多元数量值函数的导数与微分-4隐函数.ppt

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1、隐函数的求导法则由一个方程确定的隐函数由方程组确定的隐函数2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系解解令令则则2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系解解令令则则2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系解解令令则则2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系思路：思路：解解令令则则2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系整理得整理得2007年8月9南京航空航天大学 理

2、学院 数学系整理得整理得整理得整理得2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系设有一组方程设有一组方程 则称由则称由(1)确定了隐函数组确定了隐函数组 之对应之对应,能使能使其中其中 定义在定义在 若存在若存在 使得对于任给的使得对于任给的 有惟一的有惟一的二、隐函数组2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系并有并有 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形(含有含有 m+n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 个隐函数个隐函数)，在本章不作详，在本章不作详 细讨论细讨论 2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系首先来看看首先来看看,若由方程

3、组若由方程组(1)能确定两个可微的能确定两个可微的隐隐 函数函数 ,则函数则函数 应满应满 足何种条件呢足何种条件呢?不妨先设不妨先设 都可微都可微,由复合求导法由复合求导法,通过对通过对(1)分别求关于分别求关于 x 与关于与关于 y 的偏导数的偏导数,得到得到 2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系能由能由(2)与与(3)惟一解出惟一解出 的充要的充要 条件是雅可比条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即行列式不等于零，即 由此可见，只要由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且具有连续的一阶偏导数，且 其中其中 是满足是满足(1)的某一的某一 初始点初始点,则由保号性定理

4、，则由保号性定理，使得在此邻域使得在此邻域 内内(4)式成立式成立 根据以上分析根据以上分析,便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系 雅可比（雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国德国 ）2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理 (隐函数组定理隐函数组定理)设方程组设方程组(1)中的函数中的函数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件：(i)在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件);(iii)在在 V 内存在连续的一阶偏导数；内存在连续的一阶偏导数；(i

5、v)隐函数组定理 2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系即有即有 则有如下结论成立：则有如下结论成立：且满足且满足 必定存在邻域必定存在邻域 其中其中 使得使得 2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系在在 上连续上连续.在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连续偏导 数数,且有且有 本定理的详细证明从略本定理的详细证明从略,下面只作一粗略的解释下面只作一粗略的解释:2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系 由方程组由方程组(1)的第一式的第一式 确定隐确定隐 函数函数 将将 代入方程组代入方程组(1)的第二式的第二式,得得 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数

6、 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系通过详细计算通过详细计算,又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果:2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系例例1 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数.解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组(5).设设 2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上有连续的各阶偏导数.再考察再考察 在点在点 关于所有变量的雅

7、可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 由于由于2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知,在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组:但不能肯定但不能肯定 y,z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数.2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系运用定理运用定理 18.4 的结论的结论 ,可求得隐函数在点可求得隐函数在点 处处 的导数值的导数值:2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系*注注 通过详细计算通过详细计算,还能求得还能求得 这说明这说明 处取极大值处取极大值,从而知道从而知道 在点在点

8、的任意小邻域内的任意小邻域内,对每一个对每一个 x 的值的值,会会有有 多个多个 y 的值与之对应的值与之对应.类似地类似地,对每一个对每一个 x 的值的值,也会有多个也会有多个 z 的值与之对应的值与之对应.所以方程组所以方程组(5)在在点点 近旁不能惟一确定以近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组作为自变量的隐函数组.2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系例例 2 设函数设函数 具有连续的偏导数具有连续的偏导数,是由方程组是由方程组 所确定的隐函数组所确定的隐函数组.试求试求 解解 设设 则有则有 2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系由此计算所需之雅可比行列

9、式由此计算所需之雅可比行列式:于是求得于是求得 2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系注注 计算隐函数组的偏导数计算隐函数组的偏导数(或导数或导数)比较繁琐比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式),掌握其中的规律掌握其中的规律.这里特别需要这里特别需要 “精心精心细心细心耐心耐心”.2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系公式：2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则三、小结2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系练练 习习 题题2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系