斐波那契数列的若干证明.ppt

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1、斐波那契数列斐波那契数列通项公式通项公式的的若干证明若干证明(Several Proofs on Fibonacci Series)姓名：姓名：李厚彪李厚彪 学校：学校：电子科技大学电子科技大学线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何定义定义 1.1 Fibonacci 数列：数列：1，1，2，3，5，8，13，21 Fn是是组合数学组合数学中应用很广泛的一种离散模中应用很广泛的一种离散模型型,在数学上，斐波那契数列是在数学上，斐波那契数列是以递归的方法以递归的方法来定义：来定义：一、斐波那契数列的定义一、斐波那契数列的定义历史小贴士：历史小贴士：在西方，在西方，Fibonacci 数列数

2、列最早取自最早取自1202年意大利数年意大利数学家斐波那契的学家斐波那契的算盘算盘(Liber Abaci)书中的书中的兔子兔子繁殖问题繁殖问题.二、自然界中的斐波那契数列2.1 花瓣数花瓣数2.2 花表面排列的螺线花表面排列的螺线 数数（5-8）2.3 树叉数树叉数雏雏菊（菊（1313）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）三、斐波那契数列的发展 有人比喻说，有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快比斐波那契的兔子增长得还快”，以致，以致19631963年成年成立了立了斐波那契协会斐波那契协会，还出版了，还出版了斐波那契季刊斐波那契季刊。跳格游戏跳格游

3、戏股票指数增减的股票指数增减的“波浪理论波浪理论”连分数连分数方法一：方法一：初等解法-将三阶递推化为二阶递推 四、斐波那契数列四、斐波那契数列通项公式通项公式的若干证明的若干证明解解.上式可进一步化为：.方法一：初等解方法一：初等解法法(续续)这是一个以s(n-1)为首项、以r(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和.因此,注注：此通项公式又叫“比内公式比内公式”，是用无理数表示有理数的一个经典范例无理数表示有理数的一个经典范例.解解.(1)易知对于对于1、2项为任意值项为任意值，但满足 的数列数列的加法与数乘，满足线性空间八个条件,因此，构成一个线性空间线性空间。.方法二：线性子

4、空间方法方法二：线性子空间方法(2)注意到，该空间是一个二维空间。鉴于(1)式的的递推形式，我们不妨从中取两组等比数列从中取两组等比数列，即其公比分别为方法二：线性子空间方法（续）方法二：线性子空间方法（续）由,可求得即斐波那契数列的表示为 另外，根据递推关系可得方程，经计算可得因此可令方法三：矩阵相似对角化方法方法三：矩阵相似对角化方法其中其中解解.由由将将对角化得对角化得 方法三：矩阵相似对角化方法方法三：矩阵相似对角化方法由由可得：可得：方法四：方法四：行列式行列式表示法表示法 解解.注意到就可用行列式表示可用行列式表示Fobonacci数列数列，从而通过行列式求得通项公式.（过程略），

5、所以只需由于应应 用用 与与 推推 广广l推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列 卢卡斯数列卢卡斯数列(Lucas，F.E.A.1824-1891)即即从任何两个正整数从任何两个正整数开始，往后的每一个数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，二阶递推公式二阶递推公式:思考思考：如何求解上述卢卡斯数列的通项？：如何求解上述卢卡斯数列的通项？上述方法是否皆可通用？上述方法是否皆可通用？小小 结结 数数学学中中，“从从不不同同的的范范畴畴，不不同同的的途途径径，得得到同一个结果到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。的情形是屡见不鲜的。这这反反映映了了客客观观世世界界的的多多样样性性和和统统一一性性，也也反反映了映了数学的统一美数学的统一美。通通过过一一题题多多证证，发发散散思思维维，由由浅浅入入深深，从从不不同同的的侧侧面面反反映映数数学学知知识识点点之之间间的的“内内在在”联联系系，有助于加深学生对相关知识的理解有助于加深学生对相关知识的理解。谢谢大家！谢谢大家！欢迎指导！欢迎指导！