题库.试卷—--立体几何基础题题库全集有详细答案全集2.doc

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1、立体几何基础题题库有详细答案立体几何基础题题库四（有详细答案）301. 正三棱柱ABCA1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求证：AB1CA1.解析：方法1 如图，延长B1C1到D，使C1DB1C1.连CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2 如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1BD1，从而AB1A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1A1C.说明 证明本题

2、的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段AB在侧面上的射影长.解析： 如图，取BC的中点D.ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又ABBC，BC.设BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx，解得：x.线段AB在侧面的射影长为.303. 平面外一点A在平面内的射影是A，BC在平面内，ABA，ABC，求证:coscoscos.解析： 过A

3、作BC于C，连AC.AA平面，BC垂直AC在平面内的射线.BCAC，cos.又cos,cos，coscoscos.304. ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面与平面所成二面角的大小为(090，则SScos.证法一 如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.AA平面，AD在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SADBC，SADBC，cos,SScos.证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明SScos.305. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明 如图，设

4、异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.解析：不难看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1就可以了.证：连AC1，在直角ABC中，BC1，B

5、AC30， ACA1C1.设AC1A1，MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90 即AC1A1M.B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90，与常见的其他题目不太相同.307. 矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM为CD与平面ABD

6、所成的角，cosCDM作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DMCDCDCAABAD23.CD与平面ABD所成角的余弦值为308. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90在RtAPB中，ABP45，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平

7、面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60，BC与平面PBA的角为60.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.309. 在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30和45。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB与

8、PC不能垂直，证明如下：假设PCAB，作PH平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形ACBH为矩形.HCAB，ACBH为正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45，PAH30，与PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45BHPHh.PAH30，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三垂线定理有PEAB，PE是点P

9、到AB的距离.在RtPHE中，PEh.即点P到AB距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.310. 平面内有一个半圆，直径为AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NHSB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.解 (1

10、)连AM，BM.AB为已知圆的直径，如图所示.AMBM，SA平面，MB，SAMB.AMSAA，BM平面SAM.AN平面SAM，BMAN.ANSM于N，BMSMM，AN平面SMB.AHSB于H，且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.图中共有4个线面垂直关系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均为直角三角形.BM平面SAM，BMA，BMS均为直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均为直角三角形.SB平面AHN. SHA、BHA、SHN均为直角三角形综上所述，图中共有10个直角三角形.

11、(4)由SA平面AMB知：SAAM，SAAB，SABM；由BM平面SAM知：BMAM，BMSM，BMAN；由AN平面SMB知：ANSM，ANSB，ANNH；SB平面AHN知：SBAH，SBHN；综上所述，图中有11对互相垂直的直线.311. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即为所求.OHMRORMC，OH.解法二：考察

12、三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1EOB1O1B1OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面AB1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD

13、1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aA1,bB1，1、2分别是a、b与所成的角.如图，求证：12.证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1BB1，连结AB和A1B1.AA1BB1四边形AA1B1B是平行四边形.ABA1B1又A1B1 AB.

14、 设AA2于A2，BB2于B2，则AA2BB2在RtAA1A2与中 AA2BB2，AA1BB1RtAA1A2RtBB1B2AA1A2BB1B2即 12.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：ABC,P,PBAPBC,PQ，Q，如图.求证：QBAQBC证：PRAB于R，PSBC于S.则：PRBPSB90.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSBPRPS点Q是点P在平面上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ316. 如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形

15、BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.317. 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )A.B.C. D.解 连D1F1，则D1F1A1C1，又BCCA，所以BD1在平面ACC1A1内的射影为CF1，设AC2a，则BCCC12a.取BC的中

16、点E，连EF1，则EFBD1.cos1cosEF1C，cos2cosAF1C， coscos1cos2，应选A.318. (1)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心(2)设P是ABC所在平面外一点，若PA，PB，PC与平面所成的角都相等，那么P在平面内的射影是ABC的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ABC的三边的距离相等，因而O是ABC的内心，因此选D.(2)如图所示，作PO平面于O，连OA、OB、OC，那么PAO

17、、PBO、PCO分别是PA、PB、PC与平面所成的角，且已知它们都相等.RtPAORtPBORtPCO.OAOBOC应选B.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.319. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.解析：注意到直线BD平面EFG，根据直线和平面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离.解 连结AC、BD，设交于O，E，F分别是AB、AD的中点.EFBDBD平面EFG，设EFACM.则M为OA的中点.又AB4 AC4，MOAC,MCAC3GC平面ABCDGCCA，GC

18、EF又EFAC，GCACC.EF平面GCM.过O作OHGM于H，则OHEF.又OHGM故OH平面EFG.在RtGCM中，GM.又OHGM.sinGMCsinHMOOHB点到平面GEF的距离为说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320. 已知两条异面直线a,b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1Em，AFn.求证：EF解 过A作aa.AA1a, A1AaAA1b,abAA1A垂直a、b所确定的平面.aa a、a能确定平面，在内作EHA1A，交a于H.aa，A1AME为平行四边形.A1AEHd,A

19、HA1EmA1A EH.FH， EHFH.在RtFHE中，EFaa a与b的夹角为.即HAF，此时AHm,AFn.由余弦定理得 FH2m2+n2-2mncosEF当F(或E)在A(或A1)的另一侧时，同理可得EF综上所述，EF321. 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AMFNACBF，求证：MN平面CBE.解析：欲证MN平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于

20、P. BEAF， BNPFNA. ，则.即 .又 ， . MNCP，CP平面CBE. MN平面CBE.322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：a,l,l.求证：la.解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交于b.l，由性质定理知lb.过l作平面交于c.l，由性质定理知lc. bc，显然c. b. 又 b，=a， ba. 又 lb. la.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.323. 如图，在正四棱锥SABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SPPC12，S

21、QSB23，SRRD21.求证：SA平面PQR.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ONSA.RQBD而 PMONSAON.SAPM,PM平面PQR SA平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.324. 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明 如图，设直线a平面，点A,A直线b,ba，欲证b.事实上，ba，可确定平面，与有公共点A，B交于过A的直线c，a,ac，从而在上

22、有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即b.325. S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AEADCFCD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EFRQ.证 在ADC中，因AEADCFCD，故EFAC，而AC平面ACS，故EF平面ACS.而RQ平面ACS平面RQEF，故EFRQ(线面平行性质定理).326. 已知正方体ABCDABCD中，面对角线AB、BC上分别有两点E、F且BECF求证：EF平面AC.解析： 如图，欲证EF平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1 过E、F分别做

23、AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MNBB平面AC BBAB，BBBCEMAB，FNBCEMFN，ABBC，BECFAEBF又BABCBC45RtAMERtBNFEMFN四边形MNFE是平行四边形EFMN又MN平面ACEF平面AC证法2 过E作EGAB交BB于G，连GFBECF，BACB FGBCBC又EGFGG,ABBCB平面EFG平面AC又EF平面EFGEF平面AC327. 如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB平面EFGH；(2)CD平面EFGH证明：(1)EFGH为平行四边形，EFHG，HG平面ABD，EF平面ABD.EF

24、平面ABC，平面ABD平面ABCAB.EFAB，AB平面EFGH.(2)同理可证：CDEH，CD平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：ab,aA，求证：b和相交.证明：假设b或b.若b，ba，a.这与aA矛盾，b不成立.若b，设过a、b的平面与交于c.b,bc,又ab aca这与aA矛盾.b不成立.b与相交.329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：ab,a，b，c.求证：cab330. 在下列命题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面，则

25、mn;B.设l是直二面角，若直线ml，则mn，m；C.若直线m、n在平面内的射影是一个点和一条直线，且mn，则n在内或n与平行；D.设m、n是异面直线，若m和平面平行，则n与相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.331. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

26、解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.332. 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：a,b, c.求证：要么a、b、c三线共点，要么abc. 证明：如图一，设abA，a.a而Aa.A.又bb,而Ab.A.则A，A，那么A在、的交线c上.从而a、b、c三线共点.如图二，若ab，显然c，b a而 a, c.

27、ac从而 abc333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度，那么木梁升高多少?解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么ABa，MANB，MANBb,AB90.设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TKAB，交MA于K，则AKST.设STx，则xb-KM.又KTCT，KTC，有KCasin.从而KM.xb-.334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的

28、条件是：( )A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、.求证：cos2+cos2+cos21解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为、，连结AB1、CB1，D1B1，则B1DA、B1DC、B1DD1都是直角三角形.cos,cos,coscos2+c

29、os2+cos21.评析：这里运用了长方体对角线长定理.336. 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC10cm,BC12cm，顶点A1与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.解析：如图，作A1O平面ABC于O，A1AA1BA1C，OAOBOC，O是ABC的外心，ABC等腰，AOBC于D，AA1BC，B1BBC，四边形B1BCC1为矩形，S1213156(cm2),A1AB底边上高A1E12，120(cm2),SABC12848(cm2),S全156+2120+248492(cm2)337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱

30、中每两条成60角，求平行六面体积.解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA1的长分别是a,b,c,且两面所成角是60，过A1作A1H平面ABCD，H为垂足，连HA，则HAB30，由课本题得：cosA1ABcosA1AHcosHAB,cosA1AH,sinA1AHVSABCDA1Habsin60csinA1AHabc.338. 在棱长为a的正三棱柱ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底中心，P为OO1的中点，过P、B1、C1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积. 解析： 如图，AA1面A1B1C1，AA1OO1，设过P、B1、C1的截面与AA1的延长线交于Q，连结A1O1延长交B1C1于D

31、，连QD，则P必在QD上，O1为A1B1C1的中心，P为OO1的中点，故，Q在A1A延长线上且QAPO1，又QB1交AB于E，QC1交AC于F，则EFB1C1，所以截面为EFB1C1是等腰梯形，又QA1QA31，EF 设QD与EF交于H，得QDB1C1.因此HD为梯形EFC1B1的高.DQa,HDa.(a+)(a)a2为所求截面积.339. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点.(1)求证：A1B平面AB1D.(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数.解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.解 (1

32、)正三棱柱的各棱长都相等，侧面ABB1A1是正方形.A1BAB1.连DE，BCDA1C1D，BDA1D，而E为A1B的中点，A1BDE.A1B平面AB1D.(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱.DCA1A，且D为CC1的中点，ACCS.又ABBCCACS，ABS90.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1BBS.A1BA就是二面角A1BSA的平面角.A1BA45，平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45.评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在论证ABBS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定

33、理的逆定理.当然(2)还可以用S射Scos来解.340. 如图，已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积等于cm2，D、E分别是侧棱B1B，C1C上的点，且有ECBC2DB，试求(1)四棱锥ABCDE的底面BCED的面积(2)四棱锥ABCED的体积(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小(4)截面ADE的面积解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为，观察到ADE在底面ABC的射影是ABC(DB平面ABC，EC平面ABC)应用SABCSADEcos，可求出.解：设ABC边长为x，SABCx2.x2，于是ECBC2，D

34、BBC1，SBCED (2+1)23，作AFBC于FAF平面BCED，VA-BCEDAFSBCED，VA-BCED23在RtABD中，AD2AB2+DB222+125；在Rt梯形BCED中，DE2(CE-DB)2+BC25ADDE，ADE是等腰三角形，作DQAE于Q，则Q为AE的中点在RtACE中，AE2EC2+AC28，DQ2AD2-AQ2()2-()23AE，DQ，SADEAEDQ设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为，D、E分别在底面的射影为B、C，ABC的面积ADE面积cos即cos,cos,45答 (1)SBCED3cm2,(2)VA-BCEDcm2,(3)截面ADE与底面ABC成

35、45的二面角，(4)SADEcm2341. 在三棱柱ABCA1B1C1中，ABa,BACAAA1a,A1在底面ABC上的射影O在AC上。(1)求AB与侧面AC1所成的角(2)若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积解析： (1)A1O面ABC，BC面ABC，BCA1O，又BCCAa，ABa,ABC是等腰直角三角形，BCAC，BC面AC1，故BAC为BA与面AC1所成的角，则有BAC 45，即AB与侧面成45角。(2)若O恰为AC中点，AA1a,ACa,AO,A1Oa,a2，作ODAB于D，连结A1D，由三垂线定理得A1DAB，在RtAOD中，ODOAsinBACa2，在RtA1OD中，A1D,a

36、aa2，(2+)a2342. 已知异面直线a、b成角，过空间一点p，与a、b也都成角的直线，可以作（）A1条B2条C3条D4条解析：C343. 已知a -l-b 是直二面角，直线aa ，直线bb ，且a、b与l都不垂直，那么（）Aa与b可能平行，也可能垂直Ba与b可能平行，但不可能垂直Ca 与b不可能平行，但可能垂直Da 与b不可能平行，也不可能垂直解析：B当，时，ab，即a、b可能平行，假设ab，在a上取一点P，作PQl交l于Q，二面角a -l-b 是直二面角，PQb ，PQbb垂直于a 内两条相交直线a和PQ，ba ，bl这与已知b与l不垂直矛盾b与a不垂直344. 直线l、m与平面a 、

37、b 满足l平面a ，mb ，以上四个命题：a b l m；a b lm；lma b ；lma b 其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与解析：D345. 如图9-45，二面角a -l-b 的平向角为120，Al，Bl，ACa ，BDb ，ACl，BDl若AB=AC=BD=1，则CD长为（）A B C2 D解析：B在平面b 内作AEBD，DEBA，得交点E则CAE为二面角a -l-b 的平面角，故CAE=120，于是在RtCED中可求CD长346. SA、SB、SC是从S点出发的三条射线，若，则二面角B-SA-C的大小为（）A B C D解析：C在SA上任取一点E，作EFSA交SC于F，作EG

38、SA交SB于G，连结FG，则GEF为二面角B-SA-C的平面角347. 线段AB长为2a，两端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角为45和30，那么A、B在棱上的射影间的距离为（）A2a Ba C D解析：B如图答9-39，设直二面角为a -l-b ，作ACl于C，BDl于D，则ACb ，BDa ，连结AD、BC，ABC为AB与b 所成的角，BAD为AB与a 所成的角，ABC=30，BAD=45，AB=2a，AC=a，在RtACD中，CD=a图答9-39348. 正方体中，二面角的大小的余弦值为（）A0 B CD解析：B取BD中点O，连结、，则，为二面角的平面角，设为q

39、，设正方体棱长为a，则，349. 立体图形A-BCD中，AB=BC=CD=DB=AC=AD，相邻两个面所成的二面角的平面角为q ，则（）AB C D解析：A任取一个二面角，如A-BC-D，取BC中点E，可证AEBC，DEBC，AED是二面角A-BC-D的平面角，设AB=1，则 350. 如图9-46，二面角a -AB-b 的棱AB上有一点C，线段CDa ，CD=100，BCD=30，点D到平面b 的距离为，则二面角a -AB-b 的度数是_解析：60作DHb 于H，DEAB于E，连结EH，则EH是DE在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，HEAB，DEH为二面角a -AB-b 的平面角在RtDCE中，CD=100，BCD=30，DE=CDsin30=50，在RtDEH中，DEH=60，即二面角a -AB-b 等于60351. （1）已知直线a平面a ，a平面b 求证：b a （2）已知三个平面a 、b 、g ，a b ，a g 求证：b g 解析：（1）如图答9-41，aa ，在a 上任取一点，过a与A确定平面g ，设，则ab ， a ，a b （2）在g 上任取P，设，在g 内作，a g ，PQa a b ，PQb ，PQg ，b g 352. 在正方体中，求二面角的大小解析：如图9-43，在平面内作，交于E连结，设正方体棱长为a，