2023届南通第三次调研测试数学试题含答案.pdf

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1、参考答案与评分建议 第 1 页（共 14 页）2023 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知U R，2|4 3 0 A xx x，|3|1 B xx，则UAB A|1 4 xx B|2 3 xx C|1 2 xx D|2 3 xx【答案】A 2 已知，ab 是两个 单位向 量，则“ab”是“|2|2|ab a b”的 A 充分 不必要 条件 B 必要 不充分 条件 C 充要 条件 D 既不 充分 又不 必 要条件【答案】C 3 某人将 斐波那契数列 的前 6 项“112358，”进行排列设置数字密码，其中两个

2、“1”必须 相邻，则可 以设 置的不 同数字 密码 有 A 120 种 B 240 种 C 360 种 D 480 种【答案】A 4 星 载激 光束 与 潜 艇通信 传 输中 会发 生信 号能量 衰减 已知 一星 载激 光通 信系统 在近 海水下某深度 的能 量估 算公 式为7 310rPEES，其 中PE 是激光 器输 出的 单脉冲 能量，rE是水下 潜艇 接收 到的 光脉 冲能量，S 为光 脉冲 在潜 艇接 收平面 的光 斑面 积（单位：2km，光斑面积与卫星高度有关）若 水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减 满足10lgrPEE（单位：dB）当卫 星达到 一定高度 时，该激 光器 光脉 冲

3、 在潜 艇接 收平 面的光斑面积 为275 km，则 此时 大小 约为（参 考数 据：lg2 0.301）A 76.02 B 83.98 C 93.01 D 96.02 参考答案与评分建议 第 2 页（共 14 页）【答案】B 5 已知 底 面半 径为r 的圆锥SO，其 轴截 面是 正三 角形，它 的 一个 内接 圆柱 的底 面半径 为3r，则此 圆柱 与圆 锥的 侧面 积的比 值为 A 29 B 39 C 23 D 239【答案】D 6 已知F 为椭圆2214xCy：的 右焦 点，P 为C 上 一点，Q 为圆22(3)1 Mx y：上一点，则PQ PF 的最大 值为 A 5 B 6 C 4

4、23 D 5 23【答案】D 7 已知cos(40)cos(40)cos(80)0，则 tan A 3 B 33 C 33 D 3【答案】A 8 已知23log log ab，23log log(1)b cb，则 A 12 22a bc B 12 22b ac C 5542log log log bac D 5452log log log bac【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对 的得 5 分，部分 选对 的得 2 分，有 选错 的得 0 分。9 设z 为复数（i 为 虚 数单位），下列 命题 正确 的有

5、 A 若z R，则zz B 若2z R，则z R C 若210 z，则 i z D 若(1 i)1 i z，则|1 z【答案】AD 参考答案与评分建议 第 3 页（共 14 页）10 已 知 正三 棱柱111ABC ABC 的各棱 长都为1，E 为AB 的 中点，则 A 1BC 平面1AEC B二 面角1A EC A 的正弦 值为55 C点A 到平面11ABC 的距 离为217 D若 棱柱 的各 顶点 都在同 一 球面 上，则该 球的 半径 为216【答案】ACD 11 已知 函数()fx 及其 导函数()fx 的定义域 均为 R，(2)()(4)()fx f x f x fx，且当 01 x

6、 时，3()3 fx x x，则 A(3)2 f B()(e)ff C 33()()22ff D 7()02f【答案】BC 12 设AB，是一 个随 机试 验中 的两个 事件，且13 1()()()34 2PA PB PA B，则 A 1()6P AB B 3(|)4PBA C()(|)PB PBA D 7()12P AB AB【答案】BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 某 工厂月产 品的总成 本y（单位：万 元）与月 产 量x（单位：万 件）有如 下 一组数据，从散点 图分 析可 知y 与x 线性 相关 如果 回归 方程 是 3.5 yx，那么表 格中

7、数据a 的值为 x/万件 1 2 3 4 y/万元 3.8 5.6 a 8.2【答案】6.4 14 设等 差数 列na 的前n 项和为nS，10 a，15 23 aa a，则1020Sa 参考答案与评分建议 第 4 页（共 14 页）【答案】114 15 已知12FF，分别 为双曲 线22221(0 0)yxC abab：，的左、右焦 点，过2F 作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于MN，两点 若15cos13MFN，则C 的离心率为【答案】5 16 如图，在 ABC 所在平面内，分别以AB BC，为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG 记 ABC 的内角ABC，的对边分别为abc，面

8、积为S 已知34S，且sin aAsin cC 4 sin sin aCB，则FH【答案】32 四、解答 题：本题共 6 小题，共 70 分。解答 时应 写 出文字 说明、证 明过 程或 演算步 骤。17（10 分）将函数()sin fx x 的图象先向右平移4个单位长度，再将所得函 数图象上所有点的 横坐标变 为原 来的1(0)倍（纵坐 标不变），得 到函 数()y gx 的 图象（1）若 2，求 函数()y gx 在区间 44，上的 最 大 值；（2）若 函数()y gx 在区间()42，上 没有零 点，求 的取值 范围【解】由题 意得()sin()4gx x（1）若 2，则()sin(2

9、)4gx x 因为 44x，所以3 24 44x，3 分 G H F E B C A 参考答案与评分建议 第 5 页（共 14 页）因为 sin yx 在区间3 42，上单 调递 减，在区间 24，上单 调递 增，因为3 2sin()42，2sin42，所以()gx 的最大 值为22，此时 244x，4x 5 分（2）由 题意 得()sin()4gx x 因为函数()y gx 在区间()42，上没 有零 点，所以 44 24kk，其中k Z，6 分 解得，541 22kk，所以54 122kk，34k，又因为 0，所以54k，8 分 由k Z，得 0 k 或 1 所以102 或512，所以 的

10、取值 范围 是15(0 1 22，10 分 18（12 分）已知数 列na 满足11 a，25 a，2156n nnaaa（1）证 明：1 2nnaa 是等比 数列；（2）证 明：存在 两个 等比数 列nb，nc，使得nnnabc=+成立【解】（1）因 为2156n nnaaa，所以21 12 3(2)nn nnaa aa，2 分 因为212 30 aa，所以211232nnnnaaaa，参考答案与评分建议 第 6 页（共 14 页）所以，数列1 2nnaa 是 首项为 3，公 比为 3 的等 比数 列 4 分（2）由（1）知，123nnnaa 6 分 所以113 2(3)nnnnaa，因为1

11、13 20 a，所以，数列 3nna 是首 项为 2，公 比为 2 的等 比数 列，8 分 所以 32nnna 所以 32nnna 10 分 令 3nnb，2nnc，且13nnbb，12nncc，所以，存在 两个 等比 数列nb，nc，使得nnnabc=+成立 12 分 19（12 分）综合素 质评 价是 高考 招生 制度改 革的 内容 之一 某 高中采 用多 维评 分的 方式 进行综 合素质评 价下 图 是该校 高 三学生“运动 与健 康”评价 结果 的频率 直方 图，评 分在区 间90 100)，70 90)，60 70)，50 60)，上，分别 对应 为A，B，C，D 四个 等级 为了

12、进一步引导 学 生对 运动 与健 康的重 视，初评 获A 等级的 学生不 参加 复评，等 级不 变，对 其余学生学 校将 进行 一次 复评 复 评中，原获B 等级 的 学生有14的概 率提 升为A 等 级；原 获C等级的 学生 有15的概率 提升 为B 等级；原 获D 等级的 学 生有16的概率 提升 为C 等级 用频率估计 概率，每名 学生 复评 结果 相互 独立 评分/分 0 0.005 0.015 0.020 0.028 0.032 频率组距 100 90 80 70 60 50 参考答案与评分建议 第 7 页（共 14 页）（1）若 初评 中甲 获得B 等 级，乙、丙获 得C 等 级，

13、记 甲、乙、丙三 人复 评后等 级为B等级的 人数 为，求 的分布 列和数 学期 望；（2）从 全体 高三 学生 中 任选 1 人，在已 知该 学生 是 复评晋 级的 条件 下，求他 初 评是C等级的 概率【解】（1）记“甲 同 学复 评晋级”为 事件X，“乙 同学复 评 晋级”为 事件Y，“丙同学 复评 晋级”为 事件Z，则1()4PX，1()()5PY PZ，且X，Y，Z 相互独 立 根据题 意，的 可能 取值为 0，1，2，3 2 1 4 16 4(0)()()()()()4 5 100 25P PX Y Z PXPYPZ；(1)()()()()P P XYZ XYZ XYZ P XYZ

14、 P XYZ P XYZ 2 3 4 1 4 1 56 14()24 5 4 5 5 100 25；(2)()()()()P PX Y Z X Y Z X Y Z PX Y Z PX Y Z PX Y Z 3 4 1 1 1 1 25 124 5 5 4 5 5 100 4；2 31 3(3)()()()()()4 5 100P PX Y Z PXPYPZ 4 分 所以 的概 率分 布为 0 1 2 3 P 425 1425 14 3100 所以 的数学 期望4 14 1 3 23()0 1 2 325 25 4 100 20E 6 分（2）记“任 选的 同学 初评是A 级”为 事件1M，“任

15、选 的同 学初 评是B 级”为事件2M，“任选 的同 学初 评是C 级”为事件3M，“任选 的同 学初 评是D 级”为事件4M 显然1M，2M，3M，4M 两两 互斥，且1234MMMM 其中1()0.2 PM，2()0.6 PM，3()0.15 PM，4()0.05 PM 8 分 参考答案与评分建议 第 8 页（共 14 页）记“选 1 名 复评 晋级 的同 学”为 事件N，由 全概 率公 式得 1234()()P N P M NM NM NM N 1234()()()()PMN PMN PMN PMN 1 12 23 34 4()()()(|)()(|)()(|)PM PNM PM PN

16、M PM PN M PM PN M 1 1 1 1130 0.6 0.15 0.054 5 6 600 10 分 由条件 概率 公式 得 333()18 100(|)()113 113600PMNPM NPN 所以该同 学初 评时是C 等 级的概 率为18113 12 分 20（12 分）如图，三棱 锥P ABC 的底面 为等 腰直角 三角 形，90 ABC，2 AB DE，分别为AC BC，的中 点，PD 平面ABC，点M 在 线段PE 上（1）再 从条 件、四 个条件 中 选择 两个作 为 已知，使得 平面MBD 平面PBC，并给予 证明；（2）在（1）的条 件下，求直线BP 与 平面MB

17、D 所成的 角的 正弦值 条件：2 PD；条件：60 PED；条件：3 PM ME；条件：3 PE ME【解】方 案一：选择 条件 和（1）在 ABC 中，因为DE，分别是AC BC，的 中点，所以DE AB，112DE AB 因为 90 ABC，所以AB BC，所以DE BC 因为PD 平面ABC，BC 平面ABC，所以PD BC 又PD DE D，PD DE，平面PDE，所以BC 平面PDE 又DM 平面PDE，所以DM BC 2 分 因为PD 平面ABC，DE 平面ABC，所以PD DE M P E D C B A 参考答案与评分建议 第 9 页（共 14 页）在 Rt PDE 中，2

18、PD，1 DE，3 PE ME，所以 3PE DEDE EM，在 PED 和 DEM 中，又 因为 PED DEM，所以 PED DEM，所以 90 PDE DME，所以DM PE 4 分 又PE BC E，PE BC，平面PBC，所以DM 平面PBC 又DM 平面MBD，所以 平面MBD 平面PBC 6 分（2）过点D 作DT AB 于点T 所以DT DE DP，两两垂 直 以点D 为坐标 原点，分 别以DT DE DP，为x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所 示的 空间 直角 坐标系D xyz 则(000)D，(1 1 0)B，(0 1 0)E，(0 0 2)P，1 22(0)3 33DM

19、 DE EM DE EP，(1 1 0)DB，8 分 设平面DMB 的 一个 法向 量为()xyz，n，则220330DM y zDB x y，nn 令 1 x，得 12 yz，所以(1 1 2)，n 10 分 设直线BP 与 平面MBD 所成角 为，因为(1 1 2)BP，所以21sin cos=22 2BP，n，所以，直线BP 与 平面MBD 所成的 角的正 弦值 为12 12 分 方案二：选择 条件 和（1）在 ABC 中，因为DE，分别是AC BC，的 中点，M P E D C B A x y z T 参考答案与评分建议 第 10 页（共 14 页）所以DE AB，112DE AB 因

20、为 90 ABC，所以AB BC，所以DE BC 因为PD 平面ABC，BC 平面ABC，所以PD BC 又PD DE D，PD DE，平面PDE，所以BC 平面PDE 又DM 平面PDE，所以DM BC 2 分 因为PD 平面ABC，DE 平面ABC，所以PD DE 在 Rt PDE 中，3 PD，1 DE，3 PM ME，所以 2PE DEDE EM，在 PED 和 DEM 中，又 因为 PED DEM，所以 PED DEM，所以 90 PDE DME，所以DM PE 4 分 又PE BC E，PE BC，平面PBC，所以DM 平面PBC 又DM 平面MBD，所以 平面MBD 平面PBC

21、6 分（2）过点D 作DT AB 于点T 所以DT DE DP，两两垂 直 以点D 为坐标 原点，分 别以DT DE DP，为x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所 示的 空间 直角 坐标系D xyz，则(000)D，(1 1 0)B，(0 1 0)E，(0 0 3)P，1 33(0)3 44DM DE EM DE EP，(1 1 0)DB，8 分 设平面DMB 的 一个 法向 量为()xyz，n，则330440DM y zDB x y，nn 令 1 x，得 13 yz，所以(1 1 3)，n 10 分 设直线BP 与 平面MBD 所成角 为，因为(1 1 3)BP，M P E D C B A

22、x y z T 参考答案与评分建议 第 11 页（共 14 页）所以33sin cos=555BP，n，所以，直线BP 与 平面MBD 所成的 角的正 弦值 为35 12 分 21（12 分）已知 抛物 线212(0)C y px p：与222(0)C x qy q：都经过 点(4 8)A，（1）若 直线l 与12CC，都 相切，求l 的方程；（2）点MN，分别在12CC，上，且94MA NA OA，求 AMN 的面积【解】（1）将 点(4 8)A，代入22(0)y px p，得 64 8p，解得 8 p，将点(4 8)A，代入22(0)x qy q，得16 16q，解得 1 q，所以1C 的

23、方程 为216 yx，2C 的方 程为22 xy 2 分 由题意 知，直线l 的斜 率存 在且不 为 0，设直线l 的方 程为y kx m 联立216y kx myx，消去x，得216 16 0 ky y m，因为直线l 与1C 相 切，所以2(16)4 16 0 km，整 理得 4 km 4 分 联立22y kx mxy，消去y，得2220 x kx m，因为直线l 与2C 相 切，所以24 80 km 由 解 得，2 km 所以直 线l 的方程 为 22 yx，即 2 20 xy 6 分（2）因为 点MN，分别在12CC，上，可 设22()()16 2abM a Nb，由94MA NA O

24、A，得 参考答案与评分建议 第 12 页（共 14 页）22(8 16)(9 18)16 2abba，即22891616 182abba，化简，得2211622abba，8 分 由 2，可得222082abba，整理，得(2)(2 8)0 baba，（）若 20 ba，由 知24 40 bb，所以 24 ba，所以(1 4)(2 2)MN，；（）若 2 80 ba，由 知24 20 0 bb，方程 无 解；所以直 线MN 的方程 为422(2)1(2)yx，即 2 20 xy 10 分 所以22(1(2)(4)2)3 5 MN，点A 到 直线MN 的距离 为2224 8 2185521，AMN

25、 的面积1 183 5 5 2725S，所以 AMN 的面积 为 27 12 分 22（12 分）已知函 数()cos fx x x，()sin gx a x（1）若 1 a，证明：当(0)2x，时，()()x gx fx；（2）当(0)(0)22x，时，()sin()fxxgx x，求a 的取值 范 围【解】（1）由 题意 知，当 1 a 时，令()sin hx x x，则()1 cos hx x 当(0)2x，时，()0 hx 所以()hx 在(0)2，上单 调递 增，所以()(0)0 hx h，即()x gx；2 分 参考答案与评分建议 第 13 页（共 14 页）令()sin cos

26、x xx x，(0)2x，则()cos cos sin sin x x x xxxx，当(0)2x，时，()0 x 所以()x 在(0)2，上单 调递 增，所以()(0)0 x，即()()gx fx 综上，当 1 a 时，()()x gx fx 在(0)2，上恒 成立 4 分（2）()sin sin cos()sinfxx xx xx gx x a x 令sin cos()sinxx xFxx ax，(0)(0)22x，因为()()F x Fx，所以 题设 等价 于()0 Fx 在(0)2，上恒成 立 由（1）知，当(0)2x，时，sin cos x xx x，于是：当 0 a 时，()0 F

27、x 恒成立；6 分 当 0 a 时，()0 Fx 等价于22sin cos 0()a xx x（）当 01 a 时，()左边22 2cos(cos)ax x x x a x，令()cos px a x，因为()cos px a x 在(0)2x，上递 增，且(0)1 0 pa，()02pa，所以存 在(0)2，使()0 p，所以当 0 x，()0 px，即2(cos)0 xa x，不合题 意 9 分（）1 a 时，()左边22sin cos xx x 令22()sin cos rx x x x，(0)2x，则2()2sin cos 2 cos sin r x xxxx x x 22sin cos 2sin sin x x xx x 参考答案与评分建议 第 14 页（共 14 页）2 2(1 cos)sin x xx 22(4sin)sin2xxx 224()(sin)sin 022xxx，所以()rx 在(0)2，上单调 递增，所以()(0)0 rx r 所以()左边大于 0，所以()0 Fx 综上，a 的取 值范 围是(0)1)，12 分