立体几何垂直与二面角教案-高三数学二轮专题复习.docx

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1、立体几何垂直与二面角(教案)一、重点要点排查报告二、典例解析（一） 相关定理1、 线面垂直文字语言：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.图形语言： 符号语言：2、 面面垂直文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.图形语言： 符号语言： 3、面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.4、垂直之间的转化5、 二面角计算设平面的法向量分别为(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2).是与的交线，设二面角的平面角为，则(二)例题解析例1 （2018年全国3,19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的

2、点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值解：（1）由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.如图，连接CM，因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）如图，以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.例2 （云南省第二次统测，19）如图，在

3、斜三棱柱中，四边形为菱形,.（1） 求证：;（2） 若平面平面，求二面角的正弦值.(1)证明：取的中点O，连接. 是菱形，是正三角形.又(2)再由（1）有两两相互垂直如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设为平面的一个法向量，则取，所以同理，可得平面的一个法向量为所以二面角的正弦值为三、 课堂检测1.如图，在三棱锥中，且与平面所成角为.（1） 求证：平面平面.（2） 过的平面交于点，若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.2.（2017年全国3,19）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）

4、过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值（1）由题设可得，又是直角三角形，所以取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于所以（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故设是平面DAE的法向量，则可取设是平面AEC的法向量，则同理可得则所以二面角D-AE-C的余弦值为四、 课堂小结五、课外作业（2018年全国2,20）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值解：（1）因为，为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（3） 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.10学科网（北京）股份有限公司