维纳滤波基本概念.pdf

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1、Wiener滤波概述W i e n e r滤波器是从统计意义上的最优滤波，它要求输入信号是宽平稳随机序列，本章主要集中在F I R结构的W i e n e r滤波器的讨论。由信号当前值与它的各阶延迟*5），工5-1）L.，底 一+1）,估计一个期望信号d ,输入信号武几）是宽平稳的，M）和或）是联合宽平稳的，要求这个估计的均方误差最小。在本章中，不特别说明，假设信号是零均值.W i e n e r滤波器的儿个实际应用实例如下：通信的信道均衡器。图 1.信道均衡器的结构示意系统辨识:y(n)图 2.线性系统辨识的结构+d(n)一般结构:u(n)AW i e n e r滤拨器y(n)+e(n)d(

2、n)图3.Wiener滤波器的一般结构Wiener滤 波 器 的 目 的 是 求 最 优 滤 波 器 系 数 乙，使J(n)=E e(n)I2=E|j(n)-J(n)|最 小。3.1 从估计理论观点导出Wiener滤波FIR结构（也称为横向）的Wiener滤波器的核心结构如图4 所示.u(n-M+l)图4.横向Wiener滤波器W m-lOVy(n)FIR结构的Wiener是一个线性Beyesian估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由 输 入 武 )和 它 的 1至(M-1)阶 延 迟，估 计 期 望 信 号 ()，确定权系数 W =,M 1 使估计误差均方值最

3、小，均方误差定义为：J =E(d()一才()2 人 M-1这里估计2()写为：k=0除了现在是波形估计外，与线性Ba yesi a n 估计一一对应。人 N7e=/)A=0k=0a J W=此,吗,以 一 1,x=x(O),x(l),x(N-l)r x(n)=x(n),x(n -I)zxz=:j*M 1,r*M-2,r 0 ,rxd=E xnd*n=rxd 0,rxJ-1,rxdWiner-Hopf 方程：0 -rxd 这里 W。=Wo o,W0 1,W0 2,解方程求得：0=Ri rxd最小均方误差：人在达最优时，,0 团 也 写 成 矶 出 X,表示由冗 汨，工团一1,张成的空间对dn的估

4、计（最优线性估计）。%卬=矶 一 川=矶 山 一 2 卬X 也可以写成：dn=e0n+d n Xn由2 卬X 和 e 0|X|正交性得：于=后 卜。网|+货=/m i n+b j _ 八_2 _2即：min-O d。公人 M T由 dnXn=nk=wSxnk 0得 aj=EdnXndnXn=EwxnxHnw0=w ExnxHnw0=w/&/=w/=rxdHw0=rxdHR-rxd则 J min d -2H2H D_1=O d-x d 卯o=d 一 心 R rxd误差性能表面M-1由刎=d n -n-k 直接代入j =E e n e叫 叫A/-1 M-M-M-敕 理 沪，=一 Z M0(一左)一

5、 Z w%*(一左)+z.Z戒 吗 皿 一 人 整理何：M M M由上式，可以看出，J 是Wk的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，加在碗底，其实，由上式直接对Wk求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf方程。r r r T jr矩阵形式 J(歹)=b d-w rxd-rxd w+w R wJ(r)=-r R-+(F-R-d)H R(w-R-Xrx d)在W o=R T 弓 时,达 最 小，Jm m=m r n J =-rx dHR-rxd性能表面,（犷）可以写成：J（w）=/m in+（枚一枚0）”氏（枚 一 W o）由于 R =Q K Q H 故 J （犷）=Jm in+_ 除）”Q A

6、 Q（犷一/）令Q(w-W o)minM N+OA。=m in +Z4/V女 u mi n+Z/u Mk=T k=l通过坐标变换，得到如上规范形式，对于一个给定 W/m in,有:4 nM=Ek=l41这是超楠圆，Ak为其一个轴。数值例子1:io N有一信号可汨，它的自相关序列为4二句句,被一白噪声所污染，噪声方差为2/3,被污染信号M2作为Wiener滤波器的输入，求2阶FIR滤波器使输出信号是可刈的尽可能的恢复。解：本题中，=sn+vn dn=sno10(2 伙=rsk-rvk=-+-8n，/IJ1 Q /1、冈rxdVk=Exnsn-rsk=-27 12J由于只需要2阶滤波器设计，因此1

7、0 2 10 1027 3 27 220 io 227 2 27 3=R-xrxd=0.3359,0.1186ymin2 H 10=O d f d匕 亏102710 1-,，27 22710 27 20.33590.11860.2240#数值例子2：希望响应矶M 是一个A R 过程，=0.8 4 5 8,口 川是白噪声，of=o.27,由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为：（Z）=（J 用，？矶川经过了一个通信信通，信道的传输函数为“2（Z）,并加入了白噪声。二0 即:凡（Z）=O9；5 8 Z T xn=sn+v2n通道模型如图5 所示：v2(n)x(n)图5.通道模型求解：一个二阶FIR结

8、构Wiener滤波器,解：目的是由xn尽可能恢复dn是一个 AR(1)过程，A(Z)=1 +%Z7,0；=0.2 7可=0.2 71-城 1 (0.8 458)?=0.9 48 6 在xn=sn-v2 n 中,s n 是 一 个 二 阶AT?(2)过 程，相 当 于H(Z)=H(Z)“2(Z)A(z)=(1+0.8458z-1)(1-0.9458z-1)=1-0.1Z-1-0.8Z-2=1 +2化 一1 +a2 2z2由二阶4R(z)参数，确定G(左)，由Yule-walker方程：（rs（0）G 丫。2 1、UJI)rs.(0)Ja22)、1(2)Jb；=rs(0)+2 1 G +2 2 G

9、 反解G（0）,.得G（）=1 +a 221-0.80.2 7J “2 2 J (1 +a22)2 一 ；1 +0.8 (1-0.8)2-0.12二1r ;一 2 1.(。)=2d2 1 :0.5$l+a22 1-0.8R-由上确定s n 的自相关矩阵为：$，1、0.5但：&=凡+1，=,1 0.5、0.5 1 ,+，1 HR Wiener滤波器考虑Wiener-Hopf方程在IIR滤波器时的情况，为简单，先讨论非因果IIR滤波器的设计式。为简单，考虑实信号和实滤波器系数的情况。在非因果条件下，Wiener-Hopf方程改写为E 口=。幻 k=-g,-1,0,1,i=O Q上式两边取Z变换，得

10、(z)i；(z)=r；Kz)(z)=或晨(z)1 Z)这里”(z)是滤波器冲激响应(权系数)的z变换，是 小 的z变换心 是P伙 的z变换。最小均方误差为OO/=例2.有一信号MM,它的自相关序列为a伙k)司,被一白噪声所污染，噪声方差为2/3,被污染信号作为Wiener滤波器的输入，求HR滤波器使输出信号是5汨的尽可能的恢复。解：本题中，xn=sn+vn9 dn=sn o10(2rxk=rsk+rvk=-+-3n，/I3i n i、网rxdk=Exnsn-k=rsk=-/、_ 5/1 8 2 _ 20-6Z-6Z-1-i i-i(1-1)(1-)3 1 8(l-z-1)(l-z)/、5/18

11、xd(Z)j i(z)=乙5rv(z)20 6z 6/求(z)的反变换得到叩成二%5=(-)w16 3最小均方误差oooo(iV r i o Y iV1 2 7人2 J52 4因果IIR维纳滤波器现在考虑因果IIR维纳滤波器设计。因果IIR维纳滤波器的传输函数为r；（z）r;（z）+上式中，r：（Z）是由X（Z）中位于单位圆内的极点和零点组成；+是对应于 中的因果序列部分的Z 变换。最小均方误差为OO/mm-1=0例3.用因果滤波器实现例2的相同问题解：2 0 6z 6 k _(l_ g/)(l_ g z)由 18(l-1z-)(l-1z)乙 乙 乙 乙得到(1-;Z):二 二f(1 i f (1-)乙 乙y（z）=r（z）二 5 二 6 二 1 1/3另外，令 匚 18（1-卜）（1-3二）（1一小由反变换得 义出=|（；尸T +；（!）-上式中的 代表阶跃序列。列例的因果部分为的山小网上 需=号(1i/3乙 _(1 z 1)1 z 13 21/3=l-z-13w成=%=；（：），左，mi n_ 2 r _ 10 1 /1，/i=_ g$i，OOio1=012762787人2J因果的HR Wiener滤波器比非因果的剩余误差要略大。