2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷).pdf

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1、2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)2019 年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）文科数学文科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项

2、中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）设 zA2，则|z|（）BCD12（5 分）已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 BUA（）A1，6B1，7C6，7D1，6，73（5 分）已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca4（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，若某人满足上述两最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖

3、子下端的长度为 26cm，则其身高可能是（）A165cmB175cmC185cmD190cm第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)5（5 分）函数 f（x）在，的图象大致为（）ABCD6（5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（）A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生7（5 分）tan255（）A2B2+C2D2+8（5 分）已知非零向量，满足|2|，且（

4、），则 与 的夹角为（）ABCD9（5 分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)AABA2+CADA1+10（5 分）双曲线 C：的离心率为（）A2sin401（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为 130，则 CB2cos40CD11（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 asinAbsinB4csinC，cosA，则（）A6B5C4D312（5 分）已知椭圆C 的焦点为 F1（1，0），F2（1，0），过F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2

5、B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为（）AC+y21+1BD+11二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13（5 分）曲线 y3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为14（5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11，S3，则 S415（5 分）函数 f（x）sin（2x+）3cosx 的最小值为16（5 分）已知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为，那么 P 到平面 ABC 的距离为第 1 1 页（共 1 1 页）三、三、解答题：解答题：共共

6、 7070 分。分。解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。第第 17211721 题为必考题，题为必考题，2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共6060 分。分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：男顾客女顾客满意4030不满意1020（1）分别估计男、

7、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2P（K2k）k0.0503.8410.0106.6350.00110.82818（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S9a5（1）若 a34，求an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围19（12 分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20（12 分）已知函数 f（x）2sinxxc

8、osxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21（12 分）已知点A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x+20相切（1）若 A 在直线 x+y0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

9、题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos+sin+110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明：（1）+a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324第

10、1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)20192019 年全国统一高考数学答案解析（文科）年全国统一高考数学答案解析（文科）（全国（全国 1 1 卷）卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1【分析】【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解【解答】【解答】解：由 z故选：C【点评】【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题2【分析】【分析】

11、先求出UA，然后再求 BUA 即可求解【解答】【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，UA1，6，7，则 BUA6，7故选：C【点评】【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题3【分析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.20，20.21，00.20.31，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】【解答】解：alog20.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故选：B【点评】【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题4【分析】【分析】充分

12、运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高【解答】【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是可得咽喉至肚脐的长度小于42cm，第 1 1 页（共 1 1 页），得|z|0.618，2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可得肚脐至足底的长度小于110，即有该人的身高小于 110+68178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于1050.61865cm，即该人的身高大于 65+105170cm，故选：B【点评】【点评】本题考

13、查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题5【分析】【分析】由 f（x）的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（），判断正负即可排除 B，C【解答】【解答】解：f（x）f（x），x，f（x），f（x）为，上的奇函数，因此排除A；又 f（），因此排除 B，C；故选：D【点评】【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题6【分析】【分析】根据系统抽样的特征，从 1000 名学生从中抽取一个容量为100 的样本，抽样的分段间隔为 10，结合从第 4 组抽取的号码为 46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码【解答】【解答】解：从 1000 名学生从中

14、抽取一个容量为100 的样本，系统抽样的分段间隔为46 号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加 10，所有号码数是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列，设其数列为an，则 an6+10（n1）10n4，当 n62 时，a62616，即在第 62 组抽到 616故选：C【点评】【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔7【分析】【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解第 1 1 页（共 1 1 页）10，2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)【解答】【解答】解：tan255ta

15、n（180+75）tan75tan（45+30）故选：D【点评】【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题8【分析】【分析】由（），可得然后求出夹角即可【解答】【解答】解：（），进一步得到，故选：B，【点评】【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题9【分析】【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解【解答】【解答】解：模拟程序的运行，可得：A，k1；满足条件 k2，执行循环体，A，k2；满足条件 k2，执行循环体，A，k3；第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1

16、卷)此时，不满足条件 k2，退出循环，输出 A 的值为，观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入A故选：A【点评】【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10【分析】【分析】由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得C 的离心率【解答】【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的渐近线方程为 y，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130，得则，得e故选：D，【点评】【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题11【分析】【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果【解答】【解答】解：ABC 的内角

17、A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asinAbsinB4csinC，cosA，解得 3c26故选：A，第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)【点评】【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12【分析】【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a【解答】【解答】解：|AF2|2|BF2|，|AB|3|BF2|，又|AB|BF1|，|BF1|3|BF2|，又|BF1|+|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|a，在 RtAF2O 中，cosAF2O，b，可得椭圆的方程在

18、BF1F2中，由余弦定理可得 cosBF2F1，根据 cosAF2O+cosBF2F10，可得+b2a2c2312所以椭圆 C 的方程为：故选：B【点评】【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题+10，解得 a23，a二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13【分析】【分析】对 y3（x2+x）ex求导，可将 x0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程【解答】【解答】解：y3（x2+x）ex，y3ex（x2+3x+1），当 x0 时，y3，y3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率 k3，切线方程为：y3x故答案为：

19、y3x【点评】【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题14【分析】【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)【解答】【解答】解：等比数列an的前 n 项和，a11，S3，q1，整理可得，解可得，q，则 S4故答案为：【点评】【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15【分析】【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可

20、去求解最小值【解答】【解答】解：f（x）sin（2x+）3cosx，cos2x3cosx2cos2x3cosx+1，令 tcosx，则1t1，f（t）2t23t+1 的开口向下，对称轴 t故当 t1 即 cosx1 时，函数有最小值4故答案为：4【点评】【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题16【分析】【分析】过点 P 作 PDAC，交 AC 于 D，作 PEBC，交 BC 于 E，过 P 作 PO平面ABC，交平面 ABC 于 O，连结 OD，OC，则 PDPE1，由此能求出 P 到平面 ABC

21、的距离【解答】【解答】解：ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为，从而 CDCEODOE，在1，1上先增后减，过点 P 作 PDAC，交 AC 于 D，作 PEBC，交 BC 于 E，过 P 作 PO平面 ABC，交平面 ABC 于 O，连结 OD，OC，则 PDPE，第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)CDCEODOEPO1，P 到平面 ABC 的距离为故答案为：【点评】【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计

22、算能力，属于中档题三、三、解答题：解答题：共共 7070 分。分。解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。第第 17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共6060 分。分。17【分析】【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K2较即可判断【解答】【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P女顾客对该商场服务满意的概率P（2）由题意可知，K2

23、；4.7623.841，然后把所求数据与 3.841 进行比故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点评】【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题18【分析】【分析】（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为 d，由 S9a5，即可得 S9第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)9a5a5，变形可得 a50，结合 a34，计算可得 d 的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若 Snan，则 na1+da1+（n1）d，分 n1 与 n2 两种情况讨论，求出 n 的

24、取值范围，综合即可得答案【解答】【解答】解：（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为 d，若 S9a5，则 S9若 a34，则 d2，9a5a5，变形可得 a50，即 a1+4d0，则 ana3+（n3）d2n+10，（2）若 Snan，则 na1+当 n1 时，不等式成立，当 n2 时，有da1，变形可得（n2）d2a1，9a5a5，则有 a50，即a1+4d0，则有（nda1+（n1）d，又由 S9a5，即 S92）2a1，又由 a10，则有 n10，则有 2n10，综合可得：n 的取值范围是n|1n10，n N N【点评】【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式，涉

25、及数列与不等式的综合应用，属于基础题19【分析】【分析】法一：（1）连结 B1C，ME，推导出四边形 MNDE 是平行四边形，从而 MNED，由此能证明MN平面 C1DE（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，推导出 DEBC，DEC1C，从而 DE平面 C1CE，DECH，进而 CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离，由此能求出点 C 到平面 C1DE 的距离法二：（1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 MN平面 C1DE（2）求出（1，0），平面 C1DE 的法向量（4，0，1）

26、，利用向量法能求第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)出点 C 到平面 C1DE 的距离【解答】【解答】解法一：证明：（1）连结 B1C，ME，M，E 分别是 BB1，BC 的中点，MEB1C，又 N 为 A1D 的中点，NDA1D，由题设知 A1B1DC，B1CA1D，MEND，四边形 MNDE 是平行四边形，MNED，又 MN平面 C1DE，MN平面 C1DE解：（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，由已知可得 DEBC，DEC1C，DE平面 C1CE，故 DECH，CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面

27、C1DE 的距离，由已知可得 CE1，CC14，C1E，故 CH，点 C 到平面 C1DE 的距离为解法二：证明：（1）直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点DD1平面 ABCD，DEAD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，M（1，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，0），（1，），0），C1（1，），4），（0，（0，设平面 C1DE 的法向量（x，y，z），则，取 z1，得（4，0，1），0，MN平面 C1DE，第 1 1 页（共 1

28、 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)MN平面 C1DE解：（2）C（1，0），（1，0），平面 C1DE 的法向量（4，0，1），点 C 到平面 C1DE 的距离：d【点评】【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题20【分析】【分析】（1）令 g（x）f（x），对 g（x）再求导，研究其在（0，）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；（2）利用（1）的结论，可设 f（x）的零点为 x0，并结合 f（x）的正负分析得到 f（x）的情况，作出图示，得出结

29、论第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)【解答】【解答】解：（1）证明：f（x）2sinxxcosxx，f（x）2cosxcosx+xsinx1cosx+xsinx1，令 g（x）cosx+xsinx1，则 g（x）sinx+sinx+xcosxxcosx，当 x（0，当 x当 x）时，xcosx0，时，xcosx0，时，极大值为 g（）0，又 g（0）0，g（）2，g（x）在（0，）上有唯一零点，即 f（x）在（0，）上有唯一零点；（2）由（1）知，f（x）在（0，）上有唯一零点 x0，使得 f（x0）0，且 f（x）在（0，x0

30、）为正，在（x0，）为负，f（x）在0，x0递增，在x0，递减，结合 f（0）0，f（）0，可知 f（x）在0，上非负，令 h（x）ax，作出图示，f（x）h（x），a0，a 的取值范围是（，0第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)【点评】【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大21【分析】【分析】（1）由条件知点 M 在线段 AB 的中垂线 xy0 上，设圆的方程为M 的方程为（xa）2+（ya）2R2（R0），然后根据圆与直线 x+20 相切和圆心到直线 x+y0 的距离，半弦长和半

31、径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为 y24x，然后根据抛物线的定义即可得到定点【解答】【解答】解：M 过点 A，B 且 A 在直线 x+y0 上，点 M 在线段 AB 的中垂线 xy0 上，设M 的方程为：（xa）2+（ya）2R2（R0），则圆心 M（a，a）到直线 x+y0 的距离 d又|AB|4，在 RtOMB 中，d2+（|AB|）2R2，即，又M 与 x2 相切，|a+2|R由解得或，M 的半径为 2 或 6；（2）线段 AB 为M 的一条弦 O 是弦 AB 的中点，圆心 M 在线段 AB 的中垂线上，设点 M 的坐标为（x，

32、y），则|OM|2+|OA|2|MA|2，M 与直线 x+20 相切，|MA|x+2|，|x+2|2|OM|2+|OA|2x2+y2+4，第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)y24x，M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点 x1 为准线的抛物线，|MA|MP|x+2|MP|x+1|MP|+1|MF|MP|+1，当|MA|MP|为定值时，则点 P 与点 F 重合，即 P 的坐标为（1，0），存在定点 P（1，0）使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值【点评】【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程

33、的求法，属难题（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22【分析】【分析】（1）把曲线 C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把 xcos，ysin代入 2cos+sin+110，可得直线 l 的直角坐标方程；（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；法二、写出与直线 l 平行的直线方程为，与曲线 C 联立

34、，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式大于 0 求得 m，转化为两平行线间的距离求 C 上的点到 l 距离的最小值【解答】【解答】解：（1）由（t 为参数），得，两式平方相加，得C 的直角坐标方程为由 2cos+（x1），（x1），；sin+110，得即直线 l 的直角坐标方程为得（2）法一、设 C 上的点 P（cos，2sin）（），则 P 到直线得d的距离为：当 sin（+）1 时，d 有最小值为第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)法二、设与直线联立平行的直线方程为，得 16x2+4mx+m2120，由16m264（m21

35、2）0，得 m4当 m4 时，直线为与曲线 C 的切点到直线的距离最小，【点评】【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23【分析】【分析】（1）利用基本不等式和 1 的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证【解答】【解答】证明：（1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1要证（1）+a2+b2+c2；因为 abc1就要证：+a2+b2+c2；即证：bc+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+

36、2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（bc）20；a，b，c 为正数，且满足 abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20 恒成立；当且仅当：abc1 时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20 得证故+a2+b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324 成立；即：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1 时取等号；a，b，c 为正数，且满足 abc1（a+b）2；（b+c）2；（c+a）2；第 1 1 页（共 1 1 页）2019 年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国 1 卷)当且仅当 ab，bc；ca 时取等号；即：abc1 时取等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）3824；当且仅当 abc1 时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证故得证【点评】【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法24abc第 1 1 页（共 1 1 页）