数学（理）知识清单-专题19 排列、组合、二项式定理（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

《数学（理）知识清单-专题19 排列、组合、二项式定理（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题19 排列、组合、二项式定理（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（15页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 19排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1两个重要公式两个重要公式(1)排列数公式Amnn！(nm)！n(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且 mn)(2)组合数公式Cmnn！m！(nm)！n(n1)(n2)nm1m！(n，mN*，且 mn)2三个重要性质和定理

2、三个重要性质和定理(1)组合数性质CmnCnmn(n，mN*，且 mn)；Cmn1CmnCm1n(n，mN*，且 mn)；C0n1.(2)二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b1C2nan2b2CknankbkCnnbn，其中通项 Tr1Crnanrbr.(3)二项式系数的性质C0nCnn，C1nCn1n，CrnCnrn；C0nC1nC2nCnn2n；C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.2高频考点一高频考点一排列与组合排列与组合例 1（2018 年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用

3、数字作答)【举一反三】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种【变式探究】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）72【变式探究】用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个B120 个C96 个D72 个高频考点二高频考点二排列组合中的创新问题排列组合中的创新问题例 2用 a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝

4、球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)【变式探究】设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4

5、，5，那么集合 A 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D130高频考点三高频考点三二项展开式中项的系数二项展开式中项的系数例 3【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2)(1+x）4的展开式中 x3的系数为（）A12B16C20D24【变式探究】在6(1 2)x的展开式中，2x的系数为_.（用数字作答）3【变式探究】(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60高频考点四高频考点四二项展开式中的常数项二项展开式中的常数项例 4【2019 年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个

6、数是_【变式探究】设 i 为虚数单位，则6()xi的展开式中含 x4的项为（A）15x4（B）15x4（C）20i x4（D）20i x4【变式探究】已知xax5的展开式中含 x32的项的系数为 30，则 a()A.3B 3C6D6高频考点五高频考点五二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用例 5621(1)(1)xx展开式中2x的系数为()A15B20C30D35【变式探究】若（ax2+1x）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【变式探究】二项式(x1)n(nN)的展开式中 x2的系数为 15，则 n()A4B5C6D71【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2)(1+x）4的

7、展开式中 x3的系数为（）A12B16C20D242【2019 年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_3【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnN 已知23242aa a（1）求n的值；（2）设(13)3nab，其中*,a bN，求223ab的值1.（2018 年全国卷理数）的展开式中的系数为4A.10B.20C.40D.802.（2018 年浙江卷）二项式的展开式的常数项是_3.（2018 年天津卷）在的展开式中，的系数为_.4.（2018 年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0

8、，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)1.【2017 课标 1，理 6】621(1)(1)xx展开式中2x的系数为A15B20C30D352.【2017 课标 II，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种3.【2017 天津，理14】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）4.【2017 山东，理 11】已知13nx的展开式中含有2x项的系数

9、是54，则n.1.【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24（B）18（C）12（D）92.【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位，则6()xi的展开式中含 x4的项为（A）15x4（B）15x4（C）20i x4（D）20i x43.【2016 年高考四川理数】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）724.【2016 高考新课标 3 理数】定义“规范 01 数列”na如下：

10、na共有2m项，其中m项为 0，m项为 1，且对任意2km，12,ka aa中 0 的个数不少于 1 的个数.若4m，则不同的“规范 01 数列”共有（）5（A）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016 年高考北京理数】在6(1 2)x的展开式中，2x的系数为_.（用数字作答）6.【2016 高考新课标 1 卷】5(2)xx的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）7.【2016 高考天津理数】281()xx的展开式中 x2的系数为_.(用数字作答)8.【2016 高考

11、山东理数】若（ax2+1x）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.6专题专题 19排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1两个重要公式两个重要公式(1)排列数公式Amnn！(nm)！n(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且 mn)(2)组合数公式Cmnn！m！(nm

12、)！n(n1)(n2)nm1m！(n，mN*，且 mn)2三个重要性质和定理三个重要性质和定理(1)组合数性质CmnCnmn(n，mN*，且 mn)；Cmn1CmnCm1n(n，mN*，且 mn)；C0n1.(2)二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b1C2nan2b2CknankbkCnnbn，其中通项 Tr1Crnanrbr.(3)二项式系数的性质C0nCnn，C1nCn1n，CrnCnrn；C0nC1nC2nCnn2n；C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.7高频考点一高频考点一排列与组合排列与组合例 1（2018 年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0

13、，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1 260【解析】若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44C25C13C13A337205401 260.【举一反三】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两

14、人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成 三份：有24C种方法，然后进行全排列33A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336CA种方法。故选 D。【变式探究】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为 1 或 3 或 5，其他位置共有44A种排法，所以奇数的个数为443A72，故选 D.【变式探究】用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个B120 个C96 个D72 个【解析】由

15、题意，首位数字只能是 4，5，若万位是 5，则有 3A3472 个；若万位是 4，则有 2A34个48 个，故 40 000 大的偶数共有 7248120 个选 B.【答案】B高频考点二高频考点二排列组合中的创新问题排列组合中的创新问题例 2用 a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从85 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑

16、球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)【解析】分三步：第一步，5 个无区别的红球可能取出 0 个，1 个，5 个，则有(1aa2a3a4a5)种不同的取法；第二步，5 个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1b5)种不同取法；第三步，5 个有区别的黑球看作 5 个不同色，从 5 个不同色的黑球中任取 0 个，1 个，5 个，有(1c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1aa2a3a4

17、a5)(1b5)(1c)5，故选 A.【答案】A【变式探究】设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合 A 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D130【解析】易知|x1|x2|x3|x4|x5|1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于 1 或1，其余等于 0，于是有 C15C1210 种情况；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于 1 或都

18、等于1 或一个等于 1、另一个等于1，其余等于 0，于是有 2C25C25C1240 种情况；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于 1 或都等于1 或两个等于 1、另一个等于1 或两个等于1、另一个等于 1，其余等于 0，于是有 2C35C35C13C35C2380 种情况由于 104080130，故答案为 D.【答案】D高频考点三高频考点三二项展开式中项的系数二项展开式中项的系数例 3【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2)(1+x）4的展开式中 x3的系数为（）A12B16C20D24【答案】A【解析】由题意得 x3的系数

19、为3144C2C4812，故选 A【变式探究】在6(1 2)x的展开式中，2x的系数为_.（用数字作答）9【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)rrrrTCx可知，2x的系数为226(2)60C。【变式探究】(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60【解析】Tk1Ck5(x2x)5kyk，k2.C25(x2x)3y2的第 r1 项为 C25Cr3x2(3r)xry2，2(3r)r5，解得 r1，x5y2的系数为 C25C1330.【答案】C高频考点四高频考点四二项展开式中的常数项二项展开式中的常数项例 4【2019 年高考浙江卷理数】在二项式9(2)

20、x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_【答案】16 25【解析】由题意，9(2)x的通项为919C(2)(0,1,29)rrrrTx r，当0r 时，可得常数项为0919C(2)16 2T；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r=，有246810T,T,T,T,T共 5 个项【变式探究】设 i 为虚数单位，则6()xi的展开式中含 x4的项为（A）15x4（B）15x4（C）20i x4（D）20i x4【答案】A【解析】二项式6()xi展开的通项616rr rrTC xi，令64r，得2r，则展开式中含4x的项为24 24615C x ix，故选 A.【变式探究】已知x

21、ax5的展开式中含 x32的项的系数为 30，则 a()A.3B 3C6D6【解析】xax5的展开式通项 Tr1Cr5x5r2(1)rarxr2(1)rarCr5x52r，令52r32，则 r1，T2aC15x32，aC1530，a6，故选 D.【答案】D高频考点五高频考点五二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用10例 5621(1)(1)xx展开式中2x的系数为()A15B20C30D35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx，则6(1)x展开式中含2x的项为2226115C xx，621(1)xx展开式中含2x的项为44262115C xxx，故2x前系

22、数为15 1530，选 C.【变式探究】若（ax2+1x）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【答案】2【解析】因为51025521551()()rrrrrrrTCaxC axx，所以由510522rr，因此25 25802.C aa 【变式探究】二项式(x1)n(nN)的展开式中 x2的系数为 15，则 n()A4B5C6D7【解析】由题意易得：Cn2n15，Cn2nC2n15，即n（n1）215，解得 n6.【答案】C1【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2)(1+x）4的展开式中 x3的系数为（）A12B16C20D24【答案】A【解析】由题意得 x3的系数为3144C2

23、C4812，故选 A2【2019 年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_【答案】16 25【解析】由题意，9(2)x的通项为919C(2)(0,1,29)rrrrTx r，当0r 时，可得常数项为0919C(2)16 2T；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r=，有246810T,T,T,T,T共 5 个项113【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnN 已知23242aa a（1）求n的值；（2）设(13)3nab，其中*,a bN，求223ab的值【答案】（1）5n；（2）32【解析】（1

24、）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxn，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnn nn nnaa，44(1)(2)(3)C24nn nnna因为23242aa a，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n nnn nn nnn，解得5n（2）由（1）知，5n 5(13)(13)n0122334455555555CC3C(3)C(3)C(3)C(3)3ab解法一：因为*,a bN，所以024135555555C3C9C76,C3C9C44ab，从而22223763 4432ab 解法二：50122334455555555(13)CC(3)C(3)C(3)C(3

25、)C(3)0122334455555555CCC(3)C(3)C(3)(3C3)因为*,a bN，所以5(13)3ab因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32ababab 1.（2018 年全国卷理数）的展开式中的系数为A.10B.20C.40D.8012【答案】C【解析】由题可得令,则，所以，故选 C.2.（2018 年浙江卷）二项式的展开式的常数项是_【答案】7【解析】二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.（2018 年天津卷）在的展开式中，的系数为_.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.4.（2018 年浙江卷）从 1，3，

26、5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.1.【2017 课标 1，理 6】621(1)(1)xx展开式中2x的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx，则6(1)x展开式中含2x的项为2226115C xx，621(1)xx展开式中含2x的项为44262115C xxx，故2x前系数为15 1530，选 C.2.【2017 课标 II，理 6】安排 3 名

27、志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）13A12 种B18 种C24 种D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成 三份：有24C种方法，然后进行全排列33A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336CA种方法。故选 D。3.【2017 天津，理14】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080AC C A4.【2017 山东，理 1

28、1】已知13nx的展开式中含有2x项的系数是54，则n.【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式1C3C3rrrrrrnnxx，令2r 得：22C354n，解得4n 1.【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24（B）18（C）12（D）9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短路径的条数为 6，再从 F 处到 G 处最短路径的条数为 3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318，故选 B.2.【2016 年高考四川理

29、数】设 i 为虚数单位，则6()xi的展开式中含 x4的项为（A）15x4（B）15x4（C）20i x4（D）20i x4【答案】A【解析】二项式6()xi展开的通项616rr rrTC xi，令64r，得2r，则展开式中含4x的项为24 24615C x ix，故选 A.143.【2016 年高考四川理数】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为 1 或 3 或 5，其他位置共有44A种排法，所以奇数的个数为443A72，故选 D.4.【2016 高考

30、新课标 3 理数】定义“规范 01 数列”na如下：na共有2m项，其中m项为 0，m项为 1，且对任意2km，12,ka aa中 0 的个数不少于 1 的个数.若4m，则不同的“规范 01 数列”共有（）（A）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个【答案】C【解析】由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016 年高考北京理数】在6(1 2)x的展开式中，2x的系数为_.（用数字作答）【答案】60.15【解析】根据二项展开的通项公式16(2)rrrrTCx可知，

31、2x的系数为226(2)60C。6.【2016 高考新课标 1 卷】5(2)xx的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：5(2)xx的展开式的通项为555255C(2)()2Crrrrrrxxx(0r，1，2，5)，令532r得4r，所以3x的系数是452C10.7.【2016 高考天津理数】281()xx的展开式中 x2的系数为_.(用数字作答)【答案】56【解析】展开式通项为2 816 31881()()(1)rrrrrrrTCxC xx，令1637r，3r，所以7x的338(1)56C 故答案为568.【2016 高考山东理数】若（ax2+1x）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【答案】2【解析】因为51025521551()()rrrrrrrTCaxC axx，所以由510522rr，因此25 25802.C aa