教育专题：《四边形》复习精要.ppt

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1、冀教版数学四边形复习精要冀教版数学四边形复习精要作者：黄小岚作者：黄小岚单位：龙潭中学单位：龙潭中学E-mail:E-mail:日进有功 成就梦想课程标准的要求l掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。性。l探索并了解平行四边形的有关性质和四边形是平行四探索并了解平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件边形的条件l探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件是矩形、菱形

2、、正方形的条件l探索并了解等腰梯形的性质和四边形是等腰梯形的条探索并了解等腰梯形的性质和四边形是等腰梯形的条件件l探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边的概念边的概念l知道任意一个三角形、四边形或正方形可以镶嵌平面，知道任意一个三角形、四边形或正方形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计知识结构示意图知识结构示意图平平行行四四边边形形梯形梯形四四边边形形多多边边形形性质和识别条件性质和识别条件特殊的平行四边形特殊的平行四边形三角形的中位线三角形的中位线矩形矩形（性质（性质和识别和识别条件）条

3、件）菱形菱形（性质（性质和识别和识别条件条件）正方形正方形（性质（性质和识别和识别条件）条件）直角梯形直角梯形等腰梯形（性质和识别件）等腰梯形（性质和识别件）多边形的内角和、外角和多边形的内角和、外角和平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌ByeByeByeBye平行四边形平行四边形一、定义一、定义 _叫做平行四边形。叫做平行四边形。二、性质二、性质 1、平行四边形的对边、平行四边形的对边_;2、平行四边形的对角、平行四边形的对角_;3、平行四边形的对角线、平行四边形的对角线_;4、平行四边形是平行四边形是_对称图形，对角线的交对称图形，对角线的交点为点为_;5、过平行四边形两条对角线交点的任意一条直过

4、平行四边形两条对角线交点的任意一条直线，把平行四边形分成线，把平行四边形分成_的两部分。的两部分。两组对边分别平行的四边形两组对边分别平行的四边形相等相等相等相等互相平分互相平分中心中心对称中心对称中心面积相等面积相等OLABCD观察右图观察右图如果四边形如果四边形ABCD是平行是平行四边形四边形,请回答下列问题：请回答下列问题：ABCABC_ BAD_ AB_且且AB=_AD_且且AD=_ AO=_ BO=_平行四边形平行四边形ABCD是是_对称图形，点对称图形，点O是是_直线直线L过点，过点，则则S四边形四边形ABFE_S S四边形四边形CFEDEF ADC BCDCDCDBCBCCODO

5、中心对称中心=平形四边形的识别平形四边形的识别l两组对边分别平行的四边两组对边分别平行的四边形是平行四边形。形是平行四边形。l一组对边平行且相等的四一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。边形是平行四边形。l两组对边分别相等的四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形。形是平行四边形。l两条对角线互相平分的四两条对角线互相平分的四边形是平行四边形边形是平行四边形。ABCDO（试题例析）l例例1 如图，在平形四边形如图，在平形四边形ABCD中，中，AE BD于点于点E，CFBDBD于点于点F F，四边形四边形AECFAECF是平行四边形吗？试说明是平行四边形吗？试说明理由。理由。解：因为解：因为

6、AE BD CFBDBD 所以所以AEAE CF CF 又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是平行是平行四边形四边形 所以所以S SABDABD=S=SCDBCDB 即即1/21/2BDBDAE=1/2BDAE=1/2BDCFCF 所以所以AE=CFAE=CF 所以四边形所以四边形AECFAECF是平行四边是平行四边形形 ABCDEFl例例2 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，点中，点E、点点F在在对角线对角线BD上，且上，且BE=DF，试说明四边形试说明四边形AECF是是平行四边形。平行四边形。解：连结解：连结AC交交BD于点于点O 因为四边形因为四边形ABCD是平行是平行

7、四边形四边形 所以所以AO=CO BO=DO 又因为又因为BE=DF 所以所以EO=FO 所以四边形所以四边形AECF是平行是平行四边形四边形OABCDEF返回返回特殊的平行四边形性质性质一、一、矩形矩形的性质的性质 具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质 特有性质：四个角都相等；特有性质：四个角都相等；对角线相等对角线相等 矩形是轴对称图形矩形是轴对称图形二、二、菱形菱形的性质的性质具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质特有性质：四条边都相等；特有性质：四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组并且每条对角线平分一组对角对角菱形是轴对称图形菱

8、形是轴对称图形 菱形的面积菱形的面积=底底高高 菱形的面积菱形的面积=两条对角线两条对角线乘积的一半乘积的一半三、三、正方形正方形具有四边形、平具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的行四边形、矩形、菱形的一切性质一切性质边：四边相等，邻边垂直边：四边相等，邻边垂直角：四个角都是直角角：四个角都是直角对角线：相等、互相垂直对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一平分，每条对角线平分一组对角组对角（继续）（继续）是轴对称图形，有四条是轴对称图形，有四条对称轴对称轴 正方形的面积等于边长正方形的面积等于边长的平方，或者等于两条的平方，或者等于两条对角线乘积的一半对角线乘积的一半识别识别 矩形、菱形

9、、正方形都矩形、菱形、正方形都分别有三个识别方法，分别有三个识别方法，识别一个四边形是矩形识别一个四边形是矩形或是菱形或是正方形时，或是菱形或是正方形时，必须想到它们的三个识必须想到它们的三个识别方法之一别方法之一。识别矩形识别矩形 先说明是平形四边形先说明是平形四边形+有有一个角是直角一个角是直角 先说明是平行四边形先说明是平行四边形+对对角线相等角线相等 说明四边形有三个直角说明四边形有三个直角识别菱形识别菱形先说明是平行四边形先说明是平行四边形+邻邻边相等边相等先说明是平行四边形先说明是平行四边形+对对角线垂直角线垂直说明四边形的的四条边说明四边形的的四条边相等相等识别正方形识别正方形先

10、说明是菱形先说明是菱形+有一个角有一个角是直角是直角先说明是矩形先说明是矩形+邻边相等邻边相等对角线互相垂直平分且对角线互相垂直平分且相等的四边形相等的四边形（三者关系）（三者关系）平行四边形平行四边形平行四边形矩矩形形菱形菱菱形形正方形正方形三角形中位线l例例1 在在 ABC中，中，BD是是 ABC的平分线，的平分线，DE BC且且DE交交AB于点于点E，DF AB且且DF交交BC于点于点F，四边形四边形BFDE是什么四边形？为什么？是什么四边形？为什么？解：四边形解：四边形BFDE是菱形。是菱形。理由如下：理由如下：因为因为DE BC 所以所以EBDEBD=DBFDBF EDB=EDB=D

11、BFDBF 所以所以EBDEBD=EDBEDB 所以所以BE=DEBE=DE 由由DEDE BC DF AB可得可得 四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形 所以四边形所以四边形BFDEBFDE是菱形是菱形ABCDEF（继续）（继续）l例例2 如图，点如图，点D、点点E、点点F分别是分别是 ABC的边的边AB，BC，AC的中点，连接的中点，连接DE、EF，要使四边要使四边形形ADEF为正方形，还需增加条件为正方形，还需增加条件_。析解：根据题设条件可析解：根据题设条件可知（三角形中位线定知（三角形中位线定理），四边形理），四边形ADEF是平行四边形。再根是平行四边形。再根据既是矩

12、形又是菱形据既是矩形又是菱形的四边形是正方形，的四边形是正方形，为此，可增加条件，为此，可增加条件，ABC是等腰直角是等腰直角三角形且三角形且 A=90 即即可。可。ABCDEF返回返回三角形的中位线三角形的中位线思考思考 _叫做三角形的中位叫做三角形的中位线。线。一个三角形有一个三角形有_条条中位线，为什么？中位线，为什么？三角形的中位线三角形的中位线_第三边，并且第三边，并且等于它的等于它的_。ABC（中）DE（中）连结三角形两边中点的线段三平行于一半练习题练习题三角形中位线定理的证明三角形中位线定理的证明l关于三角形中位线定理的证明，课本上用的关于三角形中位线定理的证明，课本上用的是旋转

13、方面的知识。同学们，你还有更好的是旋转方面的知识。同学们，你还有更好的探求方法吗？请思考！探求方法吗？请思考！已知：如图，点已知：如图，点D、点点E分分别是别是 ABC的边的边AB、AC的中点，连结的中点，连结DE。求证：求证：DE BC，DE=1/2BC BCEFAD析解：如图，延长析解：如图，延长DE到点到点F，使得使得EF=DE，连结连结FC。先证先证 ADE CFE（SAS），），可得四边形可得四边形DBCF是平行四边形。再是平行四边形。再由由DF BC且且DF=BC，又又DF=2DE，从而命题得证。从而命题得证。返回返回梯形复习提要l_叫做叫做梯形。梯形。l叫做叫做直角梯形。直角梯形

14、。l叫做叫做等腰梯形。等腰梯形。l等腰梯形的性质与识等腰梯形的性质与识别方法有哪些？别方法有哪些？回答问题C腰腰腰腰（上）底（上）底（下）底（下）底高高ABED继续梯形问题的转化方法（一）如如图图1 1：平移一腰平移一腰，它把梯形，它把梯形转化为平行四边形和三角形转化为平行四边形和三角形 如如图图2：作梯形的高作梯形的高，它把，它把梯形转化为矩形和两个直角三梯形转化为矩形和两个直角三角形角形 如如图图3：延长两腰延长两腰，把梯，把梯形转化为三角形形转化为三角形图1ABCDE图3ABCDE图2ABCDEF 如如图图5：连接上底一端点和一腰连接上底一端点和一腰的中点并延长，与下底的延长线相的中点并

15、延长，与下底的延长线相交交。通过构造全等三角形，把梯形。通过构造全等三角形，把梯形转化为与它面积相等的三角形转化为与它面积相等的三角形 如如图图4：平移对角线平移对角线，把梯形转，把梯形转化为平行四边形和三角形化为平行四边形和三角形 如如图图6：过一腰的中点作另一腰过一腰的中点作另一腰的平行线的平行线，把梯形转化为平行四，把梯形转化为平行四边形。边形。图6ABCDEF图5ABCDEF图4ABCED梯形问题的转化方法（二）多边形的内角和与外角和l内角和公式的推导（内角和公式的推导（化归思想化归思想的的运用）：运用）：从从一个顶点一个顶点出发可引出发可引n n边形边形的的_条条对角线对角线，它们把

16、，它们把n n边形分割边形分割为为_个个三角形三角形，则这，则这_个个三三角形的内角和角形的内角和就是就是n n边形的内角和边形的内角和。从。从而得到而得到n n边形的内角和公式：边形的内角和公式：_。A1A2A3A4A5A6n边形共有边形共有_条对角线。条对角线。多边形的外角和与边数有关系吗？多边形的外角和与边数有关系吗？思考继续n 3n 2n 2(n 2)180 n(n 3)/2巧用巧用多边形的内（外）角和定理多边形的内（外）角和定理解题解题一个多边形的每个内角都等于一个多边形的每个内角都等于144，求它的边数。（用外角和，求它的边数。（用外角和定理解题）定理解题）解：由同一顶点处的内外角

17、互补可知，这个多边形的解：由同一顶点处的内外角互补可知，这个多边形的每个外角每个外角为为180 144=36=36，又因为又因为外角和外角和为为360360 ，故边数为，故边数为360360 36 36=10=10.所以这个多边形有所以这个多边形有1010条边。条边。一个多边形的每个内角都等于一个多边形的每个内角都等于170，求这个多边形求这个多边形的边数。的边数。解：因为每个内角都等于解：因为每个内角都等于170170，所以每个外角都等于所以每个外角都等于1010；又因为多边形的外角和等于又因为多边形的外角和等于360360，故这个多边故这个多边形的边数为形的边数为360360 10=36.

18、10=36.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边倍，那么这个多边形是形是_边形。边形。析解：设边数为析解：设边数为n,则（则（n 2)2)180180=2=2360360,解这个方程得解这个方程得n=6.n=6.关于平面图形的镶嵌l用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片不留空隙、不重叠的铺成一片，就，就是平面图形的镶嵌。是平面图形的镶嵌。l判断一种多边形或几种多边形能否镶嵌，判断一种多边形或几种多边形能否镶嵌，关键关键是看是看几个多边

19、形的内角加在一块几个多边形的内角加在一块能否成为一个周角即能否成为一个周角即360（某些特殊情形例外）。某些特殊情形例外）。l镶嵌的一般形式：镶嵌的一般形式：围绕某一顶点铺满平面围绕某一顶点铺满平面 镶嵌的特殊情形：如长方形的的任意铺设镶嵌的特殊情形：如长方形的的任意铺设l能够镶嵌的图形，有的是能够镶嵌的图形，有的是规则的规则的，有的是，有的是不规则的不规则的。用三角形、四边形、正六边形都可以进行镶嵌。用三角形、四边形、正六边形都可以进行镶嵌。l多边形进行镶嵌的条件：拼接时，能在每个拼接点多边形进行镶嵌的条件：拼接时，能在每个拼接点处恰好拼成处恰好拼成平角平角或或周角周角。继续继续例说镶嵌（一

20、）l下列正多形可以进行镶嵌的是下列正多形可以进行镶嵌的是_.(填序号）填序号）正方形正方形 正五边形正五边形 正六边形正六边形 正八边形正八边形分析：分析：由于正方形的每一个内角都是由于正方形的每一个内角都是9090，而，而90904=3604=360 ，这表明围绕一点拼，这表明围绕一点拼4 4个正方形就能铺成无缝隙的平面图形，个正方形就能铺成无缝隙的平面图形，所以单独用正方形能够镶嵌。所以单独用正方形能够镶嵌。由于正五边形的每个内角都是（由于正五边形的每个内角都是（5 5 2 2）180 180 5=1085=108 ，不存在正整数不存在正整数n,n,使使108 108 n=360n=360

21、成立成立,所以单独所以单独用正五边形不能镶嵌。用正五边形不能镶嵌。因为正六边形的的每个内角都是因为正六边形的的每个内角都是（6 6一一2 2）180180 6=120 6=120，且且120120 3=360 3=360 ，所以单独用正六边形可，所以单独用正六边形可以进行镶嵌。以进行镶嵌。由于正八边形的每个内角都是（由于正八边形的每个内角都是（8 8一一2 2）180 180 8=135 8=135，不存在正整数不存在正整数n,n,使使135 135 n=360n=360成立，所以单独用成立，所以单独用正八边形也不能进行镶嵌。正八边形也不能进行镶嵌。继续继续例说镶嵌（二）l用边长相等的正方形、正三角形和正六边形组合用边长相等的正方形、正三角形和正六边形组合能否镶嵌？能否镶嵌？析解：若用正方形、正三角形和正六边形组合可析解：若用正方形、正三角形和正六边形组合可以进行镶嵌，设用以进行镶嵌，设用x块正三角形，块正三角形，y块正方形，块正方形，z块正六边形，则有块正六边形，则有60 x+90y+120z=360，即有即有2x+3y+4z=12,x、y、z均为正整数，所以有均为正整数，所以有x=1,y=2,z=1.所以用所以用2块正方形，块正方形，1块正三角形，块正三角形，和和1块正六边形组合可以镶嵌块正六边形组合可以镶嵌。返回