2021.4.20--高二期中-数学-卷含答案.docx

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1、 北大培文学校2020-2021学年度下学期4月期中考试高二年级数学卷考试时间：120分钟，分值：150分命题人：张远景，审题人：毕明科第I卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1.已知集合S=0，1，2，T =2，3，则ST= ( )A. 0，1，2，3 B.0,2 C. 0,1,2 D.22.在等差数列中，公差，则 ( )A.6 B.8 C.7 D.93.已知向量=（1,2），=(-2,0)，则的值等于( )A.-4 B.-3 C.-2 D.14. sin790 cos340 -cos790 sin340 的值为( )A. B.

2、 C. 1 D. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()7.某人在5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10, 11,9。已知这组数据的平均数为10，则的值为( )A.10 B.16 C.15 D.208.若实数r,y满足约束条件则的最大值等于( )A. 3 B.2 C.1 D. 9.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D510. 溶液酸碱度是通过pH 刻画的。pH的计算公式为pH=

3、，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。若某种纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该纯净水pH的为( )A.5 B. 6 C. 7 D.811.某程序框图如图所示,运行后输出S的值为( )A.10 B.11 C.14 D.1612. 已知f(x)是f(x)(xR)的导函数，且f(x)f(x)，f(1)=e，则不等式f(x)ex0 (1)求曲线y=fx在点(0,f0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，求证：fx的极小值小于1.(12分) 仅理科生做 已知函数fx=alnxx+1（其中a0）. (1)求函数fx的极大值；(2)对任意x0，fx12a21成立，求实数a的取值范围22(1

4、2分). 已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点，离心率为12，M，N分别是椭圆的上、下顶点， MF2NF2=2. (1)求椭圆E的方程；(2) 过P（0,2） 作直线l与椭圆E交于A，B两点，求三角形AOB面积的最大值（O是坐标原点）参考答案与试题解析一. 选做题题号123456789101112答案ABCACCDACBDD12【解答】解：由题意令g(x)=f(x)ex，则g(x)=f(x)f(x)ex， f(x)0，即g(x)在R上是单调递增函数， f(1)=e， g(1)=1，则不等式f(x)ex0等价为f(x)ex1=g(1)，即g(x)g(1)，解得x1

5、2”是真命题， x2+ax1恒成立，即x2+ax+10恒成立；=a240，即2a2； a的取值范围是(2,2)故答案为：(2,2)15.【考点】轨迹方程【解答】已知两定点A2,0，B1,0，如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为x,y，则x+22+y2=4x12+y2，即x22+y2=4所以点P的轨迹是以2,0为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4本题考查直接法求轨迹方程16.【考点】合情推理【解答】由题意， .二、 解答题 （本题共计 6小题 ，共计70分 ） 17.【考点】等比数列的前n项和 等差数列的前n项和 等差数列的通项公式【解答】解：1设等差数列a

6、n的公差为d，则由已知条件得：a1+2d=2，3a1+322d=92，解得a1=1，d=12，代入等差数列的通项公式得：an=1+n12=n+12 52由1得，b1=1，b4=a15=15+12=8设bn的公比为q，则q3=b4b1=8，从而q=2，故bn的前n项和Tn=b1(1qn)1q=1(12n)12=2n1 1018.【考点】正弦定理 余弦定理的应用解：(1)因为asinA=csinC，sinAa=3cosCc，所以sinC=3cosC，所以tanC=3，因为C0,，所以得到C=3. 6(2) 由余弦定理可得：cosC=a2+b2c22ab=12, a2c2=abb2， a=5，c=7

7、, b25b24=0，解得：b=8或b=3（舍）， b=8， ABC的面积为：S=12absinC=103. 1219. 【考点】频率分布直方图 众数、中位数、平均数列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解答】解：(1)频率分布直方图如图所示 3由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为0.2+0.25=0.450.5，可知中位数应该在第三组，设中位数为x，则x40.15=0.50.45=0.05，解得x=1334.3，所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3 6（2）因为0.0750.05=32，所以在抽取的5个运动卫士中，运动达人有2人记5个运动卫士中2个运动达人为A1,A2，3个

8、非运动达人为B1,B2,B3，这5人中抽取2人的情况有：A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3，A2,B1,A2,B2,A2,B3，B1,B2,B1,B3,B2,B3，共有10种结果；而恰有1人为运动达人的情况有：A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1，A2,B2,A2,B3，共有6种结果；则抽到的2个运动卫士中恰有1人为运动达人的概率为35 1220.【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定【解答】解：(1)连接BD，由PA=PD=2，E是AD的中点，得PEAD，由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面PAD，可得PE平面ABCD，又因为

9、BE平面ABCD,所以PEBE，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，A=60，所以BEAD，又因为PEAD=E，PE平面PAD,AD平面PAD，所以BE平面PAD. 6（2） 450 解答 略 12(3)以E为原点，EA,EB,EP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,3),A(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0)，有PA=(1,0,3),PB=(0,3,3),PC=(2,3,3)，令平面PAB的法向量为n，由PAn=0,PBn=0,可得一个n=(3,1,1)，同理可得平面PBC的一个法向量为m=(0,1,1)，所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为|mn|m

10、n|=105. 1221. 文科做 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性(1)解：由已知得fx=exax2+2ax+1，因为f0=1,f0=1，所以直线l的方程为y=x+1 4(2)证明：fx=exax2+2ax+1，令gx=ax2+2ax+1，=4a24a当0时，即当00时，即当a1时，记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根，不妨设x1x2，则x1+x2=20，所以x1x20此时fx，fx随a的变化如下：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)+00+f(x)极大值极小值所以，函数y=fx的极小值为fx2，又因为函数y

11、=fx在x2,0单调递增，所以fx20，令f(x)=0，得x=a，在(0,a)上，f(x)0，f(x)是增函数，在(a,+)上，f(x)0)，要使得对任意x0，f(x)12(a21)成立，即alnaa+112(a21)，则alna+32a12a20，令u(a)=alna+32a12a2(a0)，所以u(a)=lna+11a=lnaa，令k(a)=u(a)=lnaa，k(a)=1a1，令k(a)=1aa=0，得a=1，在(0,1)上，k(a)0，k(a)=u(a)是增函数，在(1,+)上，k(a)0，k(a)=u(a)是减函数，所以当a=1时，k(a)=u(a)取得极大值也是最大值， u(a)max=u(1)=10，在(0,+)上，u(a)0，即k214，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2， |AB|=1+k2|x1x2|=48k2+14k214k2+32，O到l的距离为：d=21+k2，三角形AOB面积：Sk=12|AB|d=1248k2+14k214k2+3221+k2=43(4k21)(4k2+3)2，设t=4k210， St=43tt+42=43t+16t+83，当且仅当t=16t，即t=4，即4k21=4，即k=52时取等号，所以AOB面积的最大值为3. 12