直线方程（解析版）.pdf

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1、考点4 1 直线方程知识理解一.直线的倾斜角(1)定义：当直线/与X轴相交时，取 X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.(2)规定：当直线/与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线/倾斜角的取值范围是 0,兀).二.斜率公式(1)定义式：直线/的倾斜角为a(a 用，则斜率=ta n a.(2)坐标式：P G i，yi),AS，竺)在直线/上，且莺分2，则/的斜率-空1X2-X三.直线方程的五种形式四.两直线的位置关系(1)两条直线平行名称方程适用范围点斜式y-yo=k（xx（）不含垂直于x 轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线两点式y

2、-y _ v iy2-y X2X不含直线X=X 1(R#X 2)和直线 =巾。1 分2)截距式+=la b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式A r+8 y+C=0,A2+B2 0平面内所有直线都适用对于两条不重合的直线小 方 若其斜率分别为七，依，则有/|/2 T：1=心当直线/1,/2不重合且斜率都不存在时，(2)两条直线垂直 如 果 两 条 直 线/2的斜率存在，设为履，k 2,则有/1，/2 4|永 2=-1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为。时，hl2.(3)两直线相交=0,(1)交点：直线6 A i x+8 i y+G=0 和 6：4 加+8 2)，+。2=0 的

3、公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组,(的A2x+B2y+C2=0解-对应.(2)相交域程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解.(3)平行台方程组无解.(4)重合O方程组有无数个解.五.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(X )，尸 2(X 2，丫 2涧的距离公式为尸1 尸 2|=/_X2X 阡 次 一 力(2)点到直线的距离公式|A r o+B yo+Cl)A2+B2点尸0(加，州)到直线/：4 x+B y+C=0 的距离d=(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax+By+G=O与 A r+8 y+C 2=0 间的距离.六.与对称问题相关的四个结论:(1)点(x,y)

4、关于点(a,b)的对称点为(2-x,26)，).(2)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=Z)的对称点为(x,2/J-y).(3)点(x,y)关 于 直 线)的 对 称 点 为(y,x),关于直线=一 x 的对称点为(一y,%).(4)点(x,y)关于直线x+y=/的对称点为(/y,k-x),关于直线xy=%的对称点为(Z+y,x-k).A.例 1 (1)(20 20 全国高三(理)直线x+由 y+l=O的倾斜角是(2)(旧教材必修2P 36 练习Ts改编)若过点做一2,而,4)的直线的斜率等于1,则明的值为同(3)(20 21 全国高三月考(理)已知直线y=?x

5、的倾斜角为。，则c os2a=【答案】(1)1 5 0 (2)1 (3)-7【解析】(1)因为直线x+gy +l=O的斜率为一 乎 所 以其倾斜角为1 5 0 故选：D(2)由题意得上=1，解得m=L一2一 加(3)因为直线y=的倾斜角为a,所以ta n a =Y 3.-2 2又c os2a=c os2 a-sin2 a-c os2 6 Z-sin2 a2 2c os c r +sin a分子分母同时除以c os20,得c os2a =1二,将ta n a =也 代 入可得c os2a =41 +ta r r a 2 7【举一反三】1.（20 20 浙江衢州市 高三学业考试）直线x+G y-5

6、 =0的倾斜角为（）A.-3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】D【解析】.,t a na=，0 a =6,.点M(1,6),故选：D.(2)由题知直线/i 过定点(40),则由条件可知，直 线/2 所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线/2所过定点为(0,2),故选B.(3)设宜线2 x-4y-1 =0 ：点。(%,%)关于立线为 +丁 =。对称点的坐标为(苍J)，则 卜 fX+%T=i y+%2=ox=_ y整理可得：%=-x 2y+4x 1 =0,即直线2 x-4 y-l=0 关于x+y =0对称的直线方程为：4 x-2 y-l=0.故选：A.【方法总

7、结】1 .点关于点对称的求解方法x2axt,若点M(x“和 点 M x,0关于点尸(a,6)对称，则由中点坐标公式得 ,进而求解.j=2 b yt,2 .点关于直线对称的解题方法若 两 点 A (x i ,弘)与Pz(xi,关 于 直 线1：Ax B y C=0对 称，则 由 方 程 组可得到点4 关于直线/对称的点月的坐标(尼，女)(其中/0,X 丰X.3.线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.4.线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质

8、就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”.【举一反三】1.过点P(0,1)作直线，使它被直线Z：2 叶 y 8=0 和 乙 x 3 y+1 0=0 截得的线段被点尸平分，则直线1的方程为.【答案】x+4 y-4=0【解析】设直线乙与直线/的交点为力(a,8 2 a),则由题意知，点/关于点尸的对称点夙一a,2 a-6)在心上，把 3 点坐标代入直线区的方程得一a3(2 a6)+10=0 ,解得a=4,即点/(4,0)在直线/上，所以由两点式得宜线/的方程为x+4 y-4=0.2 .已知直线7：2 x 3y+l=0,点 4(-1,一2),则直线，

9、关于点4 对称的直线加的方程为【答案】2x3 y-9=0 解析 在直线/上取两点8(1,1),以10,7),B,。两点关于点4 的对称点为6(3,-5),C(-1 2,v+11 叶 12-1 1).所以直线卬的方程为 即 2x3y9=0.3.(2021 浙 江)直 线 y=2x+l 关于原点对称的直线方程是()A.y-2 x-B.y=-2 x-C.y-2 x+D.y=2x【答案】A【解析】点。1),(1,3)在直线丁=2+1上，则(0,-1),(1,一 3)在所求直线上-3-(-1)所求直线的斜率左=2,则所求直线方程为丁 =2(%-0)-1=2%1故选：A一104.已知直线y=2*是中N C

10、 的平分线所在的直线，若点4 6 的坐标分别是(一 4,2),(3,1),则 点 C的 坐 标 为()A.(一2,4)B.(2,一4)C.(2,4)1).(2,-4)【答案】C【解析】设 4(4,2)关于直线尸2x的对称点为(x,/),则y2x+4X2=-l,y+2=2 X4+x-2-解得x=4,y2,9 1.比 所 在 直 线 方 程 为 r3x+y-10=0,(x-3),即 3x+y10=0.联立y=2x,解得 二;则C(2,4).强化练习1.（2021 河南平顶山市高三二模（文）已知直线/过第一象限的点（根,）和（1,5）,直线/的倾斜角为135,1 4则 的 最 小 值 为（）m n2

11、 3A.4 B.9 C.-D.-32【答案】Dn 5 一【解析】由题得-=tan 135=-1,n=6（m O,n 0）,m-rri l1 4 1 z 1 4-、1 n 4m、1 z 八 n 4mx 3所以 I =（I ）（m+n）=（5-1-1-）（5+2.1-）=.m n 6 m n 6 m n 6 m n 21 4 3当且仅当加=2,=4 时取等.所以一+一的最小值为一.故选：I）m n 22.（2020 全国高三专题练习）直线G x-y +a=O的倾斜角为（）A.30 B.60 C.150 D.120【答案】B【解析】y+a=O，.=tan e=G，;0 W c 1 8 0 ,;.a

12、=60.故选：B3.（2020咛夏银川市贺兰县景博中学高三月考（理）若直线y=3x的倾斜角为a,则图 a 的值为（）4 4 3 3A.-B.一一 C.-D.-5 5 5 5【答案】C，-八 2 sin a cos a 2 tan a 2x3 3 一工【解析】由题息 ta n a=3,/.sin 2a=-=z-=：=.故选：C.sin a +cos-a ta rra +1 3+1 54.（2020 全国高三专题练习（文）直线x sin a +y+2=0 的倾斜角的取值范围是（）.jr 3乃A.0,）B.O,-U ,兀）4 4r c冗、“兀、万、C.0,D.0,u f,7t）4 4 2【答案】B【

13、解析】:直线斜率2 =-s i n a,又-1 s i n e 1 ,/.-1 Z r 1,设直线倾斜角为。，1K t a n 6 4 l,而，。，/），故倾斜角的取值范围是 0，。孚，兀）,故选：B.4 47 15.（2 0 2 1 全国高三专题练习）已知直线/:y =-t a n,i+l,则该直线的倾斜角为（7 1 乃 6乃 8 乃A.-B.-C.D.7 7 7 7【答案】C)【解析】设直线的倾斜角为。，（04 6 /?7 =-8,则 4 :4 y +3 0 ,联立x-2 y+4=0-8x-4y+3=0=v1x=27则直线4 4的交点为故答案为：（一（,（）.177-41-214.（202

14、1 山东济南市=）若直线x-y+1 =0与 直 线 小+3y-1 =0互相垂直，则实数机的值为.【答案】3【解析】因为直线x-y +l=0与直 线 尔+3y-1 =0互相垂直，所以加一3=0,解得：加=3枚答案为:315.（2021 山东淄博市）已知直线4：（，一l）x-3y+3=0和直线4：2x+冲-5=0垂直，则实数?=【答案】-2【解析】由于两条直线垂直，故（2-l）x2+（-3）xm=O,解得机=一2.故答案为：加=一2.16（2021 江西上饶市）点（0,2）到直线 =左（+2）距 离 的 最 大 值.【答案】2&【解析】因为直线=M%+2）显然过点（一2,0）,即A（-2,0）,B

15、（0,2）,连接A B,若A B 1/,则点（0,2）到直线y=（x+2）的距离为d=|AB|=2应;若AB不垂直/,则点（0,2）到直线丁 =左（+2）的距离d必小于|AB|,综上，点（0,2）到直线）=左（+2）距离的最大值4ax=|明=2 0.故答案为：2 0.17.（2020 全国高三专题练习（理）直 线/经 过 4（3,1）,6（2,一狗（卬 e 用两点，则直线/的倾斜角。的 取 值 范 围 是.【答案】4 2）【解析】直 线 1 的斜率k=匕*=1+序 1,3-2所以 A=ta n。2 1,又 y=tan 在（o,J 上是增函数，7 1 兀因此一 W C7A7T7 _ 荻3 _中3

16、 2故答案为：述42 1.（2 02 1 天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）在口 ABC中，A（1,3）,B（2,-2）,C （-3,1）,则是 线 段 的 中 点，则中线仍长为【答案】5【解析】由一=一1,平=2所以。（一 1,2）,贝 IJ|即=,（2 +1）2+（-2-2）2 =4=5故答案为：52 2.（2 02 1 广东湛江市高三一模）一条与直线2 产3=0平行且距离大于石的直线方程为一【答案】x-2 y +9 =0（答案不唯一）【解析】设该直线方程为x-2 y +b =0由距离公式可知L3餐-b ，r5-,解得6 8则该直线可为x 2 y+9 =0故答案为：x-2 y +9 =0（答

17、案不唯一）2 3.（2 02 1 安徽池州市）若直线4 ：2 x-y +1 =0 与 4 ：4 x+冲+4 =0 平行，则,间的距离为【答案】李【解析】由题意4 勿 1 4-=解得加=2,故直线/2：4 x 2 y+4 =0,即乙：2 x-y +2 =0,故人 间的距高2 1 1,|2-1|加故答案为：牛.2 4.(2 02 1 全国课时练习)三角形的三个顶点是4 4,0),5(6,7),C(0,3).(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程.【答案】(1)3 x+2 y-2 =0-(2)5 x+y-2 0 =0.7-3 2【解析】(1)8C边所在直线的斜率即0=黄=因

18、为8C所在直线的斜率与颇高线的斜率乘积为-1,3所以8c高线的斜率为-彳，又因为BC高线所在的直线过A(4,0)3所以5。高线所在的直线方程为丁一0=-：5-4),即3 彳+2 丫-12 =0(2)设 8c中点为M ,则中点M(3,5),又5,所以BC边上的中线AM 所在的直线方程为：y =-5(x-3)+5,t!|J：5 x+y 2 0=02 5.(2 02 1 全国课时练习)求曲线y =ln(2 x-l)上的点到直线2 x-y +3 =0 的最短距离.【答案】y/5【解析】设曲线上点P 的坐标为(5,光),则曲线y =ln(2 x l)在点P 处的切线与立线2 x y+3 =0 平行,/、

19、2 2对函数y =ln(2 x-l)求导得y =所以，-一-=2,解得%=1,2 x 1，玉)1所以，所求点的坐标为(1,0)，点(1,0)到直线2 x -y +3 =0 的距离为d尸F因此，曲线y =ln(2 x 1)上的点到直线2 x-y +3 =0 的最短距离为石.2 6.(2 02 1 东至县第二中学)已知直线/经过点。(-2,4).(1)若原点到直线/的距离为2,求直线/的方程；(2)若直线/被两条相交直线4：2 x-y-2 =0 和 4：x+y +3 =0 所截得的线段恰被点p平分，求直线/的方程.【答案】（l）x=2或3x+4y-10=0：（2）y=4.【解析】（1）直线/的斜率

20、不存在时，直线方程为尤=-2,符合条件.直线/的斜率存在时，设直线方程为y-4 =A（x+2）,2k+4|由原点到直线/的距离为2得 J2,yjk2+l3解得人=一二.43故直线/的方程为y-4 =（x+2）,4即 3x+4y-10=0.综上，所求直线/的方程为x=-2或3x+4y 10=0.（2）设直线/夹在直线，勾之间的线段为48（A在4匕B在勾 匕，A 8的坐标分别设为（,乂），（毛,%），因为A 3被点尸平分，所以X I+%=-4,另+%=8，即=-4-g，y2=8-.由于A在 上，B在4上，即V r C-x+y _ 7 =0,解得=3,y=4,即A的坐标是（3,4）,故直线/的方程是y=4.