高三六校数学联考试题及答案.pdf

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1、广东省六校广东省六校 20122012 届高三第一次联考试题数学（理）届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟第 卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A1设U R R，A x|x 0，B x|x 1，则UB Ax|0 x 1Bx|0 x 1Cx|x 0Dx|x 1sin2已知34，且在第二象限，那么2在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知命题p：xR,x2 x1 041 0431 0pp是4，则命题的否定xR,x2 x1 041 04xR,x2 xA

2、BxR,x2 xC12xR,x2 xD4已知a 2,b log3,运算原理如右图所示，则输出的值为2A2B22 12 1C2D2是b 1a开始输入a、ba b否a 1输出b输出5函数f(x)log2x 1x的零点所在区间为结束110,12B2C1,2D2,3A6一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是11111111主视图左视图11111AOA a,OB BbCAD DAB，则实数 等于7在OAB中，OD是 AB 边上的高，若a ba，函数a abfii，设22|ab|ab|ABa baa abC|ab|D|ab|8已知集合A1,2,3,4fx的定义域、值域都是

3、A，且对于任意i A，a1，a2，a1a2a3a4f af af af a a3，a4是 1，2，3，4 的任意一个排列，定义数表1234，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A216 个B108 个C48 个D24 个第 卷二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题是必做题，每道试题考生都必须做答9设i为虚数单位，复数z满足iz 1i，则z 21x x的展开式中，含x4项的系数为_10在二项式（用数字作答）11 中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾

4、驶员血液酒精浓度在20580mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含 80）以上时，属醉酒驾车。据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500 人.如图是对这 500 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_.频率组距0.00.010.00.00酒精含量2030405060708090（mg/100mL12函数13如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为.（二）选做题：第 14、15 题是选做题，考生只能从中选做一题14（坐标系与参数方程选做题）fx

5、 2x1 x4的最小值是.1x 2 2 t2(t为参数）x 1cos1y 1ty sin（为参数）上的点到曲线C2：2曲线C1：上的点的最短距离为15（几何证明选讲选做题）如图，已知：ABC内接于O，点D在OC的延长线上，AD是O的切线，若B 30，AC 1，则AD的长为DCBAO三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本题满分 12 分）已知函数fx cos2x3sin xcosx12x0,2，求fx的最大值及取得最大值时相应的x 的值；（）若 Af1（）在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若2，b=l，c 4，求 a 的

6、值17（本题满分 13 分）2Sb b 1，b48a S nnnnn已知数列的前项和为，且数列n为等比数列，且1（）求数列（）若数列an，bn的通项公式；cn满足cn abn，求数列cn的前n项和Tn18（本题满分 13 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，AD/BC,BAD 90,PA 底面ABCD，PPA AD AB 2BC，M,N分别为PC,PB的中点（）求证：PB DM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值19（本小题满分 14 分）为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行

7、的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。3现有一个由 36 名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中4是境外游客，其余是境内游客。在境外游客12中有3持金卡，在境内游客中有3持银卡（）在该团中随机采访3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于2 人的概率；（）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX20（本小题满分 14 分）如图，已知抛物线C的顶点在原点O，焦点为F0,1（）求抛物线C的方程；（）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q,满足PF QF，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直

8、?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分 14 分）设函数f(x)yQFO第 20 题图Pxln xpx1p 0（）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（）若对任意的 x0，恒有f(x)0，求 p 的取值范围；ln22ln32lnn22n2n122(n N,n 2).22(n 1)3n（）证明：2广东省六校广东省六校 20122012 届高三第一次联考试题数学（理）答案届高三第一次联考试题数学（理）答案本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中

9、，只有一项是符合题目要求的BCADCCBA二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分19n112p91i；10 10；1175；122；132选做题：14 1；153三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本题满分 12 分）已知函数fx cos2x3sin xcosx12x0,2，求fx的最大值及取得最大值时相应的x 的值；（）若 Af1（）在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若2，b=l，c 4，求 a 的值fx cos2x3sin xcosx12解：（）1cos2x31sin2x

10、222sin2x64 分0 x 2，6 2x676，11sin2x1 fx16，即22fxman12x，此时62，x 68 分 Af sinA16，（）2在ABC中，0 A，6 A676，A62，A 310 分又b 1，c 4，由余弦定理得a 4 1 241cos60 13，故a 1312 分17（本题满分 13 分）2Sb b 1，b48a S nnnnn已知数列的前项和为，且数列n为等比数列，且1222（）求数列（）若数列an，bn的通项公式；cn满足cn abn，求数列cn的前n项和Tn2Sa S nnnnn解：（）数列的前项和为，且，22a S S n(n1)2n12 分n 2nn1

11、当时，n当n 1时，故a1 S11亦满足上式，an 2n1（nN*）4 分又数列bn为等比数列，设公比为q，3b 1b bq 8，q 26 分141，n1*b 2n（nN）8 分（）cn abn 2bn1 2n1cn10 分Tnc1c2c3(211)(221)(2n1)(21222(12n)n2n)n12n1T 22n13 分n所以18（本题满分 13 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，AD/BC,BAD 90,PA 底面ABCD，PNMPA AD AB 2BC，M,N分别为PC,PB的中点（）求证：PB DM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值解：（）解法 1：N是PB

12、的中点，PA AB，AN PBPA 平面ABCD，所以AD PAPA AB A，又AD AB，AD 平面PAB，AD PB又AD AN A，PB 平面ADMNDM 平面ADMN，PB DM6 分解法 2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz，设BC 1，1M1,1A0,0,0P0,0,2B2,0,0C2,1,0D0,2,0可得，2，3PBDM 2,0,21,1 02因为，所以PB DM6 分zPP（）解法NABxMyDCBNMACDQ1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ/DC，又PB 平面ADMN，CD与平面ADMN所成的角为BQN设BC 1，在RtBQN中，则BN 2，BQ

13、5，故sinBQN 10510所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为513 分解法 2：因为PBAD 2,0,20,2,0 0所以PB AD，又PB DM，所以PB 平面ADMN，因此PB,DC的余角即是CD与平面ADMN所成的角cos PB,DC 因为PBDC105|PB|DC|10所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为513 分19（本小题满分 14 分）为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。3现有一个由 36 名游客组成的

14、旅游团到深圳参观旅游，其中4是境外游客，其余是境内游客。在境外游客12中有3持金卡，在境内游客中有3持银卡（）在该团中随机采访3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于2 人的概率；（）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX解：（）由题意得，境外游客有27 人，其中9 人持金卡；境内游客有9 人，其中6 人持银卡。设事件B为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于2 人”，事件事件A1为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡”，A2为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡”.w.w.P(B)P(A1

15、)P(A2)12111C9C21C9C6C2133CC3636927341703685所 以 在 该 团 中 随 机 采 访3人，恰 有1人 持 金 卡 且 持 银 卡 者 少 于2人 的 概 率 是36856 分（）X的可能取值为 0，1，2，30312C6C3C6C313P(X 0)P(X 1)33C84C1499,213C6C315C615P(X 2)3P(X 3)3C928，C921，10 分所以X的分布列为XP01231843141528521EX 0故13155123 28414282114 分20（本小题满分 14 分）如图，已知抛物线C的顶点在原点O，焦点为（）求抛物线C的方程

16、；（）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q,满足PF QF，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2F0,1x（）解：设抛物线 C 的方程是 2py，由于焦点为，F0,1yQFOPp12，即p 2，2x故所求抛物线 C 的方程为 4y4 分（）解：设Px1,y1，Qx2,y2，则抛物线 C 在点P处的切线斜率为k y|xx1x12，y 切线方程是：x1x y12，直线PQ的方程是y 2x 2 y1x16 分将上式代入抛物线 C 的方程，得x28x42 y1 0 x1，8x1，x1x2 84y1，8 分x1 x2 故x2 又81

17、24 x1y2x2 y14x14y1，。，FP x1,y11FQx2,y21，FPFQ x1x2y11y21 x1x2 y1y2y1 y21 4 4 42 y1 y1 y142y141y1y1y 4y1112y112 分令FPFQ 0，得 y14,此时,点P的坐标是经检验,符合题意.所以,满足条件的点P存在,其坐标为4,4.4,4.14 分21（本小题满分 14 分）设函数f(x)ln xpx1p 0（）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（）若对任意的 x0，恒有f(x)0，求 p 的取值范围；ln22ln32lnn22n2n122(n N,n 2).22(n 1)3n（）

18、证明：2(0,)，解：（1）f(x)lnx px1,f(x)的定义域为f(x)11 px p xx，2 分f(x)0，x 令x1(0,),f(x)、f(x)随xp的变化情况如下表：1(0，p)+1p0极大值1(,p)f(x)f(x)从上表可以看出：当 p0 时，f(x)有唯一的极大值点x 1p 5 分x=（）11f()p处取得极大值p1f()0恒成立，只需pln1p，此极大值也是最大值，ln1p0要使f(x)，p1p 的取值范围为1，+)9 分，n N,n 2（）令 p=1，由（）知，ln x x 1 0,ln x x 1lnn n 1，22lnn2n21112n2n211 分nln22ln32lnn2111(1)(1)(1)22222223n23(n 1)(1221321n2)(n 1)(1112334n(n 1)(n 1)(121313141n1n 1)(n 1)(112n2 n12n 1)2(n 1)结论成立n14 分