测量不确定度评定方法指南——基于分布传播的蒙特卡罗方法.doc

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1、ICS点击此处添加中国标准文献分类号中华人民共和国国家标准GB/T XXXXXXXXX测量不确定度评定方法指南基于分布传播的蒙特卡罗方法Guide to the evaluation of uncertainty in measurement-Propagation of distribution using a Monte Carlo method(JCGM 101:2008 Evaluation of measure data-Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement”-Propag

2、ation of distributions using a Monte Carlo method,IDT)（2014-7-29：）XXXX - XX - XX发布XXXX - XX - XX实施GB/T XXXXXXXXX目次前言IVJCGM前言引言VI1范围12规范性引用文件23术语和定义24约定和符号65基本原则85.1不确定度评定的主要步骤85.2分布传播95.3汇总信息获取95.4执行分布传播105.5结果的报告125.6GUM不确定度评定方法125.7GUM有效用于线性模型不确定度评定的条件145.8GUM有效用于非线性模型不确定度评定的条件155.9基于蒙特卡罗方法的分布传播和总

3、结过程155.10有效利用MCM的条件175.11GUM不确定度评定方法与蒙特卡罗方法的比较186输入量的概率密度函数196.1概述196.2贝叶斯理论206.3最大信息熵原理206.4常见条件下的概率密度函数的确定206.4.1概述206.4.2矩形分布226.4.3界值不确定的矩形分布226.4.4梯形分布236.4.5三角分布256.4.6反正弦分布256.4.7正态分布266.4.8多元正态分布276.4.9t分布286.4.10指数分布296.4.11Gamma分布306.5从先前的不确定度计算中确定概率分布317蒙特卡罗方法的运行317.1概述317.2蒙特卡罗试验次数317.3从

4、概率分布中抽样327.4模型的计算327.5输出量的分布函数离散表示327.6输出量的最佳估计和相应的标准不确定度337.7输出量的包含区间347.8计算时间347.9蒙特卡罗自适应程序357.9.1概述357.9.2与数值相关的数值容差357.9.3自适应程序的目标367.9.4自适应程序368结果的确认388.1用蒙特卡罗方法确认GUM评定方法388.2基于确认目的蒙特卡罗方法结果的获取399案例399.1本标准有关方面的说明399.2加法模型409.2.1模型方程409.2.2输入量为正态分布409.2.3输入量为等宽的矩形分布439.2.4输入量为不等宽的矩形分布449.3砝码校准46

5、9.3.1模型方程469.3.2传播及总结489.4微波动力仪校准的比较损失509.4.1模型方程509.4.2传播及总结：零协方差519.4.3传播及总结：协方差不为零589.5量块校准609.5.1公式：模型609.5.2分布的确定629.5.3传播及总结659.5.4结论66附录A 历史观点69附录B 灵敏度系数和不确定度贡献量71附录C 从概率分布中抽样73C.1概述73C.2一般分布73C.3矩形分布74C.3.1概述74C.3.2随机性检验75C.3.3生成矩形分布伪随机数的程序75C.4正态分布76C.5多元正态分布77C.6t分布79附录D 输出量分布函数的连续近似81附录E

6、矩形分布的四重卷积包含区间85附录F 比较损失问题88F.1分析法获得期望和标准差88F.2具有零协方差电压反应系数的零估计值得解析算法89F.3GUM在比较损失问题中的应用90F.3.1输入量不相关90F.3.2输入量相关91附录G 主要符号汇总表92参考文献98前言本标准等同采用JCGM 101:2008 Evaluation of measure data-Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement”-Propagation of distributions using a Mont

7、e Carlo method。本标准由全国认证认可标准化技术委员会（SAC/TC261）提出并归口。本标准由中国计量学院负责起草。本标准起草单位：中国计量学院、中国计量科学研究院、浙江省计量科学研究院、上海计量测试研究院、广州计量检测技术研究院、杭州质量技术监督检测院、滨州学院、上海工程技术大学。 标准的主要起草人为：宋明顺、高蔚、邵力、徐生坚、方兴华、周伦彬、童俊、黄乐富、王伟、张俊亮。JCGM 前言1997年，由国际计量局（Bureau International des Poids et Mesures , BIPM）理事领导的计量学指南联合委员会（Joint Committee for

8、 Guides in Metrology , JCGM）着手起草测量不确定度表示指南（Guide to the expression of uncertainty in measurement, GUM)和国际通用计量学基本术语（International vocabulary of basic and general terms in metrology, VIM）两个国际标准，ISO技术建议小组4（TAG4）委任JCGM负责标准的制定并对两个标准负责。JCGM成立于1993年，由7个国际组织组成。联合委员会 (JCGM)由BIPM联合国际电工委员会（International Electr

9、otechnical Commission, IEC）、国际临床化学和实验室医学联盟（International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicine, IFCC）、国际实验室认可合作组织（International Laboratory Accreditation Cooperation, ILAC）、国际标准化组织（International Organization for Standardization, ISO）、国际理论与应用化学联合会（International Union of Pure and App

10、lied Chemistry, IUPAC）、国际理论与应用物理联合会（International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP）以及国际法制计量组织（International Organization of Legal Metrology, OIML）7个组织组成。JCGM有两个工作组。工作组1为GUM工作组，任务是推进GUM的使用和制定补充文件以及其他GUM拓展应用的文件。工作组2为VIM工作组，任务是修订和推进VIM的应用。类似于本标准试图通过提供不确定度评定方面的指南为GUM增加不确定度评定的价值，这些指南在GUM中没有被明确论述。

11、然而，这些补充的指南将尽可能的与GUM中通用的统计基础保持一致。本标准由JCGM工作组1起草，并且也经过了JCGM和国际计量机构成员的仔细审查，本标准的制定也得益于这些审查意见。 引言此标准是“测量不确定度表示指南” (GUM)的补充文件，主要通过测量模型以概率分布传播作为测量不确定度评定的基础GUM:1995 3.1.6，并通过蒙特卡罗方法（MCM）执行。它适用于有任意个输入量、单个输出量的模型。以下两种情况用MCM代替GUM进行不确定度评定比较有优势GUM: 1995 3.4.8：a) 非线性模型；b) 输出量的概率密度函数（PDF）明显地背离正态分布或t分布，如由于明显的非对称性。在a)

12、中，用GUM中的方法得到输出量的估计值及标准不确定度可能会不可靠；在b)中，用GUM中的方法得到输出量的包含区间（即GUM不确定度方法中的“扩展不确定度”的概念）可能会不可靠。GUM基于不确定度传播律GUM:1995 3.4.8“提供了不确定度评定的方法”，基于不确定度传播律GUM:1995 5及用正态分布或t分布表征输出量GUM:1995 G.6.2,G.6.4。在该方法中，不确定度传播律提供了通过模型传播不确定度的方法。具体地，在下述条件下，它给出了输出量的最佳估计及标准不确定度：1）各输入量的最佳估计值；2）各输入量的估计值的标准不确定度；3）与这些标准不确定度相关联的自由度；4）各输入

13、量间的非零协方差。在该方法中，通过输出量的PDF，给出输出量特定包含概率下的包含区间。通过最佳估计、标准不确定度、协方差和有效自由度等信息确定输入量的PDF，然后通过分布传播得到输出量的PDF。由于GUM不确定度评定方法存在一些局限，根据测量模型和输入量的PDFs用分布传播可以得到输出量的PDF。根据输入量PDF确定的输出量PDF描述了输出量的信息。一旦获得输出量的PDF，输出量就可以用它的期望，即其最佳估计值，以及它的标准偏差，即标准不确定度来概括；并且可以根据PDF得到输出量的给定包含概率下的包含区间。此标准中PDFs的概念与GUM中是一致的。它反映被测量的各种信息状态，如信息的可信程度。

14、被测量的信息可以来自原始的测量数据、测量结果或者是科学的说明及专家的经验判断。为了构建量的PDF，基于测量列信息，可以应用贝叶斯理论进行构建 27，33；当系统性的信息能获得时，可以用最大信息熵原理（PME）确定PDF51，56。分布传播比GUM不确定度方法有更广泛的应用范围，它利用了除最佳估计值和标准不确定度（适当时还有有效自由度和协方差）之外的更多信息。附录A给出了基于历史的一些观点。注1：表GUM：1995 3.1.6 的引用是GUM指定的条款。注2：GUM给出了线性化不充分时的一种方法GUM：1995 5.1.2 注。这个方法的缺陷是：仅用了模型中泰勒级数展开的非线性部分，并且输入量被

15、认为是正态分布。注3：严格地，GUM中变量服从t分布，其中是输出量，为的估计值， 为估计值的标准不确定度GUM：1995 G.3.1。这个特性在本标准中也适用。（实际上，GUM中变量为。）注4：一个量的PDF不能理解为频率密度。注5：“不确定度评定既不是程序性工作也不是纯粹的数学问题，它取决于被测量的属性、使用的测量方法和程序等详细信息。因此，测量结果的不确定度评定的质量和效用取决于对评定有贡献信息的理解、严格的分析及其完整性。”95测量数据评价“测量不确定度表示指南”补充文件1基于分布传播的蒙特卡罗方法1 范围本标准提供了一种通用的数值方法实现测量不确定度评定中的部分计算，这种数值方法与GU

16、M广义上的原则是一致的GUM: 1995 G.1.5。它适用于有单个输出量、且输入量的PDFs确切已知的任意模型GUM: 1995 G.1.4, G.5.3。同GUM中一样，本标准主要关注一个完整定义的物理量即本质上可以用唯一的值来表征被测量的不确定度的表示方法GUM: 1995 1.2。本标准也提供了不满足GUM不确定度评定的条件GUM: 1995 G.6.6或者不能确定是否满足GUM不确定度评定的条件等情形中不确定度评定的指南。它可用于诸如模型的复杂性等造成GUM不确定度方法难以适用的情况。本指南给出了适用于计算机执行的方法实现不确定度评定。本标准可用于从下列条件中确定输出量的PDF：a)

17、 输出量的估计值；b) 估计值的标准不确定度；c) 输出量确定了包含概率的包含区间。给出输入量与输出量之间关系模型以及输入量PDFs，那么输出量有唯一的PDF。通常输出量的PDF不能通过分析法确定。因此，本标准提出的这种方法的目的是确定以上a), b)和c）规定的数值容差，而不做无法定量化的近似。对于一个给定的包含概率，本标准可用于确定相应的包含区间，包括概率对称的包含区间和最短的包含区间。本标准适用于输入量之间相互独立，并且各独立的输入量可以用一个适当的PDF来表征，若输入量不独立，部分或全部的输入量可以用一个联合PDF来表征。本标准可应用于解决以下情况中典型的不确定度评定问题：各不确定度分

18、量不具备近似相同的数量级GUM:1995 G.2.2；不确定度传播律中需要的模型偏导数很难或不方便计算GUM:1995 5；输出量的PDF不是正态分布或t分布GUM:1995 G.6.5；输出量的估计值及其相应的标准不确定度具有近似的相同数量级GUM:1995 G.2.1；模型具有复杂性GUM:1995 G.1.5；各输入量的PDFs不对称GUM:1995 G.5.3。 本标准提供了一个确认的过程以检查GUM不确定度评定方法是否适用。在明显适用的情况下，GUM不确定度评定方法是主要的不确定度评定方法。 通常不确定度报告数值保留一位或者两位有效小数就足够了。本标准以提供报告数值小数的正确性的信息

19、的形式，保证评定计算的合理性。 本标准提供了详细的案例说明。本标准是GUM的补充，也可以和GUM联合使用。其他与GUM基本一致的方法也可以代替GUM使用。本标准和GUM的起草者相同。注1：本标准没有考虑不是单一输出量的模型的情况（例如，包含解二次方程，而没有明确取哪个根的情况）。注2：本标准没有考虑输出量先验PDF可获得的情形，但是文献16的处理方法适用于这种情况。2 规范性引用文件下列文件对于本文件的应用是必不可少的。凡是注日期的引用文件，仅所注日期的版本适用于本文件。凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。JCGM 100 （GUM：1995） Guide to

20、 the expression of uncertainty in measurement (GUM), 1995JCGM 200 （VIM：2008） International Vocabulary of Metrology-Basic and General Concepts and Associated Terms (VIM), 第三版，20083 术语和定义除非有另外说明，本标准应用的术语和定义与GUM和VIM中一致。其中引用上述文件与本标准最相关的定义在下面给出（见4.2）。更多的定义包括从其它地方引入的并且对本标准很重要的定义也在下面给出。主要符号术语表见附录G。3.1 概率分布

21、 probability distribution（随机变量）函数，给出随机变量取任意给定值或给定集合的概率。注：随机变量取集合中所有值的概率是1.引用ISO 3534-1：1993 1.3；GUM：1995 C.2.3注1：当概率分布只依赖于单个（标量）随机变量时，称为单变量概率分布，如果概率分布依赖于多个随机变量时，称为多变量概率分布。多变量概率分布也可以用联合分布来表示。注2：一个概率分布可以用分布函数或者概率密度函数的形式表示。3.2 分布函数 distribution function分布函数为：对于任意数值，随机变量X取值小于等于的概率是。引用ISO 3534-1：1993 1.4

22、; GUM：1995 C.2.43.3 概率密度函数 probability density function当分布函数的导数存在时，它为分布函数的导数注：为“概率部分”。 引自ISO 3534-1：1993 1.37； GUM：1995 C. 2.143.4 正态分布 normal distribution连续随机变量的概率分布具有概率密度函数为： ， 注：为随机变量X的期望，为随机变量X的标准差。引自ISO 3534-1：1993 1.37； GUM：1995 C.2.14注：正态分布也称为高斯分布。3.5 t分布 t-distribution 连续随机变量的概率分布具有概率密度函数为：

23、其中，为分布的自由度，取正整数，伽马函数定义为： ，3.6 期望值 expectation随机变量的特性，对于PDF用表征的连续随机变量，期望为：注1：不是所有的随机变量都有期望值；注2：随机变量，给定函数，Z的数学期望为： 3.7 方差 variance随机变量的特性，对于PDF用表征的连续随机变量，方差为：注：不是所有的随机变量都有方差。3.8 标准差 standard deviation方差的正平方根。3.9 r阶矩 moment of order r随机变量r次方的期望，定义为：注1：r阶中心距为随机变量的期望；注2：期望为一阶矩，方差为二阶中心矩。3.10 协方差 covarianc

24、e 两个随机变量之间的特性，对连续的两个随机变量和，这两个随机变量可用联合PDF表征，其中， ，协方差为： 。注：并不是所有变量之间都有协方差。3.11 不确定度矩阵 uncertainty matrix维度为的矩阵，主对角线为N维向量估计值标准不确定度的平方量，其他位置为相应两个估计值的协方差。注1：N维向量X估计值的维不确定度矩阵可以表示为：其中，为的方差（标准不确定度的平方），为与的协方差。若与不相关，则。注2：协方差也被称为相互不确定度。注3：不确定度矩阵也被称为协方差矩阵或者方差-协方差矩阵。3.12 包含区间 coverage interval 基于可获得的信息，在确定概率下的一个

25、量的取值区间。注1：包含区间有时候也称为可靠区间或者贝叶斯区间。注2：通常，在确定的概率下存在不止一个包含区间。注3：包含区间不应该被称为“置信区间”，以免与统计的概念混淆GUM:1995 6.2.2。注4：本定义与VIM(第三版，2008)有区别，因为本标准没有用“真值”的概念，原因在GUM中已给出GUM:1995 E.5。3.13 包含概率 coverage probability一个量的取值在特定包含区间的概率。注：包含概率有时候被称为“置信水平”GUM:1995 6.2.2。3.14 包含区间长度 length of a coverage interval一个包含区间的最大值减去最小值

26、。3.15 概率对称包含区间 probabilistically symmetric coverage interval 一个量的包含区间满足：量的取值小于区间中最小值的概率与取值大于区间最大值的概率相等。3.16 最短包含区间 shortest coverage interval 在具有相同的包含概率的包含区间中，具有最短包含区间长度的包含区间。3.17 分布传播 propagation of distribution从输出量所依赖的各输入量的概率分布中确定一个输出量概率分布的方法。注：这种方法可以是精确的解析法或者近似的数值法。3.18 GUM不确定度评定方法 GUM uncertaint

27、y framework应用不确定度传播律或者把输出量用正态分布或t分布表征以确定包含区间。 3.19 蒙特卡罗方法 Monte Carlo method从概率分布中随机抽样的分布传播方法。3.20 数值容差 numerical tolerance包含所有数值的最短区间的半宽，这些数值能用规定的十进制有效位数表示。例：所有大于1.75和小于1.85的数都可以用两位十进制数1.8表示，数值容差为（1.85-1.75）/2=0.05。注：计算数值容差的方法，见7.9.2。4 约定和符号 本标准采用以下约定和符号。4.1 单变量（标量）测量的数学模型GUM：1995 4.1可以由函数关系表示： .（1

28、）其中：为单个（标量）输出量，表示个输入量。为随机变量，其可能取值为，期望为。为随机变量，其可能取值为，期望为。注1：相同的符号也可以用于表示物理量以及用来表征该物理量的随机变量 与GUM:1955 4.1.1 注1 比较 。注2：很多测量模型可以用公式（1）表示，表示关系更通用的形式为： 。在任何适用蒙特卡罗方法的情况下，只需要Y用X表示。4.2 本标准中用不同的符号表示常用到的“PDF”和“分布函数”24。GUM中用代表测量模型和PDF，这一表示方法在GUM中引起了一些混淆。本标准中表示方法与GUM中的不同，模型、PDF和分布函数的概念是标准后续部分以及实施指南的核心。因此，本标准中采用和

29、分别表示PDF和分布函数，代替和F，而用表示测量模型。注：第3章的PDFs和分布的定义中已经相应地应用了这些符号。4.3 本标准中，一个变量X(可能为单量、标量或向量)有一个确定的PDF。对于标量，PDF记为，表示可能的取值，为期望、方差的随机变量见3.6和3.7。4.4 当为向量时， 的PDF用表示，表示可能的取值向量。为随机变量的向量，具有期望和协方差矩阵。4.5 表示超出一个输入量的PDF称作联合PDF，即使各个输入量独立。4.6 当输入量中各相互独立时，的PDF表示为。4.7 输出量的PDF和分布函数分别表示为和。4.8 在本标准中，随机变量用大写字母表示，随机变量的期望值或估计值用小

30、写字母表示。如随机变量Y的期望值或估计值可以表示为y。这种表示方法不适用于物理量，因为有的字母有本身习惯性的特定用法，如T经常表示温度，而t代表时间。因此，在一些案例中条款9，用了不同的符号。为不造成混淆，本标准采用另外的表示方法，随机量还是用习惯性的表示方法，但在期望值或估计值的表示符号中加上缀，如在量块校准的例子中见9.5，长度测量值表示为，的估计值为。注：在统计文献中，加上缀的符号通常表示估计值。4.9 在本标准中，“不确定度传播律”适用于用一阶泰勒级数展开式近似的模型。因此，高阶泰勒展开式在应用“不确定度传播律”时受到限制。4.10 在本标准中，合成标准不确定度的下标“”GUM：199

31、5 5.1.1是多余的。因此，与输出量的最佳估计相关联的标准不确定度可记作，而为了强调它是合成标准不确定度也可以使用。“合成”一词在标准文本中可以不要，“”中“”已经表明与标准不确定度相关的估计值。此外，当不确定度评定的一个或几个结果作为进一步评定的输入量时，用下标“”和“合成”是不合适的。4.11 本标准始终使用“包含区间”和“包含概率”这两个术语，GUM使用“置信度”作为包含概率的同义词，区别于“置信水平”GUM:1995 6.2.2，因为后者在统计中有其特定的含义。很多地方把这两个术语视为等同，这里加以区分。4.12根据22届CGPM大会（2003年）的10号决议“小数点符号即可用.，也

32、可用,”。JCGM决定在其发布的英文文献中使用“.”。 4.13 除非有特殊的说明限制，测量数据、结果等必须表示出它的有效位数。例：数值0.060，0.60，6.0和60表示都有两位有效数字。数值0.06，0.6，6和表示都有一位有效数字。而把写成60是不对的，因为60为两位有效数值。4.14 本标准中，有些符号表达的不止一个意思。附录G对各种符号的用途进行了分类。4.15本标准使用下列缩写：CGPM-国际计量大会IEEE-美国电气与电子工程师学会GUF-GUM不确定度方法JCGM-计量学指南联合委员会GUM-测量不确定度表示指南MCM-蒙特卡罗方法PDF-概率密度函数VIM-国际通用计量学基

33、础术语5 基本原则5.1 不确定度评定的主要步骤5.1.1 不确定度评定的主要过程包括模型确定、分布传播和归总：a) 模型确定：1) 定义输出量Y，一般为被测量；2) 确定影响输出量Y的输入量X=；3) 建立连接输出量Y和输入量X的模型；4) 根据已有信息确定输入量的PDFs-正态、矩形分布等，对于不独立的输入量确定它们的联合PDF；b) 分布传播：将输入量Xi的PDFs，通过模型传播得到输出量Y的PDF；c) 归总：利用输出量Y的PDF得到：1) 输出量Y的期望值，其估计值为；2) 输出量Y的标准差，作为与最佳估计值相关联的标准不确定度GUM：1995 E.3.2；3) 给定概率（包含概率）

34、输出量Y的包含区间。注1：期望值并不是所有场合都可作为被测量的估计值（参见GUM: 1995 4.1.4）。注2：有一些分布，如柯西分布描述的统计量，他们没有期望值或标准差，但是输出量的包含区间是可以获取的。5.1.2 GUM不确定度方法没有明确指出确定输入量的PDFs，而GUM: 1995 3.3.5指出：“A类标准不确定度由概率密度函数得到根据观测频率分布导出，而B类标准不确定度由根据事件发生的可靠程度假设概率密度函数，两种方法都对概率进行了解释。” 注：不确定度B类评定中使用的概率分布具有贝叶斯推断的特点21，27。关于用Welch-Satterthwaite公式计算标准不确定度自由度的

35、边界有效性问题研究仍在持续进行22。5.1.3 测量模型确定过程一般由计量专家在相关专家的协助下完成。5.1.1条a)步骤（第4步），给出了本标准一些常见情形下PDFs确定的建议（见6.4）。在分布传播和总结阶段，即5.1.1条中b）和c）不需要更多的计量信息，并且原则上在模型确定阶段，对任何给定的数值容差范围内都适用。注：一旦5.1.1条中a）测量模型确定，输出量的PDF可以从数学上完全确定，但是通常期望值、标准差和包含区间需要用带有一定近似的数值方法确定。5.2 分布传播在本标准中，通用有效的方法确定（一种数值的近似方法）的分布函数为：它是基于使用蒙特卡罗方法（MCM）执行分布传播得到的（

36、见5.9）。注：Y的PDF的规范性定义是9：其中：是狄拉克德尔塔（Dirac delta）函数。通过解析法一般难以得到多重积分。数值积分法可以近似得到，但不是有效的方法。5.3 获取汇总信息 5.3.1 的最佳估计为其期望E（Y）。的标准不确定度由的标准偏差给出，其值等于的方差的正平方根。5.3.2 的包含区间可由确定。记为给定的包含概率。的包含区间的端点为和，即的-和-分位点。5.3.3 在概率对称的包含区间中，由和分位点确定。注：当Y的PDF基于估计值对称时，包含区间为，其中扩展不确定度GUM:1995 2.3.5 由标准不确定度以及与PDF相关联的包含因子得到，通常这里的PDF不能用解析

37、法得到。5.3.4 若的PDF不对称，一般。在这种情况下可以用包含概率为最短的包含区间。对于单峰PDF，这个区间包含了最可能的取值。如果单峰，可由得到，总的来说，可由的最小值得到。5.3.5 在对称的PDF中，概率对称的包含区间与包含概率为的最短包含区间相同，如在GUM不确定度评定方法体系中的正态分布和t分布。因此，GUM方法与其它方法比较时，可以使用任一个包含区间。5.3.6 图1给出了PDF不对称的分布函数，垂直的虚线表示概率对称的95%包含区间，水平的虚线表示相应的概率点，即0.025和0.975。类似地，实线表示最短95%包含区间的端点和在此情形下相应的概率点0.006和0.956。在

38、这两种情况下95%包含区间的长度分别为1.76单位和1.69单位。输出量Y/单位概率图1. PDF不对称的分布函数的概率对称区间和95%包含概率的最短包含区间（5.3.6），“单位”为任意单位5.4 执行分布传播5.4.1 分布传播可以由以下几种方法实现： a) 解析法，即可给出的数学形式的方法；b) 不确定度传播律，不确定度传播基于用一阶泰勒级数展开近似模型GUM:1995 5.1.2；c) 如b)，但包括了泰勒级数展开近似中有贡献的高阶项GUM:1995 5.1.2，注；d) 数值法GUM：1995 G.1.5执行分布传播，主要使用MCM（见5.9）。注1：解析法是最理想的，它不包含任何的

39、近似，但只有简单条件下适用，使用方法和案例参见8，13。这些方法在本标准中不做进一步的讨论，除了第9条款中用于比较的案例外。注2：本标准使用的MCM方法，是获取输出量离散分布的一种手段，而不是讨论仿真问题本身。在关于不确定度评定传播步骤内容中，要解决的问题是确定的，不是要被仿真的随机物理过程。5.4.2 在GUM中，除它本身的常规评定方法之外，还提出了许多不同的方法GUM: 1995 G.1.5。总的来说，本标准倡导使用基于分布传播的方法。对于线性或可线性化的模型和输入量PDFs为正态分布，这种方法得到的结果与GUM一致。然而，对于不满足GUM不确定度方法条件的情况（见5.7和5.8），本标准

40、中的方法一般可以得到所期望的而且是有效的不确定度结果。5.4.3 传播阶段要选择合适的方法。若可以确定应用GUM不确定度评定方法的条件能得到有效的结果，就用GUM不确定度评定方法。若GUM不确定度评定方法无效时，则要使用其它方法。第三种情形就是很难确定GUM不确定度评定方法是否有效。对于上述三种情形，MCM提供了一种实用（备选）的方法。对第一种情形，使用MCM有时可能会更简便，因为灵敏系数有时很难计算GUM:1995 5.1.3；对第二种情形，MCM可给出有效的结果，因为它没有进行近似和假设；对第三种情形，MCM可直接用来求结果，也可以用来验证GUM给出的结果是否有效。5.4.4 图2表示通过

41、模型传播输入量的PDFs而得到输出量的PDF，其中N=3，表示有3个独立的输入量。图2可与图3的不确定度传播律对比。在图2中，的PDF，分别为正态分布、三角分布和正态分布。输出量Y的PDF是不对称的，一般是由于模型不可线性化、输入量不对称而产生。图2. N=3个独立输入量的分布传播图示（5.4.4）5.4.5 实际上，只在简单情形下执行分布传播时无需近似。GUM是一种近似方法，MCM是另一种方法。对于少数但是很重要的问题，GUM能得到精确的评定结果。MCM得到的结果从不精确，但是对于大多数问题，MCM远比GUM有效。5.5 结果的报告5.5.1 根据分布传播，结果需报告以下典型信息：a) 输出

42、量Y的最佳估计值；b) 的标准不确定度；c) 规定的包含概率（如95%）；d) Y的包含区间（如95%包含区间）的端点值；e) 其它相关信息，比如包含区间是否是概率对称包含区间或最短的包含区间。5.5.2 与相关的y、和包含区间端点的结果必须保留一定的有效数字，有效的小数位数要和保留的小数位数相同GUM:1995 7.2.6。的值通常保留1-2位有效数字。注1：报告的数值可以通过大于有效数字的数值修约得到。注2：影响选择一位或两位有效小数位数的因素在于的有效小数数字。若末尾数字为1或2，的报告数值与修约前数值的偏差与后者有很大相关性，若主要的有效数字为9，偏差相对较小。注3：若结果要用于进一步

43、的计算，需要考虑是否应该多保留小数。 例：结果报告有两位数字，的包含区间不对称，则：y=1.024V，=0.028V，95%最短包含区间=0.983, 1.088 V对同样的结果，若保留一位有效数字，则：y=1.02V， =0.03V95%包含区间=0.98, 1.09 V。5.6 GUM不确定度评定方法5.6.1 如5.1.1所述，GUM提供了很多方面不确定度评定过程的通用导则。在分布传播和结果报告的过程中也涉及到了GUM不确定度评定的方法。GUM不确定度评定方法已得到很多组织认同并广泛使用，并把它作为测量不确定度评定的标准、指南，也编写了软件。5.6.2 GUM不确定度评定方法包括以下过程

44、：用输入量的期望和标准差来表征输入量，如同给出模型的输入量的PDF GUM:1995 4.1.6。期望值作为的最佳估计值，标准差作为的标准不确定度。这些信息通过一阶或高阶泰勒级数展开式得到的近似模型，并运用不确定度传播律获得GUM:1995 5.1.2：a) 输出量Y的估计值y；b) y的标准不确定度。估计值通过将输入量代入模型计算得到。当自由度确定时，Y的包含区间可通过Y服从正态分布或t分布得到GUM: 1995 G。注：适当时，的结果还包括的自由度GUM:1995 4.2.6，同时适当时也包括之间的协方差GUM:1995 5.2.5。5.6.3 GUM的传播及总结阶段（即5.1.1中的b）

45、和c）阶段）包括以下计算步骤：如图3所示，当N=3个独立输入量时，的不确定度传播律模型，其中估计值为，标准不确定度为。输出量Y的估计值为，标准不确定度为。a) 从各输入量的PDFs得到期望和标准偏差（标准不确定度），若之间不独立（它们具有非零的协方差的情况），用X的联合PDF代替；b) 确定的自由度（无限或有限）；c) 若和不独立，由和的联合PDF得到与和相关的协方差（相互不确定度）；d) 求模型关于输入量的一阶偏导数；e) 时，通过模型计算；f) 在上述偏导数处，计算模型的灵敏系数GUM:1995 5.1.3；g) 由、和模型的灵敏系数的合成得到GUM:1995 公式（10）和（13）；h) 用Welch-Satterthwaite公式GUM:1995 公式（G.2b）计算的有效自由度；i) 把Y当作随机变量，的分布服从标准正态分布（）或t分布（），通过形成的倍数，就可以得到扩展不确定度及给定包含概率条件下的包含区间。图3 N=3个独立的输入量的不确定度传播律图