重组卷05-冲刺2023年高考数学真题重组卷（新高考地区专用）含答案.pdf

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1、绝绝密密启启用用前前冲刺 2023 年高考数学真题重组卷 05新高考地区专用（原卷版）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2022 年高考北京卷）已知集合|11Axx，|02Bxx，则AB（）A|12xx B|12xx C|

2、01xxD|02xx2（2022 年高考全国 I 卷）若i(1)1z，则zz（）A2B1C1D23（2022 年高考全国 I 卷）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A32mnB23mnC32mnD23mn4（2020 高考全国新课标 II 卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A

3、3699 块B3474 块C3402 块D3339 块5（2020 年高考全国 II 卷）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2 种B3 种C6 种D8 种6（2021 年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A3B4C9D127（2021 年高考全国乙卷）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足|2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A2,12B1,12C20,2D10,28（

4、2021 年高考全国 II 卷）已知函数 fx的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数，则（）A102fB10f C 20fD 40f二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9（2022 年高考全国 I 卷）已知正方体1111ABCDABC D，则（）A直线1BC与1DA所成的角为90B直线1BC与1CA所成的角为90C直线1BC与平面11BB D D所成的角为45D直线1BC与平面 ABCD 所成的角为4510（2020 年高考全国 II 卷）已知 a0，b0

5、，且 a+b=1，则（）A2212abB122a bC22loglog2ab D2ab11（2022 年高考全国 I 卷）已知函数3()1f xxx，则（）A()f x有两个极值点B()f x有三个零点C点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D直线2yx是曲线()yf x的切线12（2022 年高考全国乙卷）双曲线 C 的两个焦点为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F作 D 的切线与 C 交于 M，N 两点，且123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52B32C132D172三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（2021 年高考全国甲卷）已

6、知函数 2cosf xx的部分图像如图所示，则2f_.14（2021 年高考天津卷）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为_15（2020 年高考全国 II 卷）已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_16（2021 年高考北京卷）已知函数()lg2f xxkx，给出下列四个结

7、论：若0k，()f x恰 有 2 个零点；存在负数k，使得()f x恰有 1 个零点；存在负数k，使得()f x恰有 3 个零点；存在正数k，使得()f x恰有 3 个零点其中所有正确结论的序号是_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2020 年高考全国 II 卷）在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分1

8、8（2021 年高考全国乙卷）设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST 19（2021 高考北京卷）在核酸检测中,“k 合 1”混采核酸检测是指：先将 k 个人的样本混合在一起进行 1次检测,如果这 k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有

9、 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为111.设 X 是检测的总次数，求 X 的分布列与数学期望 E(X).(II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测.设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 E(Y)与(I)中 E(X)的大小.(结论不要求证明)20（2020 年高考浙江卷）如图，三棱台 ABCDEF 中，平面 ACFD平

10、面 ABC，ACB=ACD=45，DC=2BC（I）证明：EFDB；（II）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值21（2021 高考全国甲卷）抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切（1）求 C，M的方程；（2）设123,A A A是 C 上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由22（2022 年高考全国 II 卷）已知函数()eeaxxf xx(1)当1a 时，讨论()f x的单调性；(2)当0 x 时，()1f x ，求 a 的取值范围；(3)

11、设nN，证明：222111ln(1)1122nnn绝绝密密启启用用前前冲刺 2023 年高考数学真题重组卷 05新高考地区专用（解析版）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2022 年高考北京卷）已知集合|11Axx，|02

12、Bxx，则AB（）A|12xx B|12xx C|01xxD|02xxB【解析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：|12ABxx.故选：B.2（2022 年高考全国 I 卷）若i(1)1z，则zz（）A2B1C1D2D【解析】利用复数的除法可求z，从而可求zz.【详解】由题设有21i1iiiz，故1+iz，故 1i1 i2zz，故选：D3（2022 年高考全国 I 卷）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A32mnB23mnC32mnD23mnB【解析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，2BDD

13、A，所以2BDDA ，即2CDCBCA CD ，所以CB 3232CDCAnm 23mn 故选：B4（2020 高考全国新课标 II 卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A3699 块B3474 块C3402 块D3339 块C【解析】第 n 环天石心块数为na，第一层共有 n 环，则na是以 9 为首项，9 为公差

14、的等差数列，设nS为na的前 n 项和，由题意可得322729nnnnSSSS，解方程即可得到 n，进一步得到3nS.【详解】设第 n 环天石心块数为na，第一层共有 n 环，则na是以 9 为首项，9 为公差的等差数列，9(1)99nann，设nS为na的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,nnnnnSSSSS，因为下层比中层多 729 块，所以322729nnnnSSSS，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222nnnnnnnn即29729n，解得9n ，所以32727(9927)34022nSS.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前 n 项和有

15、关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5（2020 年高考全国 II 卷）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2 种B3 种C6 种D8 种C【解析】首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可.【详解】第一步，将 3 名学生分成两个组，有12323C C 种分法第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有222A 种安排方法所以，不同的安排方法共有3 26种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.6（2021 年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点

16、均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A3B4C9D12B【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD，设球的半径为R，则343233R，可得2R，所以，44ABADBDBD，所以，1BD，3AD，CDAB，则90CADACDBCDACD，所以，CADBCD，又因为ADCBDC，所以，ACDCBD，所以，ADCDCDBD，3CDAD BD，因此，这两个圆锥的体积之和为2

17、113 4433CDADBD.故选：B.7（2021 年高考全国乙卷）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足|2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A2,12B1,12C20,2D10,2C【解析】设00,Pxy，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题

18、意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值8（2021 年高考全国 II 卷）已知函数 fx的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数，则（）A102fB10f C 20fD 40fB【解析】推导出函数 fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出 10f，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数2f x为偶函数，则22fxfx，可得31f xf

19、x，因为函数21fx为奇函数，则1221fxfx，所以，11fxfx，所以，311f xf xf x，即 4f xf x，故函数 fx是以4为周期的周期函数，因为函数 21F xfx为奇函数，则 010Ff，故 110ff，其它三个选项未知.故选：B.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9（2022 年高考全国 I 卷）已知正方体1111ABCDABC D，则（）A直线1BC与1DA所成的角为90B直线1BC与1CA所成的角为90C直线1BC与平面11BB D D所

20、成的角为45D直线1BC与平面 ABCD 所成的角为45ABD【解析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11/DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBC C为正方形，则1BC 1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A 正确；连接1AC，因为11AB 平面11BBC C，1BC 平面11BBC C，则111A BBC，因为1BC 1BC，1111ABBCB，所以1BC 平面11A B C，又1AC 平面11A B C，所以11BCCA，故 B 正确；连接11AC，设1111ACB DO，连接BO，因

21、为1BB 平面1111DCBA，1C O 平面1111DCBA，则11C OB B，因为111C OB D，1111B DB BB，所以1C O 平面11BB D D，所以1C BO为直线1BC与平面11BB D D所成的角，设正方体棱长为1，则122CO，12BC，1111sin2COC BOBC，所以，直线1BC与平面11BB D D所成的角为30，故 C 错误；因为1C C 平面ABCD，所以1C BC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145C BC，故 D 正确.故选：ABD10（2020 年高考全国 II 卷）已知 a0，b0，且 a+b=1，则（）A2212abB122a b

22、C22loglog2ab D2abABD【解析】根据1ab，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于 A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故 A 正确；对于 B，211aba ，所以11222a b，故 B 正确；对于 C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为21 212ababab ，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的

23、核心素养.11（2022 年高考全国 I 卷）已知函数3()1f xxx，则（）A()f x有两个极值点B()f x有三个零点C点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D直线2yx是曲线()yf x的切线AC【解析】利用极值点的定义可判断 A，结合()f x的单调性、极值可判断 B，利用平移可判断 C；利用导数的几何意义判断 D.【详解】由题，231fxx，令()0fx得33x 或33x ，令()0fx得3333x，所以()f x在3(,)3，3(,)3上单调递增，33(,)33上单调递减，所以33x 是极值点，故 A 正确；因32 3()1039f ，32 3()1039f，250f ，所以

24、，函数 fx在3,3 上有一个零点，当33x 时，303f xf，即函数 fx在33,+上无零点，综上所述，函数()f x有一个零点，故 B 错误；令3()h xxx，该函数的定义域为R，33hxxxxxh x ，则()h x是奇函数，(0,0)是()h x的对称中心，将()h x的图象向上移动一个单位得到()f x的图象，所以点(0,1)是曲线()yf x的对称中心，故 C 正确；令 2312fxx，可得1x ，又(1)11ff，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx，当切点为(1,1)时，切线方程为23yx，故 D 错误.故选：AC.12（2022 年高考全国乙卷）双曲线 C 的两个焦点

25、为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F作 D 的切线与 C 交于 M，N 两点，且123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52B32C132D172AC【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23ba或2ab，即可得解，注意就,M N在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】方方法法一一：几几何何法法，双双曲曲线线定定义义的的应应用用情况一M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为 B，所以1OBFN，因为123cos05F NF，所以N在双曲线的左支，OBa，1

26、OFc，1FBb，设12F NF，由即3cos5，则4sin5=，235NANF22aa，21NFNF2a532222aaba，52be2a，选 A情况二若 M、N 在双曲线的两支，因为123cos05F NF，所以N在双曲线的右支，所以OBa，1OFc，1FBb，设12F NF，由123cos5F NF，即3cos5，则4sin5=，235NANF22aa，12NFNF2a352222abaa，所以23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cbeaa选 C方方法法二二：答答案案回回代代法法5Ae2选项特值双曲线22121,F5,0,F5,04xy，过1F且与圆相切的一条直线为y2

27、x5，两交点都在左支,62N5,555，211 2NF5,NF1,FF2 5，则123cos5F NF，13Ce2选项特值双曲线2212xy1,F13,0,F13,049，过1F且与圆相切的一条直线为2yx133，两交点在左右两支，N在右支，1418N13,131313，211 2NF5,NF9,FF2 13，则123cos5F NF，方方法法三三：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，若,M N分别在左右支，因为1OGNF，且123cos05F NF，所以N在双曲线的右支，又OGa，1OFc，1GFb，设12F NF，21F F N，在12FNF中，有212sinsin

28、sinNFNFc，故122sinsinsinNFNFc即sinsinsinac，所以sincoscossinsinsinac，而3cos5，sinac，cosbc，故4sin5=，代入整理得到23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cbeaa若,M N均在左支上，同理有212sinsinsinNFNFc，其中为钝角，故cosbc，故212sinsinsinNFNFc即sinsincoscossinsinac，代入3cos5，sinac，4sin5=，整理得到：1424aba=+，故2ab，故2512bea，故选：AC.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（

29、2021 年高考全国甲卷）已知函数 2cosf xx的部分图像如图所示，则2f_.3【解析】首先确定函数的解析式，然后求解2f的值即可.【详解】由题意可得：31332,241234TTT，当1312x时，131322,2126xkkkZ，令1k 可得：6，据此有：52cos 2,2cos 22cos362266fxxf.故答案为：3.【点睛】已知 f(x)Acos(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由2T即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令x00(或x0)，即可求出.(

30、2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对 A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.14（2021 年高考天津卷）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为_232027【解析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少获胜 2次分为甲获胜 2 次和 3 次

31、都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为23232122033327C.故答案为：23；2027.15（2020 年高考全国 II 卷）已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_22.【解析】根据已知条件易得1D E3，1D E 侧面11BC CB，可得侧面11BC CB与球面的交线上的点到E的距离为2，可得侧面11BC CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，

32、1CC的中点为G，因为BAD60，直四棱柱1111ABCDABC D的棱长均为 2，所以111D BC为等边三角形，所以1D E3，111D EBC，又四棱柱1111ABCDABC D为直四棱柱，所以1BB 平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1D E 侧面11BC CB，设P为侧面11BC CB与球面的交线上的点，则1DEEP，因为球的半径为5，13D E，所以2211|532EPD PD E，所以侧面11BC CB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为|2EFEG，所以侧面11BC CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114B EFC EG，所以2F

33、EG，所以根据弧长公式可得2222FG.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.16（2021 年高考北京卷）已知函数()lg2f xxkx，给出下列四个结论：若0k，()f x恰 有 2 个零点；存在负数k，使得()f x恰有 1 个零点；存在负数k，使得()f x恰有 3 个零点；存在正数k，使得()f x恰有 3 个零点其中所有正确结论的序号是_【解析】由 0fx 可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线 lgg xx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正

34、误.【详解】对于，当0k 时，由 lg20fxx，可得1100 x 或100 x，正确；对于，考查直线2ykx与曲线lg01yxx 相切于点,lgP tt，对函数lgyx 求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt ，解得100100lgetkee，所以，存在100lg0kee，使得 fx只有一个零点，正确；对于，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k ，所以，当100lg2eke 时，直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，若函数 fx有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，直线2ykx与曲线lg1yx x有一个交点，所以，100lg220e

35、kek，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数 fx有三个零点，错误；对于，考查直线2ykx与曲线lg1yx x相切于点,lgP tt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke，所以，当lg0100eke时，函数 fx有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数

36、的取值范围四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2020 年高考全国 II 卷）在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分详见解析【解析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】方方

37、法法一一【最最优优解解】：余余弦弦定定理理由sin3sinAB=可得：3ab，不妨设3,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm，即cm.若选择条件：据此可得：2333acmmm，1m，此时1cm.若选择条件：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm，则：213sin122A，此时：3sin32cAm，则：2 3cm.若选择条件：可得1cmbm，cb，与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在.方方法法二二：正正弦弦定定理理由,6CABC，得56AB由sin3sinAB=，得5sin3sin6BB，即13cossin3sin22BBB，得3

38、tan3B 由于0B，得6B所以2,3bc A若选择条件：由sinsinacAC，得2sinsin36ac，得3ac解得1,3cba所以，选条件时问题中的三角形存在，此时1c 若选择条件：由sin3cA，得2sin33c，解得2 3c，则2 3bc由sinsinacAC，得2sinsin36ac，得36ac所以，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c 若选择条件：由于3cb与bc矛盾，所以，问题中的三角形不存在【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,a b c的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出

39、角B，从而可得2,36bc ABC，再根据选择条件即可解出18（2021 年高考全国乙卷）设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST（1）11()3nna，3nnnb；（2）证明见解析.【解析】（1）利用等差数列的性质及1a得到29610qq，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,nnS T，再作差比较即可.【详解】（1）因为 na是首项为 1 的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa，所以211169a

40、 qaa q，即29610qq，解得13q，所以11()3nna，所以33nnnnanb.（2）方方法法一一：作作差差后后利利用用错错位位相相减减法法求求和和211213333nnnnnT，01211111122 3333nnS，23012112311111233332 3333nnnnSnT012111012222333111233 nnnn设01211111012122223333 nnn，则123111101211222233333 nnn由-得112111331211111332213233332313 nnnnnnn所以211312432323 nnnnnn因此10232323 nn

41、nnnSnnnT故2nnST 方方法法二二【最最优优解解】：公公式式法法和和错错位位相相减减求求和和法法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS，211213333nnnnnT，231112133333nnnnnT，得23121111333333nnnnT1111(1)1133(1)1323313nnnnnn，所以31(1)432 3nnnnT，所以2nnST 3131(1)(1)0432 3432 3nnnnnn，所以2nnST.方方法法三三：构构造造裂裂项项法法由（）知13nnbn，令1()3nncn，且1nnnbcc，即1111()(1)333nnnnnn，通过等式左右

42、两边系数比对易得33,24，所以331243nncn 则12113314423nnnnnTbbbcc，下同方法二方方法法四四：导导函函数数法法设231()1nnxxf xxxxxx，由于1221 11111(1)1(1)1nnnnnxxxxxxxxnxnxxxx，则12121(1)()123(1)nnnnxnxfxxxnxx又1111333nnnbnn，所以2112311111233333nnnTbbbbn 12111(1)11133333113nnnnf13113311(1)4334423nnnnnn，下同方法二【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，

43、考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,nnS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3nncn，使1nnnbcc，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.19（2021 高考北京卷）在核酸检测中,“k 合 1”混采核酸检测是指：先将 k 个人的样本混合在一起进行 1次检

44、测,如果这 k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为111.设 X 是检测的总次数，求 X 的分布列与数学期望 E(X).(II）将这 10

45、0 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测.设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 E(Y)与(I)中 E(X)的大小.(结论不要求证明)（1）20次；分布列见解析；期望为32011；（2）E YE X【解析】（1）由题设条件还原情境，即可得解；求出 X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 E Y，即可得解.【详解】（1）对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；所以总检测次数为 20 次；由题意，X可以取 20，30，12011P X，

46、1103011111P X ，则X的分布列:X2030P1111011所以1103202030111111E X；（2）由题意，Y可以取 25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C CPC，不在同一组的概率为29599P，则 49529502530=999999E YE X.20（2020 年高考浙江卷）如图，三棱台 ABCDEF 中，平面 ACFD平面 ABC，ACB=ACD=45，DC=2BC（I）证明：EFDB；（II）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值（I）证明见解析；（II）33【解析】（I）方法一：作DHAC交AC于H，连接BH，由题意可知DH 平面

47、ABC，即有DHBC，根据勾股定理可证得BCBH，又/EFBC，可得DHEF，BHEF，即得EF平面BHD，即证得EFDB；（II）方法一：由/DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角，作HGBD于G，连接CG，即可知HCG即为所求角，再解三角形即可求出DF与平面DBC所成角的正弦值【详解】（I）方方法法一一：几几何何证证法法作DHAC交AC于H，连接BH平面ADFC 平面ABC，而平面ADFC平面ABCAC，DH 平面ADFC，DH 平面ABC，而BC平面ABC，即有DHBC45ACBACD，222CDCHBCCHBC在CBH中，22222cos45BHCHBCCH B

48、CBC，即有222BHBCCH，BHBC由棱台的定义可知，/EFBC，所以DHEF，BHEF，而BHDHH，EF平面BHD，而BD平面BHD，EFDB方方法法二二【最最优优解解】：空空间间向向量量坐坐标标系系方方法法作DOAC交AC于 O平面ADFC 平面ABC，而平面ADFC平面ABCAC，DO 平面ADFC，DO 平面ABC，以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设 OC=1,45ACBACD，22DCBC，22BC,1 10,0,1,0,1,0,02 2DCB，11,122BD ,1 1,02 2BC ,11044BD BC ,BCBD,又棱台中 BC/EF,EFBD；方方法法三三：三

49、三余余弦弦定定理理法法平面 ACFD平面 ABC，1coscoscoscos45 cos452BCDACBACD,60BCD，又DC=2BC90CBD,即CDBD,又/EFBC，EFDB（II）方方法法一一：几几何何法法因为/DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角作HGBD于G，连接CG，由（1）可知，BC平面BHD，因为所以平面BCD 平面BHD，而平面BCD平面BHDBD，HG 平面BHD，HG 平面BCD即CH在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角在RtHGC中，设BCa，则2CHa，2233BH DHa aHGaBDa，13sin33HGHCGCH故DF与

50、平面DBC所成角的正弦值为33方方法法二二【最最优优解解】：空空间间向向量量坐坐标标系系法法公公众众号号：高高中中试试卷卷君君设平面 BCD 的法向量为,nx y z,由（I）得11,122BD ,1 1,02 2BC ,11022,11022xyzxy令1x,则1y,2z,1,1,1n,0,1,0OC，13cos,31 1 11n OC ,由于/DFOC，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33方方法法三三：空空间间向向量量法法以,CH CB CD 为基底,不妨设22DCBC，则3,2,45,45,60DBCHHCBHCDDCB(由（I）的结论可得）设平面DBC的法向量为nxCHyCBzCD