圆的对称性(解析版).pdf

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1、2021年八年级数学 暑假作业的课程无忧衔接（苏科版）考点12圆的对称性【知识点梳理】圆的对称性（D圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是对称图形诠释：圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.垂径定理。（D垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦【新课程预习练 无忧衔接】一、单选题1 .下列四个命题：同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；同圆或等圆中，相等的

2、弦的弦心距相等；同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.真命题的个数有（）A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个【答案】C【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C.【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质2.往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以

3、后，截面图如图所示，若水面宽度A B=24cm,则水的最大深度为（）A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm【答案】B【分析】连接OA,过点。作交AB于点C交。O于。，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出8 的长.【详解】解：连接OA,过点。作O D L A B交A B于点C交。于/）,：O C LA B,由垂径定理可知，：.AC=CB=AB12,2在R tA O C中，由勾股定理可知：OC=V（9A2-AC2=V132-122=5，C）=OD OC=13-5=8.），故 选:B.【点睛】考查了垂径定理及勾股定理的应用.3.点 尸 是。内一点，过点尸的最长弦的长为10cm,最短弦的

4、长为6cm,则OP的 长 为（）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦:根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得0 P的长.【详解】解：如图所示，C C L 4 8于点P.根据题意，得AB=10cm,C)=6cm.OC=5,CP=3u：CD LAB,CP-CA)=3 cm.2根据勾股定理，得0P=yjoC2-C P2=4 c m-故 选B.【点 睛】综合运用 了 垂 径 定 理 和 勾 股 定 理.正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦.4.如 图，在 半

5、径 为2逐 的。0中，弦AB,C。互相垂直，垂 足 为 点P.若AB=CD=8,则O P的 长 为（）A.4拉C.4【答 案】B【分 析】D.2作于M,ONLCD于N,连 接04,O C,根据垂径定理得出8M=AM=4,DN=CN=4,根据勾股定理 求 出0M和0 M证明四边 形。是正方形，即可解决问题.【详 解】解：如图，作0M_LA8于M,ONLCD于N,连 接04,0C.：.AM=BM=4,CN=DN=4,，：0A=0C=2 逐,0M=J。1 _.2=4 2国-4?=2,0N=yj0C2-C N2=4 2 肩42=2，OM=ON,AB LCD,：.NOMkNONP=/MPN=90。,，四

6、边形OMPN是矩形，；OM=ON,，四边形。例PN是正方形，；=逝。M=2 血，故选：B.【点睛】考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.5.如图，AB是。的直径，弦CDLA8于点E，OC=2cm,CD=2 6 c m，则AE的长是（)A.(夜+2,01 B.2cm C.72cm D.4cm【答案】A【分析】由垂径定理可得CE的长度，再由勾股定理可得O E的长度，然后由AE=AO+OE即可得出A E的长度.【详解】解：；弦 C)_LA3 于点 E，CD=242 cm,CE=CD=V2 cm,2在.RMOCE

7、中,OC-2cm,OE=OC2-CE1=J22-(A/2)2=V2(cm),AE=OE+OA=(y/2+2)cm,故选：A.【点睛】考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出0 E的长度是解题的关键.6.如图，C、。是以AB为直径的圆。上的两个动点(点C,。不与A、B重合)，在运动过程中弦8始终保持不变，例是弦8的中点，过点C作CP_LA6于点P.若CD=3,AB=5,，则x的最大 值 是()DA.3 B.75 C.2.5 D.273【答案】C【分析】如图：延长CP交O O于M 连接DM 易证尸M=L DN,所以当W为直径时，PM的值最大.2【详解】解：如图：延长C P交0。于N

8、,连接DN.-.ABLCN,:.CP=PN,;CM=DM,:.PM=-DN,2二当DN为直径时，尸M的值最大，最大值为之.2故选：C.【点睛】考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形中位线解决问题.7.如图，在 O O 中半径0 C 与弦A B 垂直于点。，且 A 3 =8,OC=5,则 C O 的 长 是()A.I B.2 C.2.5 D.3【答案】B【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案.【详解】解：连接04,设 CD=x,OA=OC=5,：.0D=5-x,：OCLAB,，由垂径定理可知：40=4,由勾股定理可知：52=42+(5-

9、x)2,.x=2,：.Cl)=2,故选：B.【点睛】考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型.8.如图，AB是。的直径，点 E 是 4 3上一点，过点E 作交。于点C,D,以下结论正确的是（）A.若。的半径是2,点 E 是 0 B 的中点，则B.若 8=百，则（DO的半径是1C.若NC48=3 0。，则四边形0C8。是菱形D.若四边形OCBO是平行四边形，则/C 4B=60。【答案】C【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一 求解判断即可.【详解】解：A、；OC=OB=2,点E 是 0 8 的中点，0E=1,?CD LAB,A Z CEO=90,CD=2CE,

10、CE=-JOC2-OE2=,:-CD=2CE=2 6 本选项错误不符合题意;B、根据CO=G，缺少条件，无法得出半径是1,本选项错误，不符合题意;C、V ZA=30,：.ZCOB=60f,:OC=OB,.COB是等边三角形，；BC=OC,：CE=DE,:.BC=BD,：.OC=OD=BC=BD,.四边形OCB。是菱形；故本选项正确本选项符合题意.。、四 边 形 是 平 行 四 边 形，OC=OD,所以四边形OCBD是菱形 OC=BCf,:OC=OB,：.OC=OB=BC,：./8O C=60。，/.?CAB!?BOC 3 0?,故本选项错误不符合题意.故选：C.【点睛】考查了圆周角定理，垂径定

11、理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.9.如图，在 RtAABC中，NACB=90。，分别以A8,BC,C 4为直径作半圆围成两月牙形，过点C 作。尸 CE 3A 8分别交三个半圆于点。，E,F.若 一=-,AC+BC=15,则阴影部分的面积为（）DF 5A.16 B.20 C.25 D.3 0【答案】C【分析】连接AF,B D,先证明四边形48。尸是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC=15,求出k 的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积.【详解】解：连接A尸，H D,如图,VAC,BC是直径，

12、ZAFC=90,ZBDC=90,：DF/AB,二四边形尸是矩形，：.AB=FDt取AB的中点O,作。GLFO,.CE _3,DF 5则 设=1(R,CE=6k,由垂径定理，则CG=CE=3 Z,2/.OC=OA=OB=5k,：,OG=4k,AF=BD=4k,CF=DE=2k,由勾股定理，则AC=y/CF2+AF2=2-j5k-BC=J g+/=4限,：AC+BC=5,2限+4限=15,叵2/.AC=5-BC=1(),AB=DF=5也,阴影部分的面积为SAC5 C+.连)2+4 .(当2 2 2 2 2 2 22S=gx5xlO+；.弓产,1 ,10.2 1 .5A/5.2+7*()77万，()

13、2 2 2 2=25；故选：C.【点 睛】考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积.10.如 图，有一圆弧形桥拱，拱 形 半 径。4=l()m,桥 拱 跨 度A3 =16m,则 拱 高CO为()A.4mB.6mC.8mD.10m【答 案】A【分 析】根据垂径定理和勾股定理得出042=46+。求解即可.【详 解】解：根据垂径定理可知AO=8,在直角AAOD中，根据勾股定理得:OA2=AD2+OD2则 1 0 2=8 2+（1 0-C D）2解得：C Q=1 6或4,根据题中O A=1 0

14、 m,可知C Z 1 6不合题意，故舍去，所以取C =4 m.故选：A.【点睛】考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于C O的等式是解题关键.1 1.如图，0。的半径。4 =7.5,弦Q E _ L钻 于 点C,若O C:B C =3:2,则DE的 长 为（）A.7.5 B.9 C.1 0 D.1 2【答案】D【分析】连接。D,由题意得O D=O B=O A=7.5,O C=3/5 O B=4.5,再由垂径定理得C D=C E=1/2 D E,然后由勾股定理求出C D=6,即可得出答案.【详解】解：连接O D,如图所示：；。0 的半径 OA=7.5,OC；BC=3；2,.3.OO=O

15、B=OA=7.5,OC=-OB=4.5,5DEA.AB,：.C D=C E=-D Ef2-C D =y jo if-O C1=J7.52_4.52=6,：.DE=2CD=2,故选：D.【点睛】考查了垂径定理和勾股定理.12.如图，A B 是。O 的直径，C 为。上的点，把AAOC沿 0 C 对折，点 A 的对应点D 恰好落在。O 上,且 C、D 均在直径A B 上方，连接AD、B D,若 AC=4百，B D=4,则 A D 的长度应是()A.12 B.10 C.872 D.673【答案】C【分析】A D 交 OC于 E,如图，利用折叠的性质得A C=O C，得到O C LA D,所以A E=D

16、 E,再证明OE为 ADB的中位线得到O E=2,利用勾股定理，在 RtAAOE中，AE2=OA2-OE2=r -22,在 RQ ACE中，AE CA?-CE(4/3)2 -(r-2)2,然后解方程组即可.【详解】解：A D 交 OC于 E,如图，设。的半径为r,AOC沿 O C对折，点 A 的对应点D 恰好落在。O 上,A AC=DC.OCAD,AE=DE,VOA=OB,A O E为二ADB的中位线，AOE=-BD=2,2在 R S AOE 中,AE2=OA2-OE2=r -22,在 RQ ACE 中，AE2=CA2-CE2=(4 7 3)2-(r-2)2-.r2-2?=(4-73)2-(r

17、-2)2,解得 n=-4,n=6,/.A E=7 62-22=4 7 2，A D=2 A E=8 0 .故选：C.【点睛】考查折叠的性质和垂径定理，解题关键是利用折叠和垂径定理，设半径根据勾股定理列方程.二、填空题13.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端A B,量的弧A 8的中心C 到 A 8的距离CO=1.6cm,A 8=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在园的半径为 cm.【答案】4【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接A C,作AC的中垂线，与直线CQ的交点就是圆心,已知圆心即可作出圆；连接圆心与A,根据

18、勾股定理即可求得半径.【详解】如图，1连接。A,8 是 弦 的 垂 直 平 分 线，AD=AB=3.2,2设圆的半径是八在直角AA。中，AO=根据勾股定理得，/=3.2?+（一IS）?,r,AD=3.2,DO=r-1.6.r=4故答案为：4【点睛】考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键.1 4.如图，在半径为1的扇形A 08中，NAOB=9 0 ,点P是 弧 上 任 意 一 点（不与点A,8重合）,OCAP,O D L B P,垂足分别为C,D,则C。的长为.【答案】也2【分析】连接A 8,利用勾股定理求出A B,再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可

19、.【详解】解：连接A 8,如下图所示：O B：ZAO BO0,OA=OB=,AB=VOfic+OB2=Vl2+12=V2,V OCAP,ODLBP.A AC=CP.PD=DB，8为 的 中 位 线，CD=-AB=,2 2故答案为：也.2【点睛】考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题.15.如图，AA B C内接于圆。，连结A O,D,E 分 别 是 的 中 点，且 O D =Q E,若NODE等于10,则D 3 等于.【答案】500【分析】连接08,O C,利用垂径定理和三角形内角和定理计算即可.【详解】解：连接OB,O

20、C,.点。为 BC 中点，OB=OC,C.ODLBC,:E 为 O A的中点，OE=OA=O B,2 2：OD=OE,：.OD=O B9N 080=3 0。,ZBOZ9=60,VZ0DE=10,J Z DOE=180-10-10=160,，Z A OZ?=3 60-Z DOE-Z BOD=140,：OA=OB,：.ZOBA=(180-140)=20,2/.ZABC=Z OBA+Z OBD=20+3 0o=50,故答案为：50.【点睛】考查了垂径定理，三角形内角和等知识，是重要考点，难度交易，掌握相关知识是解题的关键.16.如图，在。中，直径A B =1 0,弦C D L A B,交直径A B于

21、点E，C D=6,则EB=.【答案】1【分析】连接O C,根据垂径定理得出C E=E D=g c Z)=3,然后在RfAOEC中由勾股定理求出OE的长2度，即可得出结果.【详解】解：连接O C,如图所示：；弦 COJ_A8 于点 E,CD=6,：.CE=ED=8=3,2在 RdOECLp,NOEC=90。，CE=3,OC=AB=5,2：.O E=母 币=4,BE=OB-OE=AB-OE=5-4 1,2故答案为：1.【点睛】考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键.三、解答题17.小航在学习中遇到这样一个问题：如图，点 尸 是 线 段 上 一 动 点，线段AB=8cm,A B

22、 的垂直平分线交A B 于。，取线段8的中点。，连接F O 并 延 长 交 于,连接A E.若AAEF是等腰三角形，求线段A E 的长度.（1）根 据 点E在 线 段A 3上的不同位置，画出相应的图形，测 量 线 段A b,EF，A E的长度，得到下表的几组对应值.填 空：团 的值为,的值为AF 1cm01.02.03.04.05.06.07.08.0EF/cm6.75.64.53.5m3.54.5n6.7AE/cm6.76.56.25.75.04.23.63.22.9（2）将 线 段A f的长度作为自变量x,E F和A E的长度都是x的函数，分 别 记 为 八和 儿.，并在平面直角 坐 标

23、系X。），中画出了函数打，的图象，如 图 所 示.请 在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 儿 的 图 象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当AAE尸为等腰三角形时，线段长 度 的 近 似 值（结果保留一位小数）.【答 案】(1)3.0,5.6；(2)见解析；(3)3.3 cm,4.6cm,5.4cm【分 析】（1）根据垂径定理和图表数据，即可求出，”的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出的值;（2）根据表格描点连线即可；（3）根据横坐标即为4 尸的长，井,表 示 与 后 尸 的 函 数 关 系，表示4 尸与AE的函数关系，将等腰三角形的分类讨论转化为求

24、函数交点即可.【详解】（1）V C D 1 A B,AD=BD=4,由表可知，当4 尸=4时，点尸与点。重合，如图，则 E 与 C 重合，EF=CDAC=AE、在 Rt4 AEF 中，已知 A F=4.0,A E=5.0,：.EF=3.0,即尸3.0;由表可知，E 尸的长度数据关于，对称，.当A F=7.0 时和当A F=1.0 时，EF的长度相等,：.EF=5.6,故填5.6；（2）如图，描点连线:(3)如图，作直线)=x,AEF为等腰三角形有三种情况：AE=EF时，即AF=x为 与 九 的 交点横坐标，如图,AF=5Acm,当AF=E尸时，即求产x 与 心 的 交点横坐标，如图，AF=3.

25、3cm,当AE=A F 时，即求了 心.与尸x 的交点横坐标，如图，AF=4.6anf综上所述，当AAE尸为等腰三角形时，A尸的长为3.3的,4.6皿 或 5.4m.【点睛】考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的分类讨论，函数的图像与性质，解题关键是理解题意,熟练掌握相关知识点.1 8.(1)风筝起源于中国，至今已有2 3 0 0 多年的历史，如 图 1,在小明设计的“风筝”图案中，已知AB=A D,ZB=ZD，Z B A E =Z D A C.求证：AC=A；(2)如图2,一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是弧CO 的圆心，为弧CO 上一点，O E L C D,垂足为F.已知C =6 0 0 m

26、,E F =l(X)m,求这段弯路的半径.【答案】(1)答案见解析；(2)这段弯路的半径是5 0 0 m【分析】(1)由“4 S A”可证 8 A C=600m,F=100m,/.CF=3 00m,设。C=r,则。尸=r-100根据勾股定理：户=(r-100)2+3 002则 L 500,，这段弯路的半径是500m.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现.1 9.如图，A 3 是。的直径，弦 C。与A 3 交于点M，过点。作交。于点E，若M为 C D的中点.(1)求证：D E/A B；(2)连接AZ)，O

27、 E,若 O E/A D,求 N&W 的度数.c【答案】(D见解析;(2)60【分析】(1)利用同位角相等两直线平行，证明即可.(2)证 明 是 等 边 三 角 形 即 可 解 决 问 题.【详解】(1)证明：Q A 3 是直径，CM=DM ,：.ABA.C D,.D E I.CD,NCMB=NCDE=90,：.D E IIAB.(2)解：.O E/A D,OA!ID E,四 边 形 是 平 行 四 边 形，AD=O E，OA=OD=A D,.AAO。是等边三角形，ZBAD=60.【点睛】考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识2 0.如图，在平行四边行48C。中，A

28、B=5,8c=8,8 c边上的高A H=3,点尸是边B C上的动点，以C P为半径的。C与边AO交于点E,F(点E在点尸的左侧).(1)当。C经过点A时，求C P的长;(2)连接A P,当A P C E时，求OC的半径及弦E F的长.25 7【答案】(I)C尸=5；(2)OC的半径为一，E F=.8 4【分析】(1)连接A C,由勾股定理求出8 4=4,得出C”=4,由勾股定理求出C 4,当。C经过点A时，C P=C A=5；(2)先证明四边形A P C E是平行四边形，得出C P=C E,证出四边形4P C E是菱形，得出朋=C P,设附=C P=x,则P =4-x,由勾股定理得出方程，解方

29、程求出半径；作于M,则C M=4 H=3,由垂径定理得出M E=M F=-E F,由勾股定理求出M E,即可得出E F的长.2【详解】解：(1)连接A C,如 图1所示：,.O L 3C,二 ZAHB=AHC=90,BH=-JAB2-A H2=4，:.CH=BC-BH=4,-CA=yjAH2+CH2=5-当。C经过点A时，CP=CA=5；图1(2)四边形ABC。是平行四边形，J.AD/BC,当APCE时，四边形APCE是平行四边形,：CP=CE,，四边形APCE是菱形，：.PA=CP,设%=C P=x,则 PH=4-x,在 RtA APH 中，由勾股定理得：AH2+PH2=PA2,即 32+(4-x)2=舄25解得：户 互，25即。C 的半径为 一,8作 CMLEF 于 M,如图 2 所示：则 CM=A”=3,ME=MF=EF,2在 R S CEM中，由勾股定理得：M Ey/cE2-C M2=图2【点睛】考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识.