南通市2023届高三三模 数学模拟试题含答案.pdf

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1、南南通通市市2023届届高高三三第第三三次次调调研研测测试试（考考前前模模拟拟）数数学学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。4.本试卷共 6 页，22 小题

2、，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1.若“0,sin2sin0 xxkx，”为假命题，则 k 的取值范围为().A.(,2 B.(,2C.(,2)D.(,2)2.复数22021202212i3i2022i2023iz 的虚部为().A.1012B.1011C.1011D.20223.平面向量a，b满足，240aa b ，|3b，则|a最大值是().A.3B.4C.5D.64.某同学在课外阅读

3、时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量 X 的期望()E X和方差()D X存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|XE X”的概率作出上限估计，其中为任意正实数切比雪夫不等式的形式为：(|()|)(),)PXE Xf D X，其中(),)f D X是关于()D X和的表达式由于记忆模糊，该同学只能确定(),)f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种请你根据所学相关知识，确定该形式是().A.2()D XB.21()D XC.2()D XD.2()D X5.已知三棱锥PABC，Q 为 BC 中点，2PBPCABBCAC，侧面PBC 底面 ABC，则过点 Q 的平

4、面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为().A.5,3B.2,23C.2,23D.,26.抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于,A B两点，以AB为直径的圆C交y轴于,M N两点，O为坐标原点，则MNC的内切圆直径最小值为().A.4 38B.4 36C.4 34D.4 327.已知宽为 a 的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为 8a 的细杆能水平地通过拐角，则另外一条走廊的宽度至少是().A.2 2aB.4 21 aC.2 3aD.3 3a8.函数 2023f xxx，若方程 2sin0 xx f xax只有三个根123,x xx，且123xxx，则213sin2023xx

5、 x的取值范围是().A.0,B.2023,C.,2023 D.,0二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.直线:20l mxym与圆224xy交于,A B两点，P为圆上任意一点，则().A.线段AB最短长度为2 2B.AOB的面积最大值为2C.无论m为何值，l与圆相交D.不存在m，使APB取得最大值10.正方体ABCDA B C D 的边长为

6、 2，Q 为棱AA的中点，点,M N分别为线段,C D CD 上两动点(含端点)，记直线,QM QN与面ABB A 所成角分别为,，且22tantan4，则().A.存在点,M N使得/MNAAB.DM DN 为定值C.存在点,M N使得32MN D.存在点,M N使得MNCQ11.椭圆曲线232yayxbxcxd是代数几何中一类重要的研究对象.则关于椭圆曲线232:2453Wyyxxx，下列结论正确的有().A.W 关于直线1x 对称B.W 关于直线1y 对称C.W 上的点的横坐标的取值范围为1,D.W 上的点的横坐标的取值范围为 12,12.1979 年，李政道博土给中国科技大学少年班出过

7、一道智趣题：“5 只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成 5 等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里 1 只猴子偷偷爬起来，先吃 1 个桃子.然后将其分成 5 等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第 2 只猴子又爬起来，吃掉 1 个桃子后.也将桃子分成5 等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的 3 只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是().A.若第 n 只猴子分得nb个桃子(不含吃的)，则1541(2,3,4,5)nnbbnB.若第 n 只猴子连吃带分共得到na个桃子，则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列C.若最初有 3121 个桃子，则第 5

8、 只猴子分得 256 个桃子(不含吃的)D.若最初有 k 个桃子，则4k 必为55的倍数三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.随机变量12,3XB，则21X_.14.函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数，则cab的最大值为_.15.已知0122CCCC(1)nnnnnnnxxxx，则012111CCCC231nnnnnn_.16.将函数()2sin 32f xx的图象向右平移29个单位长度，得到的函数()g x的图象关于点11,018对称，且()g x在区间,mm上单调递增，则_,实数 m 的取值范围是_

9、.（本小题答对一空得 2 分，答对两空得 5 分）四四、解答题解答题：本题共本题共6小题小题，共共70分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明过程证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.17.（10 分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01).pp现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验 10 次.记 X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a 元.（1）写出 X 的分布列;证明：1();E

10、 Xp（2）某公司意向投资该产品.若0.25p，且试验成功则获利 5a 元，请说明该公司如何决策投资.18.（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，14ABAA，2BC，12 3AC，ACBC，160.A AB（1）证明：BC 平面11ACC A；（2）设点 D 为1CC的中点，求直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值19.（12 分）设 na是各项均为正数的等差数列，11a，且31a 是2a和8a的等比中项；记 nb的前 n 项和为nS，*22().nnbSnN（1）求 na和 nb的通项公式;（2）设数列 nc的通项公式2,nnnancb n为奇数为偶数求数列 nc的前21n

11、 项和21nT；求(1)21iniiiac.20.（12 分）已知ABC，D 为边 AC 上一点，1AD，2.CD（1）若34BA BD ，0BC BD ，求ABC的面积；（2）若直线 BD 平分ABC，求ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围.21.（12 分）双曲线 C：2213yx，点00(,)A xy是 C 上位于第一象限的一点，点 A、B 关于原点 O 对称，点 A、D 关于 y 轴对称延长 AD 至 E 使得1|3DEAD，且直线 BE 和 C 的另一个交点 F 位于第二象限中（1）求0 x的取值范围；（2）证明：AE 不可能是BAF的三等分线22.（12 分）已知函数()exxf

12、 x.（1）求曲线()yf x在e,ef处的切线方程；（2）若120niiixx,，证明：212enniif x.南通南通 2023 高三高三三模三模 考前模拟考前模拟数学数学1.若“(0,)x，”为假命题，则 k 的取值范围为()A.(,2 B.(,2C.(,2)D.(,2)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查命题的真假，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题由题意可得对任意(0,)x，即，求得2cosx的范围，可得k 的取值范围【解答】解：“(0,)x，”为假命题，对任意(0,)x，即对任意(0,)x，2k，故选：.A2.已知i为虚数单位，则复数22021202212i3i2022i

13、2023iz 的虚部为A.1012B.1011C.1011D.2022【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，考查错位相减法求和，属于中档题.利用错位相减法求和求出复数 z 求解即可.【解答】解：22021202212i3i2022i2023iz ，所以23202220232320222023z iiiiii ，所以220222023(1)12023i ziiii 20232023120231iii20232024iii 所以2024(2024)(1)1(1)(1)iiiziii202420241012 10122ii 所以复数 z 的虚部为为1012.故选 A3.平面向量a，b满足

14、，|3b，则|a最大值是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档题先设向量a，b的夹角为，由已知结合向量数量积的定义可得2|443cos|aaaa，结合向量夹角的范围可求.【解答】解：设向量a，b的夹角为，240aa b，|3b，243|cosaa ba，2|443cos|aaaa，且0a，0，1cos1，则，即，解可得，即|a最大值是4.故选：.B4.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量 X 的期望()E X和方差()D X存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|XE X”

15、的概率作出上限估计，其中为任意正实数切比雪夫不等式的形式为：(|()|)(),)PXE Xf D X，其中(),)f D X是关于()D X和的表达式由于记忆模糊，该同学只能确定(),)f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种 请你根据所学相关知识，确定该形式是A.2()D XB.21()D XC.2()D XD.2()D X【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了切比雪夫不等式，属于中档题.利用期望和方差的关系可得答案.【解答】解：因为(|()|)(),)PXE Xf D X，所以则所以(),)f D X的具体形式是2().D X故选：.D5.已知三棱锥PABC，Q 为 BC 中点，2P

16、BPCABBCAC，侧面PBC 底面 ABC，则过点 Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为()A.5,3B.2,23C.2,2 3D.,2【答案】A【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大.【解答】解：连接 PQ，QA，由2PBPCABBCAC，可知：ABC和PBC是等边三角形，设三棱锥PABC外接球的球心为 O，所以球心 O 到平面 ABC 和平面 PBC 的射影是ABC和PBC的中心 F，E，PBC是等边三角形，Q 为 BC 中点，所以PQBC，又因为侧面PBC 底面 ABC，侧面PBC 底面ABCBC，所以PQ 底面 ABC，而A

17、Q 底面 ABC，因此PQAQ，所以 OFQE 是矩形.ABC和PBC是边长为 2 的等边三角形，所以两个三角形的高2212(2)32h，在矩形 OFQE 中，1322 3.3333OEFQhAEh，连接 OA，所以221415333OAOEEA，设过点 Q 的平面为，当OQ时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226()()333333OQOFFQhhh，因此圆 Q 的半径为：22156199OAOQ，所以此时面积为21;当点 Q 在以 O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155();33所以截面的面积范围为：5,3，故选.A6.B【分析】根据抛物线、圆以及导

18、数相关知识求解即可.7.D【分析】根据解三角以及导数相关知识求解即可.8.D【分析】根据观察法以及函数奇偶性得到2130,xxx 带入即可.9.CD【分析】斜率一定存在，所以 AB 错误，D 正确，直线所过定点在圆内故 C 正确。10.已知正方体ABCDA B C D 的边长为 2，Q 为棱AA的中点，点,M N分别为线段,C D CD 上两动点(包括端点)，记直线,QM QN与平面ABB A 所成角分别为,，且22tantan4，则()A.存在点,M N使得/MNAAB.DM DN 为定值C.存在点,M N使得32MN D.存在点,M N使得MNCQ【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线

19、与平面所成角，利用空间向量求向量的数量积以及证明线线垂直，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于较难题.根据题意，作出图形，利用空间向量结合选项逐一判断即可.【解答】解：如图所示，在正方体中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，则(2,0,1)Q，(0,2,0)C，设(0,2)Mm，(0,0)Nn，其中02,02mn，作MMA B，NNAB，可知MM 平面ABB A，NN平面ABB A，则MQM，NQN，(2,2)Mm，(2,0)Nn，所以2MMNN，21QMm，21QNn，则22tan1MMQMm，22tan1NNQNn，由22tantan4知，2244411mn，,0,2m n，则，即221m

20、 n，从而1mn，对于 A，/MNAA，即mn，解得1mn，满足题意，故 A 正确；对于 B，1DM DNmn ，为定值，故 B 正确；对于 C，若32MN，则2237()4()24mnmn，故 C 错误；对于 D，(2,2,1)CQ ，(0,2)MNnm，若MNCQ，则2()20CQ MNnm ，解得512n，152m，故 D 正确；故选：.ABD11.椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线，下列结论正确的有()A.曲线 W 关于直线1x 对称B.曲线 W 关于直线1y 对称C.曲线 W 上的点的横坐标的取值范围为1,)D.曲线 W 上的点的横坐标的取值范围为12,)【答案】B

21、D【解析】【分析】本题考查椭圆曲线的性质，属较难题.【解答】解：由，得因为，所以曲线 W 不关于直线1x 对称，A 不正确.因为，所以曲线 W 关于直线1y 对称，B 正确.由2(1)0y，得，解得1x 或2x，C 不正确，D 正确.12.1979 年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5 只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成 5 等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里 1 只猴子偷偷爬起来，先吃 1 个桃子.然后将其分成 5 等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第 2 只猴子又爬起来，吃掉 1 个桃子后.也将桃子分成 5 等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的 3 只猴子都先后照此办理

22、.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是()A.若第 n 只猴子分得nb个桃子(不含吃的)，则1541(2,3,4,5)nnbbnB.若第 n 只猴子连吃带分共得到na个桃子，则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列C.若最初有 3121 个桃子，则第 5 只猴子分得 256 个桃子(不含吃的)D.若最初有 k 个桃子，则4k 必为55的倍数【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系，等比数列的通项公式，属于中档题.由递推关系依此判断各选项即可.【解答】解：对于 A，第二只猴子分的桃子为：第三只猴子分得的桃子为数为：23415bb第四只猴子分得的桃

23、子为数为：34415bb第五只猴子分得的桃子为数为：44415bb可得1415nnbb，即1541(2,3,4,5)nnbbn，故 A 正确；对于 B，由 A 得，又1nnab，故，则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列，故 B 正确；对于 C，由 B 得145nnaa，则，则，若不含吃的，故第 5 只猴子分得 255 个桃子，故 C 错误；对于 D，设最初的桃子数为 k，且，五只猴子分剩的桃子数依次为2a，3a，4a，5a，6a，由题意，得，设14()5nnaxax，即14155nnaax，对照*()式，得1455x，解得4x，即144(4)5nnaa，所以数列4na 为等比数列，首项为

24、4k，公比为45q，所以，因此由题意知，6a为整数，故4k 必是55的倍数，故 D 正确.故选.ABD13.随机变量1(2,)3XB，则_.【答案】43【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的标准差，考查二项分布的性质，考查运算求解能力，是基础题由题可得114()2(1)339D X，再由，进而求标准差即可【解答】解：随机变量1(2,)3XB，114()2(1)339D X，标准差故答案为：4.314.已知函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数，则cab的最大值为_.【答案】43【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的基本性质以及最值的求法，属

25、于中档题对()f x求导，由()f x为 R 上的增函数可知()0fx恒成立，由二次函数的性质可得0a，24120bac，从而可得23bca，两边同乘1ab可得2113()caaabbb，利用换元法及二次函数的性质即可求得cab的最大值【解答】解：因为函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数，所以2()320fxaxbxc恒成立，所以0a，24120bac，又0ab，所以0b，则由24120bac，可得23bca，两边同时乘以1ab，可得2211133()cbaaaba abbb，令atb，10t，则2211111133()24ttt，当12t 时，2113 tt取得最大

26、值43，所以43cab，当且仅当12ab 时取等号，所以cab的最大值为4.3故答案为：4.315.二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉由二项式定理得0122(1)(,)nnnnnnnCC xC xC xxnNxR，可推导得012111231nnnnnCCCCn_.【答案】【解析】【分析】本小题主要考查二项式定理的运用，组合与组合数公式，考查组合数的有关公式，属于难题先证得11111mmnnCCmn，然后利用赋值法求得所求表达式的值【解答】解：1111!1(1)!1(1)!(1)!1!(1)!1mmnnnnCCmmmnmnmnmn，即11111mmnnCCmn，对上式分别令1,2,1mn

27、n，然后相加得0121211111111()2311nnnnnnnnnCCCCCCCnn依题意0122(1)nnnnnnnCC xC xC xx，则01221111111(1)nnnnnnnCCxCxCxx，令1x，得0121111111(1 1)2nnnnnnnCCCC，所以1211011111221nnnnnnnCCCC，所以可化为101211121.2311nnnnnnCCCCnn故答案为：121.1nn16.将函数的图象向右平移29个单位长度，得到的函数()g x的图象关于点对称，若()g x在区间上单调递增，则_，实数 m 的取值范围是_.【答案】29(,2【解析】【分析】由题意利用

28、函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论本题主要考查函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于较难题【解答】解：将函数的图象向右平移29个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，kZ，即，则若2，则()2sin(3)6g xx，()g x在区间上单调递增，0.m当，且，即，且94m，若2，则()g x在区间上单调递增，0.m当，且，即94m且，故.m综上可得，2，9.2m故答案为：2；9(,.2 17.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01).pp现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验

29、，且最多试验 10次.记 X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a 元.(1)写出 X 的分布列;证明：1();E Xp(2)某公司意向投资该产品.若0.25p，且试验成功则获利 5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由.【答案】解：(1)1()(1)kP Xkpp，1k，2，9，故 X 的分布列为：x123410Pp，记0128(1)2(1)3(1)9(1)Spppp，作差可得，则，即证.(2)当0.25p 时，则试验成本的期望小于 4a，又获利 5a 大于成本的期望，则应该投资.【解析】本题考查独立重复试验、二项分布的期望和数列的错位相减求和，属于中档题.(1)根

30、据题意求解()P Xk，即可求解分布列；利于错位相减求解()E X，然后可证明；(2)由成本期望小于 5a，即可求解.18.如图，在三棱柱111ABCABC中，14ABAA，2BC，12 3AC，ACBC，160.A AB（1）证明：BC 平面11ACC A；（2）设点 D 为1CC的中点，求直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值【答案】解：（1）证明：因为14ABAA，160A AB，所以为等边三角形，故14AB，又因为12 3AC，2BC，所以22211ABACBC，所以1BCAC，又BCAC，AC，1AC 平面11ACC A，所以BC 平面11.ACC A（2）如图，设 E 为1B

31、B的中点，连结1AE，DE，作1DFA E于.F因为BC 平面11ACC A，/DEBC，所以DE 平面11ACC A，又1CC，1AD 平面11ACC A，所以1DECC，1DEAD，因为ACBC，所以三角形 ABC 为直角三角形，又因为4AB，2BC，所以2 3AC，在11ACC中，D 为1CC的中点，所以11ADCC，又1ADDED，1AD 平面1ADE，DE 平面1ADE，所以1CC 平面1.A DE因1BB1/CC，所以1BB 平面1ADE，因为DF 平面1ADE，所以1BBDF，又因为1DFA E，1BB，1AE 平面11ABB A，所以DF 平面11ABB A，所以直线1AD与平

32、面11ABB A所成角为在1DAE中，1ADDE，2DEBC，所以，所以因此，直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值为3.3【解析】本题考查线面垂直的性质及判定，考查直线与平面所成角，属于中档题.（1）由22211ABACBC，得1BCAC，已知BCAC，根据线面垂直的判定定理可证得BC 平面11ACC A；（2）根据直线与平面所成角的概念可得，直线1AD与平面11ABB A所成角为1DAE，在1DAE中计算直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值.19.设na是各项均为正数的等差数列，11a，31a 是2a和8a的等比中项，nb的前 n项和为nS，*22().nnbSnN(1)求n

33、a和nb的通项公式;(2)设数列nc的通项公式 求数列nc的前21n 项和21nS；求【答案】解：（1）设等差数列na的公差为 d，11a，31a 是2a和8a的等比中项，2328(1)aa a，即2(121)(1)(1 7)ddd，解得1d ，na是各项均为正数的等差数列，1.d1(1)1nann ，22(nnbSn*N).1122(2)nnbSn，两式相减得：12(2)nnbnb，当1n 时，1122bS，12b，nb是以 2 为首项，2 为公比的等比数列112.nnnbbq（2）解：因为，所以2,2,nnnncn为奇数为偶数所以21(35nS 2423)(22n22)n(1)(323)4

34、(1 4)21 4nnn12454.33nnn解：当 i 为奇数时，设1111 33 5(21)(21)nAnn111111(1)23352121nn11.22(21)n当 i 为偶数时，设246222111112()4()6()(22)()2()22222nnnBnn ，4682221111112()4()6()(22)()2()422222nnnBnn ，2462223111112()2()2()2()2()422222nnnBn ，故218(34)1()992nnnB，(1)2211251(34)1().182(21)92inninniianABcn【解析】本题主要考查等差数列和等比数列

35、的通项公式和前 n 项和公式，以及分组求和的方法，属于中档题（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和nS与na的关系列式子求解即可；（2）1.根据()中na和 nb的通项公式，列出数列 nc的通项公式，分奇数组和偶数组求解数列 nc的前21n 项和21nS；2.()ii将 i 分为奇数和偶数两种情况：当 i 为奇数时，设1111 33 5(21)(21)nAnn，当 i 为偶数时，设246222111112()4()6()(22)()2()22222nnnBnn ，分别求解后，相加求得(1)2*1()iniiianNc的值即可20.已知ABC，D 为边 AC 上一点，1AD，2.CD(1)若3

36、4BA BD ，0BC BD ，求ABCS；(2)若直线 BD 平分ABC，求ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围.【答案】解：(1)如图 1，1AD，2CD，所以1131()2222BABDDABDCDBDBDBCBDBC ，因为34BA BD ，0BC BD ，所以22313133()|222224BA BDBDBCBDBDBC BDBD ，故21|2BD，则2|2BD ，即22BD，又0BC BD ，则BCBD，故22142BCCDBD，不妨记ABD，ABm，则2222211212cos222 2mABBDADmAB BDmm，因为3|cos4BA BDBA BD ，所以2221324

37、2 2mmm，解得2m，则2 2 13cos42 22，因为0，所以27sin14cos，所以11127sin222224ABCABDBCDSSSAB BDBD BC12143 72228；.(2)如图 2，不妨设ABD与CBD内切圆的半径分别为 r 与 R，因为 BD 平分ABC，所以由角平分线性质定理得12ABADBCCD，记ABc，则2BCc，记ABC，则22222224959cos2224ABBCACcccAB BCccc，因为1121()3333BDBAADBAACBABCBABABC ，所以2222222241441459|cos42229999994cBDBABCBA BCccc

38、ccc ，所以2|22BDc，即222BDc，因为ABBCAC，即23cc，解得1.c 设顶点 B 到 AC 的距离为 h，则112122ABDBCDAD hSSCD h，又211()(221)22ABDSABBDAD rccr，211()(2222)22BCDSBCBDCD RccR，所以，则，令1tc，则1ct，2t，所以，因为2t，所以1102t，则4022t，故41 1212t ，所以1211412t，即21211221ccc，所以，故212rR，所以ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围为.【解析】本题考查向量在平面几何中的应用，利用余弦定理解三角形，向量的数量积运算，属于困难题.(

39、1)先利用平面向量的加减运算得到3122BABDBC ，再利用平面向量的数量积运算法则求得22BD，又利用余弦定理与数量积运算求得2AB，由此利用三角形面积公式即可得解；(2)先由角平分线性质定理得到12ABBC，再利用余弦定理与数量积运算求得222BDc，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得rR的范围，由此得解.21.双曲线 C：2213yx 点00(,)A xy是 C 上位于第一象限的一点，点 A、B 关于原点 O 对称，点 A、D 关于 y 轴对称延长 AD 至 E 使得1|3DEAD，且直线 BE 和 C 的另一个交点F 位于第二象限中（1）求0

40、x的取值范围；（2）证明：AE 不可能是BAF的三等分线【答案】（1）由题设得00(,)Bxy、00(,)Dxy，设点(,)E x y，由题意可得13DEAD，即0001(,)(2,0)3xxyyx，即000230 xxxyy，得0053xxyy，则005(,)3Exy，直线 BE 的斜率为00002323BEyykxx，所以直线 BF 的方程是00003()yyyxxx，即00034yyxyx，联立，消去 y 可得2222000200924(3)(163)0yyxxyxx，直线 BF 与双曲线 C 有 2 个交点，则2020930yx，因为0 xx 满足方程2222000200924(3)(

41、163)0yyxxyxx，由韦达定理得2002020163()93Fyxxyx，解得20200016393Fyxyxx，所以000340FFyyxyx，得0403Fxx 已经成立，因此只需20020001634933Fyxxyxx，因为220013yx，可得220033yx，所以2222000000022222200000000016316(33)3(4845)(1615)493939(33)9833Fyxxxxxxxyxyxxxxxx，因为01x，所以220022001615169408933(89)xxxx，所以20890 x，可得03 24x，所以0 x的取值范围是3 2(,)4；（2）

42、，证明如下：由（1）可知，00000dfrac34FAFFyyxyxkxx000003()8FFyxxyxxx00200020003816393yyyxxyxx 3000002220000722439163 3yx yyxxyyx 3000002007224324yx yyxxy 00002000372242424yyx yxxy 00 xy，所以1AFOAkk，即2OAF，因为03 24x，则201809x，则020013tan3(1)(,3)3OAyBAEkxx，所以(,)6 3BAE，因此 AE 不可能是BAF的三等分线.【解析】本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系以及圆锥

43、曲线中的综合问题，属于难题.(1)求得点005(,)3Exy，求出直线 BE 的方程，将该直线的方程与双曲线 C 的方程联立，求出点 F 的坐标，由000340FFyyxyx 可得出0403Fxx，进而可得出关于0 x的不等式，结合01x 可求得0 x的取值范围；（2）计算得出1AFOEkk，可得出2OAF，计算出3tan(,3)3BAE，可得出(,)6 3BAE，由此可证得结论成立.22.【解析】略南通市南通市 2023 届高三第届高三第三三次调研测试次调研测试数学考前模拟数学考前模拟 参考答案参考答案一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40

44、 分分1.A2.A3.B4.D5.A6.B7.D8.D二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9.CD10.ABD11.BD12.ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.4314.4315.1211nn16.2;9(,2(答对一空得 2 分，答对两空得 5分)四、解答题：本题共四、解答题：本题共6小题，共小题，共70分分.17.解：（1）1()(1)kP Xkpp，1k，2，9，故 X 的分布列为：x123410Pp，记0128(1)2(1)3(1)9(1)Spppp，作

45、差可得，则，即证.(2)当0.25p 时，则试验成本的期望小于 4a，又获利 5a 大于成本的期望，则应该投资.18.解：（1）证明：因为14ABAA，160A AB，所以为等边三角形，故14AB，又因为12 3AC，2BC，所以22211ABACBC，所以1BCAC，又BCAC，AC，1AC 平面11ACC A，所以BC 平面11.ACC A（2）如图，设 E 为1BB的中点，连结1AE，DE，作1DFAE于.F因为BC 平面11ACC A，/DEBC，所以DE 平面11ACC A，又1CC，1AD平面11ACC A，所以1DECC，1DEAD，因为ACBC，所以三角形 ABC 为直角三角形

46、，又因为4AB，2BC，所以2 3AC，在11ACC中，D 为1CC的中点，所以11ADCC，又1ADDED，1AD平面1ADE，DE 平面1ADE，所以1CC 平面1.ADE因为1BB1/CC，所以1BB 平面1ADE，因为DF 平面1ADE，所以1BBDF，又因为1DFAE，1BB，1AE 平面11ABB A，所以DF 平面11ABB A，所以直线1AD与平面11ABB A所成角为在1DAE中，1ADDE，2DEBC，所以，所以因此，直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值为3.319解：（1）设等差数列 na的公差为 d，11a，31a 是2a和8a的等比中项，2328(1)aa a

47、，即2(1 21)(1)(1 7)ddd，解得1d ，na是各项均为正数的等差数列，1.d1(1)1nann ，22(nnbSn*N).1122(2)nnbSn，两式相减得：12(2)nnbnb，当1n 时，1122bS，12b，nb是以 2 为首项，2 为公比的等比数列112.nnnbbq（2）解：因为，所以2,2,nnnncn为奇数为偶数所以21(3 5nS 2423)(22n22)n(1)(323)4(14)214nnn12454.33nnn解：当 i 为奇数时，设1111 33 5(21)(21)nAnn111111(1)23352121nn11.22(21)n当 i 为偶数时，设24

48、6222111112()4()6()(22)()2()22222nnnBnn ，4682221111112()4()6()(22)()2()422222nnnBnn ，2462223111112()2()2()2()2()422222nnnBn ，故218(34)1()992nnnB，(1)2211251(34)1().182(21)92inninniianABcn20.解：(1)如图 1，1AD，2CD，所以1131()2222BABDDABDCDBDBDBCBDBC ，因为34BA BD ，0BC BD ，、所以22313133()|222224BA BDBDBCBDBDBC BDBD ，

49、故21|2BD，则2|2BD ，即22BD，又0BC BD ，则BCBD，故22142BCCDBD，不妨记ABD，ABm，则2222211212cos222 2mABBDADmAB BDmm，因为3|cos4BA BDBA BD ，所以22213242 2mmm，解得2m，则2 2 13cos42 22，因为0，所以27sin14cos，所以11127sin222224ABCABDBCDSSSAB BDBD BC12143 72228；.(2)如图 2，不妨设ABD与CBD内切圆的半径分别为 r 与 R，因为 BD 平分ABC，所以由角平分线性质定理得12ABADBCCD，记ABc，则2BCc

50、，记ABC，则22222224959cos2224ABBCACcccAB BCccc，因为1121()3333BDBAADBAACBABCBABABC ，所以2222222241441459|cos42229999994cBDBABCBA BCcccccc ，所以2|22BDc，即222BDc，因为ABBCAC，即23cc，解得1.c 设顶点 B 到 AC 的距离为 h，则112122ABDBCDAD hSSCD h，又211()(221)22ABDSABBDAD rccr211()(2222)22BCDSBCBDCD RccR，所以，则，令1tc，则1ct，2t，所以，因为2t，所以1102