情形可推广到有限多个的情形可推广到有限多个的情形.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解解上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人启示启示实例实

34、例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.M1M2 1.7 1.7 两矢量的数量（性）积两矢量的数量（性）积下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.定义定义上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有

35、限，请同学们想一想如何来治疗该病人关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：若若 、为数为数：（3 3）若）若 为数为数：上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例例例1 1 1 1 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和证明平行四边形对角线的

36、平方和等于它各边的平方和证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.例例例例2 2 2 2 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面.例例例例3 3 3 3 试证三角形的三条高交于一点试证三角形的三条高交于

37、一点试证三角形的三条高交于一点试证三角形的三条高交于一点.P39-40 例例1、2、3空间解析几何空间解析几何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人

38、的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解解上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人证证上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人由勾股定理由勾股定理向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康

39、皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人为空间两点为空间两点.空间两点间距离公式空间两点间距离公式上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进

40、行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角.上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该

41、病人当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人方向余弦的特征方向余弦的特征上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 上一页返回有向角的概念有向角的概念P35,（P32）空间解析几何空间解析几何090610.pdf例例5,P45(P19)空间解析几何空间解析几何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人

42、来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页下一页返回P21空间解析几何空间解析几何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人ca c0a2烧伤病人的治疗通常

43、是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人cbaa+b(a+b)ca cc0.b c烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页下一页返回例例2 证明证明烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人

44、的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人一、混合积的概念 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、混合积的几何意义烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人bc a baS=|a b|h二、混合积的几何意义烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗

45、该病人h ac a bb.二、混合积的几何意义烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人h ac a bb.其混合积（其混合积（abc）=0三矢三矢 a,b,c共面共面因此，因此，二、混合积的几何意义烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人三、混合积的性质烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人四、混合积的坐标表示P25空间解析几何空间解析几

46、何090610.pdf烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解解例例上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解解上一页下一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧

47、伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定义定义1.10.1.对空间中的三个向量对空间中的三个向量,先作其中两个向量的外积先作其中两个向量的外积得一向量得一向量,再将所得向量与第三个向量作外积再将所得向量与第三个向量作外积,那么最后的结那么最后的结果仍然是一向量果仍然是一向量,该向量叫做所给三个向量的双重外积该向量叫做所给三个向量的双重外积.证证:如果如果a,b,c中有一个为零向量中有一个为零向量,或或a与与b共线共线,定理显然成立定理显然成立.1.10-1 1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大

48、面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人以下假设以下假设a,b,c都是非零向量都是非零向量,且且a与与b不共线不共线.我们首先证明我们首先证明(1)可设可设解得解得下面我们证明公式下面我们证明公式1.10-1成立成立.对空间中的任意向量对空间中的任意向量c,总有总有烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人从而有从而有即公式成立即公式成立,证毕证毕.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人结论结论 在在

49、一般情况下一般情况下，是两个不同的向量，是两个不同的向量，因此，因此，向量积不满足结合律。向量积不满足结合律。定理定理1 1记忆规律记忆规律 三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其余向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积。两向量的数量积的乘积。烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例题例题例1 试证雅可比（Jacobi）恒等式例2 证明烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面

50、积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人(5.15)(5.16)则式则式(5.15)及式及式(5.16)是方程组有解的必要条件是方程组有解的必要条件.下面再证它们也是充分条件下面再证它们也是充分条件,并求解并求解.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人令令(5.20)(5.21)烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人将式将式(5.20)和式和式(5.21)代入第一式左端得代入第一式左端得:若式若式(