2004考研数一真题答案及详细解析.pdf

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1、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】y =x 1【详解】方法方法 1 1：因为直线x +y =1的斜率k1=1，所以与其垂直的直线的斜率k2满足k1k2 1，所以k2 1，即k21，曲 线y ln x上 与 直 线x y 1垂 直 的 切 线 方 程 的 斜 率 为 1，即y (ln x)11，得x 1，把x 1代入y ln x，得切点坐标为(1,0)，根据点斜x式公式得所求切线方程为：y 0 1(x 1)，即y x 1方法方法 2 2：本题也可先设切点为(x0,ln x0)，曲线y ln x过此切点的导数为yxx011，x0所以切点为(x0,

2、ln x0)1,0，由此可知所求切线方程为y 0 1(x 1)，得x01，即y x 1.(2)【答案答案】1(lnx)22【详解】先求出f(x)的表达式，再积分即可.方法方法 1 1：令e t，则x lnt，e1lntln x，于是有f(t).，即f(x)ttx1lnxdx ln xdln x(ln x)2C.两边积分得f(x)x212利用初始条件f(1)0,代入上式：f(1)(ln1)C C 0，即C 0，故所21(lnx)2.求函数为f(x)=2xxx方法方法 2 2：由x lne，所以f(e)xexx lne exxln xlnex.下同.x，所以f(x)xe(3)【答案】32【详解】利

3、用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，用参数式可表示为x 2cos,y 2 sin,:0 2.于是Lxdy2ydx 202cos d2sin2 2sind2cos2 2cos2cos2 2sin2sind02cos4sind22cos2sin22sin2d2022020222sind22d22sind 220020021cos2d123120cos2d2sin20202223133sinsin00 2222c1c2xx2t(4)【答案】y 作变量代换x e化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】欧拉方程的求解有固定方法，令x e，

4、有t lnx,tdt1dydy dt1 dy，则，dxxdxdt dxx dtd2yd1 dy1 dy1 ddyd uvvduudv dx2dxx dtx2dtx dxdt1 dy1 ddydt1 dy1 d2y1 d2ydy 2 22222xdtx dtdtdxxdtxdtxdtdt1 d2ydy 1 dy4x2y 0，整理得代入原方程：x 22xdtdtx dt2d2ydy3 2y 0，dtdt22此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为r 3r 2 0，所以特征根为：d2ydyr1 1,r2 2，r1 r2，所以23 2y 0的通解为dtdty c1er1tc2er2t c1etc2

5、e2t又因为x e，所以e11,e2t2，代入上式得xxccy c1etc2e2t12.2xxtt(5)【答案】【详解】19*方法方法 1 1：已知等式两边同时右乘A，得ABA A 2BA*A A，由伴随矩阵的运算规律：A A AA*A E，有AB A 2B A A，而*21021A 120(1)33 2211 3，12001于是有3AB 6B A，移项、合并有(3A6E)B A，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(3A6E)B 3A6E B A 3，2101006306000303A6E 31206010360060 30000100100300

6、6003(1)33(3)03(3)33 27，30而故所求行列式为BA313A6E279*方法方法 2 2：由题设条件ABA 2BA*E，得ABA 2BA*(A2E)BA E矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行由方阵乘积行的列式的性质：*列式，有(A2E)BA A2E B A E 1*210213其中A 120(1)3 2211 3；12001由伴随矩阵行列式的公式：若A是n阶矩阵，则A An1.0100312121A2E100所以，A A=9；又=1.A(1)01001故B 11.9A2E A(6)【答案】1e【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再

7、去推算.指数分布的概率密度为x1e,若x 0，其方差DX 2.f(x)若x 00于是，由一维概率计算公式，Pa X bbafX(x)dx，有11PX DX=PX 1exdx=ex1e二、选择题二、选择题(7)【答案】(B)【详解】方法方法 1 1：lim limx0 x00 x2xtantdtcost2dt洛必达 limx0tan x2x 0，则是的高阶无穷小，2cosx0根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又lim limx0 x0 x0 x2sint dt3sin x 洛必达 limx03210tantdt2 x2xtan x等价无穷小替换x1，lim4

8、x0 x2可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).方法方法 2 2：用x(当x 0时)去比较.kx0limxk limx0 x0cost2dtxk洛cosx2,limk1x0kx欲使上式极限存在但不为 0，应取k 1，有limx0 x limx0cost0 x2x0lim costx02lim x01，所以(当x 0时)与x同阶.x2xtan x2x2limlim1kk1k3x0 xx0 x0 x0kxx0kxxkkxk2tan x2tan x2，limlim欲使上式极限存在但不为 0，应取k 3,有lim332x0 xx03xx03x3lim0 limx2tantdt洛lim所以(当x 0时)

9、与x同阶.3x xxlim,kk1k1x0 xx0 x0 x02kxx02kxxk1x欲使上式极限存在但不为 0，应取k 2,有lim2 lim，21x0 xx022x4lim lim0 xsint3dt洛 limsin x x2kxk13212 lim3212所以(当x 0时)与x同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是2,，选(B).(8)【答案】(C)【详解】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知f(0)limx0f(x)f(0)0 xf(x)f(0)0.x根据极限的保号性，知存在 0，当x(,0)(0,)时，有即当x(,

10、0)时，x 0，有f(x)f(0)；而当x(0,)时，x 0有f(x)f(0).(9)【答案】(B)【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法方法 1 1：排除法.取an1，则limnan=0，nnln n11 当p1收敛，11又，所以发散，排除 A，D；a npnlnn11n1 ln n 1当p1 发散，n1n1n1p 111 收敛，当又取an，因为p级数p，则级数an收p1n nn1n1n nn1n发散，当1敛，但limn an limn2nn21n n limn ，排除(C),故应选(B).n方法方法 2 2：证明(B)正确.1anlimnan 0

11、,即lim.因为发散，nn1n1nn由比较判别法的极限形式知，an1n也发散，故应选(B).(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:b(x)a(x)f(t)dt fb(x)b(x)fa(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.方法方法 1 1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t，其他地方不出现t由由F(t)dy1t1tty1 x ty x tf(x)dx知：，交换积分次序，得11 y x y ttF(t)dyf(x)dx=f(x)dydx f(x)(x 1)dxytx

12、t111于是，F(t)f(t)(t 1)，从而有F(2)f(2)，故应选(B).方法方法 2 2：设(x)f(x)，于是F(t)dyf(x)dx dy(x)dx dyd(x)1y1y1ytttttt(t)(y)dy (t)(t 1)(y)dy11tt所以所以F(t)(t)(t 1)(t)(t)f(t)(t 1),F(2)f(2)，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将A的第 1 列与第 2 列交换，即010 B，AE12 A100001将B的第 2 列加到第 3 列，即100010100011 A100011 A100 AQ.B011001001001001011故Q 100，应选

13、(D).001(12)【答案】(A)【详解】方法方法 1 1：由矩阵秩的重要公式：若A为mn矩阵，B为n p矩阵，如果AB 0，则r(A)r(B)n设A为mn矩阵，B为ns矩阵，由AB 0知，r(A)r(B)n，其中n是矩阵A的列数，也是B的行数因A为非零矩阵，故r(A)1，因r(A)r(B)n，从而r(B)n1 n，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B的行向量组线性相关.因B为非零矩阵，故r(B)1，因r(A)r(B)n，从而r(A)n1 n，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A的列向量组线性相关.故应选(A).方法方法 2 2：设A为mn矩阵

14、，B为ns矩阵，将B按列分块，由AB 0得，AB A1,2,s 0,Ai 0,i 1,2,s.因B是非零矩阵，故存在i 0，使得Ai 0.即齐次线性方程组Ax 0有非零解.由齐次线性方程组Ax 0有非零解的充要条件r(A)n,知r(A)n.所以A的列向量组线性相关.又(AB)T BTAT 0，将A按列分块，得TTTBTAT BT1,2,m 0,BTiT 0,i 1,2,m.T因A是非零矩阵，故存在i 0，使得BTTiT 0，即齐次线性方程组Bx 0有T非零解.由齐次线性方程组Bx 0有非零解的充要条件，知B的列向量组线性相关，由B是由B行列互换得到的，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).方

15、法方法 3 3：设A (aij)mn,B (bij)ns,将A按列分块，记AA1TA2An由AB 0A1A2b11b12bbAn2122 bn1bn2b1sb2s bns(1)b11A1bn1An,b1sA1bnsAn 0由 于B 0,所 以 至 少 有 一 个bij 0(1 i n,1 j s),又 由(1)知,b1jA1b2 jA2bijAibnjAn 0,所以A1,A2,Am线性相关.即A的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m个向量1,2,mR，有m个不全为零的数k1,k2,kmR，使k11k22kmm 0成立，则称1,2,m线性相关.)n又将B按行分块，记B1BB 2,同

16、样，Bna1nB1a11B1a12B2a1nBn a2nB2a21B1a22B2a2nBn 0 a B a B a B amnBnmnnm11m22a11a12a21a22AB 0 am1am2由于A 0,则至少存在一个aij 0(1 i m,1 j n),使ai1B1ai2B2aijBjainBn 0,由向量组线性相关的定义知，B1,B2,Bm线性相关,即B的行向量组线性相关，故应选(A).方法方法 4 4：用排除法.取满足题设条件的A,B.000010010 0，有AB 10010 0,B 0,取A 1001000101A的行向量组，列向量组均线性相关，但B的列向量组线性无关，故(B)，(

17、D)不成立.111101001000 0 0B 0,AB00又取A，有，0010010000A的行向量组线性无关，B的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x 0有PX x PX x1PX x.或直接利用图形求解.2方法方法 1 1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，PX u，于是11 PX x PX x PX x PX x 2PX x即有方法方法 2 2：PX x1，可见根据分位点的定义有x u1，故应选(C).22yf(x)PX uf(x)yPX x12O图 1xO图 2x如图 1 所示题设条件.图

18、 2 显示中间阴影部分面积，PX x.两端各余面积1，所以PX u1，答案应选(C).22(14)【答案】A.【详解】由于随机变量X1,X2,Xn(n 1)独立同分布，所以必有：2,i jCov(Xi,Xj)0,i j又nnn22DaiXiaiD(Xi)ai2i1i1i1下面求Cov(X1,Y)和D(X1Y).1n而Y Xi,故本题的关键是将Y中的X1分离出来，再用独立性来计算.ni1对于选项(A)：1n11n11Cov(X1,Y)Cov(X1,Xi)Cov(X1,X1)Cov(X1,Xi)DX12ni1nni2nn所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看本题(C),

19、(D)选项.因为X与Y独立时，有D(X Y)DX DY.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：1n11(1n)2n122D(X1Y)D(X1X2Xn)2nnnnnn23n2n 32=，nn211(n 1)22n 12n 12D(X1Y)D(X1X2Xn)2nnnnnn2 2n2n 22=.nn2所以本题选(A)三、解答题三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.22方法方法 1 1：因为函数fx ln x在a,b e,e上连续，且在a,b内可导，所以满足拉2格朗日中值定理的条件，对函数fx ln x在a,b上应用拉格朗日中值定理，

20、得22lnln2bln2a ln2baba,e a b e2下证：2ln4.2e设(t)lnt1lnt1lnt 1lne 0，则(t)，当t e时，即(t)0,2tt2所以(t)单调减少，又因为 e，所以()(e)，即2lnlne222ln422，得2eee2故ln b ln a 24(b a).2e2方法方法 2 2：利用单调性，设(x)ln x4x，证(x)在区间e,e2内严格单调增即可.2e2lnx41 lnxeln4442,(x)22，(e)22222 0，)(x)22xexeeee1ln x 1lne 0，从而当e x e时，当x e时，(x)0,故(x)单调减少，2(x)(e2)0

21、，即当e x e2时，(x)单调增加.因此当e x e时，(b)(a)，即ln b故22442bln aa，e2e24(b a).2elnx41ln x4222，(x)2方法方法 3 3：设(x)ln x ln a 2(x a),则(x)2,2xexeln2b ln2a x e时,1ln x 1lne 0，得(x)0，(x)在(e,e2)上单调减少,从而当e x e2时,(x)(e2)442 0，2ee(x)在(e,e2)上单调增加.从而当e a x b e2时,(x)(a)0.(b)0，即ln2bln2a 4(ba).e2(16)【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方

22、程即可.方法方法 1 1：由题设，飞机质量m 9000kg，着陆时的水平速度v0 700km/h.从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)，则v(0)v0,x(0)0.dvdvdv dxdv kv.又 v.dtdtdxdtdxmmdx dv，积分得x(t)v C.由以上两式得kkmm由于v(0)v0,x(0)0，所以x(0)v0C 0.故得C v0，kkmx(t)(v0v(t).从而k根据牛顿第二定律，得m当v(t)0时，x(t)mv090007001.05(km).6k6.010所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.方法方法 2 2：根据牛顿第二定律，得m

23、分离变量：dv kv,dtdvkk dt，两端积分得：lnv t C1，vmm，代入初始条件v通解：v Cektmt0 v0，解得C v0，故v(t)v0ektm.飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到v 0，对应地t .于是由dx vdt，有x v(t)dt v0e00ktmdt mv0ekktm0mv01.05(km).kkktttkv0mtdxmm()(e1)，故最长距离为或由vt，知x tv edt v0e00mdtk当t 时，x(t)kv01.05(km).mdvdxd2xdx方法方法 3 3：由m，化为x对t的求导，得m2 k,变形为 kv，v dtdtdtdtd2xk dx 0，v(

24、0)x(0)v0,x(0)0dt2m dttkk其特征方程为 0，解之得1 0,2，故x C1C2em.mm2ktkC2mdx edtt0mk由x0 0,vtt0 v0，得C1 C2t0mv0,kktmv0mv01.05(km).于是x(t)(1em).当t 时，x(t)kk所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法方法 1 1：加、减曲面片高斯公式.取1为xoy平面上被圆x y 1所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则22I 12x dydz 2y dzdx 3(z3321)dxdy2x3dydz2

25、y3dzdx3(z21)dxdy I1 I21由高斯公式：设空间闭区域是由分段光滑的闭曲面所围成，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在上具有一阶连续偏导数，则有 PQR y PdydzQdzdxRdxddvxyz这里P 2x,Q 2y3,R 3(z21)，所以3PR2Q 6x,6y2,6z2，xyzI16(x2 y2 z)dvx r cos利用柱面坐标：y rsin,0 r 1,0 2,dv rdrddz，有：z zI16(x y z)dxdydz=6ddr22211r2000(z r2)rdz1 z12rr2z02021r2dr 12r0111r222r31r2dr231rr4r6

26、111212 246346 0记D为1在xoy平面上的投影域D 又1为z 0(x y21)的下侧，从而：2x,yx2 y21，则z 0，dz 0，I22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy301dxdy3dxdy31DD(其中1为半径为 1 圆的面积，所以dxdy1dxdy)DD故I I1 I2 23.方法方法 2 2：用转换投影法：若z zx,y，z对x,y具有一阶连续偏导数，则dzdx zzdxdy,dydz dxdy.xyzz 2x,2y，由转换投影公式xy曲面1:z 1 x2 y2,(x2 y21),I 2x dydz2y3dzdx3(z21)dxdy32x3(zz)2y3(

27、)3(z21)dxdyxy4x44y43(1 x2 y2)23dxdyD利用极坐标变换：21x r cosy rsin,0 r 1,0 2,dxdy rdrd，所以I d4r4cos44r4sin43(1r2)23rdr00d4r5cos44r5sin43(r52r3)dr00214413(cos4sin4)d0662224cos2sin222cos2sin2d2d006242212cossind2064212dcos2sin22d260304121cos4d2360121422cos4d sin40602433 0 2或24204443 144(cossin)d直接利用公式2cosd2sin

28、4d 及00664 2 24000cosd 42cosd 42sin4dsin4d024444 3 14(cossin)d2 40666 4 2 2所以，原式2 则2(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fa fb 0，那么在开区间a,b内至少存在一点，使f 0；单调性：设函数fx在闭区间a,b上连续，在a,b内可导，如果在a,b内f x 0，那么函数fx在a,b上单调增加；比较审敛法：设un1n和vn1n都是正项级数，且un vn，若级数nvn1n收敛，则级数un1n收敛.【证 明】记fn(

29、x)x nx1，则fn(x)是 连 续 函 数，由fn(0)1 0，fn(1)n 0，对照连续函数的零点定理知，方程xn nx 1 0存在正实数根xn(0,1).当x 0时，fn(x)nxn1 n 0，可 见fn(x)在0,)上 单 调 增 加,故 方 程xn nx 1 0存在惟一正实数根xn.n1 xn1由x nx 1 0与xn 0知0 xn，故当1时，函数y x单调nnn11增，所以0 xn().而正项级数收敛，所以当1时，级数xn收敛.nn1nn1(19)【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数z f(x,y)在点x0,y0的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)0,

30、fy(x0,y0)0，令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C，则z f(x,y)在x0,y0处是否取得极值的条件如下：2(1)AC B 0时具有极值，且当A 0时有极大值，当A 0时有极小值；2(2)AC B 0时没有极值；2(3)AC B 0时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为x 6xy10y 2

31、yz z 18 0，所以两边对x求导：2x 6y 2y222zz 2z 0，xxzz 2z 0.yy两边对y求导：6x 20y 2z 2yz 0 x 3y,x3y 0 x根据极值点存在的充分条件，令，得，故z y.3x10y z 0z 0yx 9,x 9,222将上式代入x 6xy10y 2yz z 18 0，可得y 3,或y 3,z 3z 3.对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再分别对x,y求偏导数，分别对x,y求偏导数2zz22z式对x求导：2 2y2 2()2z2 0，xxxz2zz z2z式对x求导：6 2 2y 2 2z 0,xxyy xxyz2zz z2z式对y求导

32、：6 2 2y 2 2z 0,xxyy xxyzz2zz22z 2 2y2 2()2z2 0，式对y求导：20 2yyyyyx 9,将y 3,z 32zC 2yz 0,2zx代入，于是A z2x 0y2z1，B(9,3,3)6xy(9,3,3)1，2(9,3,3)5112 0，又A 0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小，故AC B 3366值点，极小值为z(9,3)3.x 9,z 0,2zx类似地，将y 3,代入，于是A zx2z 3.0y2zB xy又A (9,3,3)1，612z，C 2(9,3,3)2y152AC B 0，可知(9,3,3)3631 0，从而点(-9,-3)是z(x,

33、y)的极大值点，极大值为z(9,3)3.6(20)【详解】方法方法 1 1：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有1111a21行(i)i行2a22A i 2,n)(nnnna对|B|是否为零进行讨论：1a1112aa00 B na00a当a 0时，r(A)1 n，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是mn矩阵，齐次方程组Ax 0有非零解的充要条件是r(A)n.故此方程组有非零解，把a 0代入原方程组，得其同解方程组为x1 x2 xn 0,()此时，r(A)1，故方程组有nr n1个自由未知量.选x2,x3,xn为自由未知量，将他们的n1组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入

34、()式，得基础解系1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为x k11 kn1n1,其中k1,kn1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换，有n(n1)1a111a00022100i(1)1行2100，B (i 2,3n)n001n001n(n 1)时，r(A)n 1 n，由齐次方程组有非零解的判别定理,知方程2n(n 1)组也有非零解，把a 代入原方程组，其同解方程组为2 2x1 x2 0,3x x 0,13 nx1 xn 0,可知a 此时，r(A)n1，故方程组有nr n(n1)1个自由未知量.选x2为自由未量，取x21，由此得基础解

35、系为(1,2,n)，于是方程组的通解为x k，T其中k为任意常数.方法方法 2 2：计算方程组的系数行列式：111a1a022a22矩阵加法A nnn na000 0 12a0 0 00 a n11 122 2 nn n11112222 aE Q，aE+nnnn下面求矩阵Q的特征值：1EQ 2n111 122 21行(-i)i行 2(i 2,3,n)nn nn011 100 0i列(i)1列(i 2,3,n)n(n 1)11 12n(n1)00n102000则Q的特征值0,0,n(n 1)，由性质：若Ax x，则(kA)x(k)x,Amx mx，2因此对任意多项式f(x)，f(A)x f()x

36、，即f()是f(A)的特征值.故，A的特征值为a,a,an(n1),由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得2A行列式A (a n(n 1)n1)a.2n(n 1)时，方程组有非2由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是n阶矩阵，齐次方程组Ax 0有非零解的充要条件是A 0.可知，当A 0，即a 0或a 零解.当a 0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1111111122221行0000i)i（行，.A (i 2,n)nnnn00000故方程组的同解方程组为x1 x2 xn 0,此时，r(A)1，故方程组有nr n1个自由未知量.选x2,x3,xn为自由未知量，将他们的n1组值(1,0,0),(0,1

37、,0),(0,0,1)分别代入()式，由此得基础解系为1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为x k11 kn1n1,其中k1,kn1为任意常数.当a n(n 1)时，2n(n1)1a111000a22100(i1)1 行2100B，(i 2,3n)n00100n1即12 00003x x 0,210013，其同解方程组为 n001 nx1 xn 0,2x x 0,r(A)n1，此时，故方程组有nr n(n1)1个自由未知量.选x2为自由未量，取x21，由此得基础解系为(1,2,n)，于是方程组的通解为x k，其中k为任意常数.(21)【详解

38、】A的特征多项式为T1E A 1123354a2(2)2行（1）1行141a035001111提出行公因数1(2)1431行(1)2行(2)0331a51a5011331行2行(2)033(2)a150a15(2)(3)(5)3(a1)(2)(28183a).已知A有一个二重特征值，有两种情况，(1)2就是二重特征值，(2)若 2不是二重根，则8183a是一个完全平方2(1)若 2是特征方程的二重根，则有2 16183a 0,解得a 2.由2E A(2)(28183(2)(2)(2812)(2)2(6)0求得A的特征值为 2,2,6,由123 1231行(-1)倍加到2行,000，2E A 1

39、231行的1倍加到3行 123000知秩2E A1，故 2对应的线性无关的特征向量的个数为nr 31 2，等于 2的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,从而A可相似对角化.(2)若 2不是特征方程的二重根，则28183a为完全平方，从而22183a 16，解得a .当a 时，由332E A(2)(28183()(2)(2816)(2)(4)203知A的特征值为 2，4，4，由 323 14E A 1031行3行32113323103000知秩4E A 2，故 4对应的线性无关的特征向量有nr 32 1,不等于 4的重数，则

40、由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,知A不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I)由于P(AB)P(A)P(B|A)1P(AB)1，所以P(B),12P(AB)6利用条件概率公

41、式和事件间简单的运算关系，有PX 1,Y 1 P(AB)1，121，61PX 0,Y 1 P(AB)P(B)P(AB),12PX 1,Y 0 P(AB)P(A)P(AB)PX 0,Y 0 P(AB)1 P(A B)1 P(A)P(B)P(AB)(或PX 0,Y 01231112)，故(X,Y)的概率分布为12612301YX012316112112(II)X,Y的概率分布分别为213,3124111PX 1 PX 1,Y 1 PX 1,Y 0,6124111PY 1 PX 0,Y 1 PX 1,Y 1,12126215PY 0 PX 0,Y 0 PX 1,Y 0.366PX 0 PX 0,Y

42、1 PX 0,Y 0所以X,Y的概率分布为XP01YP0134145616由01分布的数学期望和方差公式，则EX 11133155,EY，DX，DY,44166636461,12E(XY)0PXY 01PXY 1 PX 1,Y 1故Cov(X,Y)E(XY)EX EY 1，从而24XY15Cov(X,Y).15DX DY(23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.似然函数的定义：L()f(x1,x2,xn;)【详解】X的概率密度为f(x;)ii1n1,x 1,f(x

43、;)xx 1.0,(I)矩估计.由数学期望的定义：EX xf(x;)dx 1xxdx 11，用样本均值估计期望有EX X，令1 X，解得X.X 1X，所以参数的矩估计量为X 11n其中X Xini1(II)最大似然估计.设x1,x2,.,xn是相应于样本X1,X2,.,Xn的一组观测值，则似然函数为：n,x 1(i 1,2,n),L()f(xi;)(x1x2xn)1ii10,其他n当xi1(i 1,2,n)时，L()0，L()与ln L()在相同的点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得lnL()nln(1)ln xi，i1n两边对求导，得ndln L()nln xi，di1令d lnL()0，可得dnln xi1nn，i解得的最大似然估计值为：nlnxi1i