逻辑函数及简化.ppt

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1、第二章第二章 逻辑函数及简化逻辑函数及简化 主要内容主要内容2.1逻辑函数逻辑函数2.2逻辑函数的简化逻辑函数的简化12.1逻辑函数逻辑函数 逻逻辑辑代代数数（LogicAlgebra）是是由由英英国国数数学学家家乔乔治治布布尔尔(GeorgeBoole)于于1849年年首首先先提提出出的的，因因此此也也称称为为布布尔尔代代数数（Boolean Algebra）。逻逻辑辑代代数数研研究究逻逻辑辑变变量量间间的的相相互互关关系系，是是分分析析和和设设计计逻逻辑辑电电路路不不可可缺缺少少的的数数学学工工具具。所所谓谓逻逻辑辑变变量量，是是指指只只有有两两种种取取值值的的变变量量:真或假、高或低、真

2、或假、高或低、1或或0。2 2.1.1基本逻辑基本逻辑逻逻辑辑变变量量之之间间的的关关系系多多种种多多样样，有有简简单单的的也也有有复复杂杂的的，最最基基本本的的逻逻辑辑关关系系有有:与与逻逻辑辑(AND)、或或逻逻辑辑(OR)和非逻辑和非逻辑(NOT)三种。三种。1.与逻辑与逻辑只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，这样的逻辑关系称为与逻辑，或称逻辑相乘。才发生，这样的逻辑关系称为与逻辑，或称逻辑相乘。2.1逻辑函数逻辑函数 3 在在如如图图电电路路中中，只只有有当当开开关关S1和和S2同同时时接接通通时时，电电灯灯F才才会会亮亮。若

3、若以以S1、S2表表示示两两个个开开关关的的状状态态，以以F表表示示电电灯灯的的状状态态，用用1表表示示开开关关接接通通和和电电灯灯亮亮，用用0表表示示开开关关断断开开和和电电灯灯灭灭，则则只只有有当当S1和和S2同同时时为为1时时，F才才为为1，F与与S1和和S2之之间间是是一一种种与与的的逻逻辑辑关关系系。与与逻逻辑辑运运算算的的运运算算符符为为“”，写成，写成F=S12或或F=S1S2。逻逻辑辑变变量量之之间间取取值值的的对对应应关关系系可可用用一一张张表表来来表表示示，这这种种表表叫叫做做逻逻辑辑真真值值表表,简简称称真真值值表表。与与逻逻辑辑关关系系的的真真值值(Truth Tabl

4、e)表如表所示。表如表所示。与逻辑电路与逻辑电路 S1 S2F0 00 11 01 10001与逻辑的真值表与逻辑的真值表 2.1逻辑函数逻辑函数 42.或逻辑或逻辑在在决决定定某某事事件件的的诸诸多多条条件件中中，当当有有一一个个或或一一个个以以上上具具备备时时，该该事事件件都都会会发发生生，这这样样的的逻逻辑辑关关系系称称为为或或逻逻辑辑，或称逻辑相加。或称逻辑相加。在在如如图图电电路路中中，当当开开关关S1和和S2中中有有一一个个接接通通（S1=1或或S2=1）或或一一个个以以上上接接通通（S1=1且且S2=1）时时，电电灯灯F都都会会亮亮（F=1），因因此此F与与S1和和S2之之间间是

5、是一一种种或或的的逻逻辑辑关关系系。或或逻逻辑辑运运算算的的运运算算符符为为“+”，写写成成F=S1+S2。或或逻逻辑辑关系的真值表如表所示。关系的真值表如表所示。或逻辑电路或逻辑电路 或逻辑的真值表或逻辑的真值表 S1 S2F0 00 11 01 101112.1逻辑函数逻辑函数 53.非逻辑非逻辑在在只只有有一一个个条条件件决决定定某某事事件件的的情情况况下下，如如果果当当条条件件具具备备时时，该该事事件件不不发发生生；而而当当条条件件不不具具备备时时，该该事事件件反反而而发发生生，这这样样的的逻逻辑辑关关系系称称为为非非逻逻辑辑，也称为逻辑反。也称为逻辑反。在在如如图图电电路路中中，当当

6、开开关关S接接通通（S=1）时时，电电灯灯F不不亮亮（F=0），而而当当开开关关S断断开开（S=0）时时，电电灯灯F亮亮（F=1）。因因此此，F与与之之间间是是逻逻辑辑反反的的关关系系，写写成成F=。非非逻逻辑辑关关系的真值表如表所示。系的真值表如表所示。非逻辑的真值表非逻辑的真值表 SF0110非逻辑电路非逻辑电路 2.1逻辑函数逻辑函数 62.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算1 逻辑与逻辑与(与运算、与运算、逻辑乘逻辑乘)决决定定某某一一结结论论的的所所有有条条件件同同时时成成立立，结结论论才才成成立立，这这种种因因果果关关系系叫叫与逻辑，也叫与运算或叫逻辑乘。与逻辑，也叫与运算或叫逻辑乘。

7、例例如如，对对图图2-1所所示示电电路路的的功功能能作作如如下下描描述述：“开开关关A闭闭合合，并并且且开开关关B闭闭合合，则则电电灯灯F亮亮”。这这三三个个陈陈述述语语句句均均具具有有“真真”、“假假”两两种种可可能能，其其对对应应关关系系如如表表2-1(a)所所示示。用用“1”代代表表逻逻辑辑“真真”，用用“0”代代表表逻逻辑辑“假假”，则则表表2-1(a)可可改改为为表表2-1(b)的的形形式式。这这种种表表格格叫叫真真值值表表。所所谓谓真真值值表表，就就是是将将输输入入变变量量的的所所有有可可能能的的取取值值组组合合对对应应的的输输出变量的值一一列出来的表格。它是描述逻辑功能的一种重要

8、形式出变量的值一一列出来的表格。它是描述逻辑功能的一种重要形式图图 2 1 与门逻辑电路实例图与门逻辑电路实例图 7表表 2 1 逻辑与的真值表逻辑与的真值表(a)(b)A B FA BF假假假假假假真真真真假假真真真真假假假假假假真真000110110001图图 2 1 与门逻辑电路实例图与门逻辑电路实例图 8 由由表表2-1可可知知，上上述述三三个个语语句句之之间间的的因因果果关关系系属属于于与与逻辑。逻辑。其逻辑表达式其逻辑表达式(也叫逻辑函数式也叫逻辑函数式)为：为：F=AB读读作作“F等等于于A乘乘B”。在在不不致致于于混混淆淆的的情情况况下下，可可以以把把符符号号“”省省掉掉。在在

9、有有些些文文献献中中，也也采采用用、&等等符符号号来表示逻辑乘。来表示逻辑乘。由表由表2-1的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为：的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为：00=0 01=0 10=0 11=1 0A=0 1A=A AA=A9 实实现现“与与运运算算”的的电电路路叫叫与与门门，其其逻逻辑辑符符号号如如图图2-2所所示示，其其中中图图(a)是是我我国国常常用用的的传传统统符符号号，图图(b)为为国国外流行符号，图外流行符号，图(c)为国家标准符号。为国家标准符号。图图 2 2 与门的逻辑符号与门的逻辑符号 10 2 逻辑加逻辑加(或运算、或逻辑或运算、或逻辑)决决定定某某一一结结论论

10、的的所所有有条条件件中中，只只要要有有一一个个成成立立，则则结结论论就成立，这种因果关系叫或逻辑。就成立，这种因果关系叫或逻辑。例如，对图例如，对图2-1所示电路的功能，改作如下描述：所示电路的功能，改作如下描述：“开开关关A断断开开，开开关关B也也断断开开，则则电电灯灯F熄熄灭灭”。显显然然这这三三个个语语句句都都是是逻逻辑辑变变量量，分分别别记记作作A，B，F。其其真真值值表表如如表表2-2所示。所示。由由表表2-2可可知知，上上述述三三个个语语句句之之间间的的因因果果关关系系属属于于或或逻逻辑。辑。其逻辑表达式为：其逻辑表达式为：F=A+B 读作读作“F等于等于A加加B”。有些文献也采用

11、。有些文献也采用、等符号来表等符号来表示逻辑加。示逻辑加。11 由表由表2-2的真值表可知，逻辑加的运算规则为：的真值表可知，逻辑加的运算规则为：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 0+A=A 1+A=1 A+A=A 实现实现“或运算或运算”的电路叫或门，的电路叫或门，其逻辑符号如图其逻辑符号如图2-3所所示。示。表表 2 2或逻辑的真值表逻辑的真值表(a)(b)A B FA BF假假假假假假真真真真假假真真真真假假真真真真真真00011011011112图图 2 3 或门的逻辑符号或门的逻辑符号 13 3 逻辑非逻辑非(非运算，非运算，逻辑反逻辑反)若若前前提提条条件件为为“真真

12、”，则则结结论论为为“假假”；若若前前提提条条件件为为“假假”，则则结结论论为为“真真”。即即结结论论是是对对前前提提条条件件的的否定，否定，这种因果关系叫非逻辑。这种因果关系叫非逻辑。例如，对图例如，对图2-4所示电路的功能作如下描述：所示电路的功能作如下描述：“若开关若开关A断开，断开，则电灯则电灯F就亮就亮”。把以上两个陈述句分别记作把以上两个陈述句分别记作A、F，则其真值表如表，则其真值表如表2-3所示。所示。14图图 2 4 非门逻辑电路实例图非门逻辑电路实例图(a)(b)A FA F假假真真真真假假0110表表 2 3 非逻辑的真值表非逻辑的真值表 15 由由表表2-3的的真真值值

13、表表可可知知，上上述述两两个个语语句句之之间间的的因因果果关关系系属属于于非非逻逻辑辑，也也叫叫非非运运算算或或者者叫叫逻逻辑辑反反。其其逻逻辑辑表达式为：表达式为：读读作作“F等等于于A非非”。通通常常称称A为为原原变变量量，为为反反变变量量，二者共同称为互补变量。二者共同称为互补变量。完完成成“非非运运算算”的的电电路路叫叫非非门门或或者者叫叫反反相相器器，其其逻逻辑符号如图辑符号如图2-5所示。所示。16非运算的运算规则是：非运算的运算规则是：图图 2 5 非门的逻辑符号非门的逻辑符号(a)常用符号；常用符号；(b)国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符号国标符号 174 常用复合逻辑

14、常用复合逻辑 （1）“与非与非”逻辑逻辑 “与与非非”逻逻辑辑是是“与与”逻逻辑辑和和“非非”逻逻辑辑的的组组合合。先先“与与”再再“非非”。其表达式为其表达式为18图图 2 6 与非门的逻辑符号与非门的逻辑符号(a)常用符号；常用符号；(b)国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符国标符号号 实现实现“与非与非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“与非门与非门”。其逻其逻辑符号如图辑符号如图2-6所示。所示。19与非逻辑的真值表与非逻辑的真值表A BF0 00 11 01 1111020 （2）“或非或非”逻辑逻辑 “或非或非”逻辑是逻辑是“或或”逻辑和逻辑和“非非”逻辑的组合。逻辑的组合。先

15、先“或或”后后“非非”。其表达式为：其表达式为：21 实现实现“或非或非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“或非门或非门”。其逻。其逻辑符号如图辑符号如图2-7所示。所示。图图 2 7 或非门的逻辑符号或非门的逻辑符号(a)常用符号；常用符号；(b)国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符号国标符号 22或非逻辑的真值表或非逻辑的真值表A BF0 00 11 01 1100023 （3）“与或非与或非”逻辑逻辑 “与与或或非非”逻逻辑辑是是“与与”、“或或”、“非非”三三种种基基本本逻逻辑辑的的组组合合。先先“与与”再再“或或”最最后后“非非”。其其表表达式为：达式为：24 实现实现“与或非与

16、或非”逻辑运算的电路叫逻辑运算的电路叫“与或非门与或非门”。其逻辑符号如图其逻辑符号如图2-8所示。所示。图图 2 8 与或非门的逻辑符号与或非门的逻辑符号(a)常用符号；常用符号；(b)国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符号国标符号25与或非逻辑的真值表与或非逻辑的真值表ABFCD0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 026 （4）“异或异或”

17、逻辑及逻辑及“同或同或”逻辑逻辑 两变量的两变量的“异或异或”及及“同或同或”逻辑逻辑 若若两两个个输输入入变变量量A、B的的取取值值相相异异，则则输输出出变变量量F为为1；若若A、B的的取取值值相相同同，则则F为为0。这这种种逻逻辑辑关关系系叫叫“异异或或”逻辑，其逻辑表达式为：逻辑，其逻辑表达式为：读作读作“F等于等于A异或异或B”。“异或异或”运算也叫运算也叫“模模2加加”运运算。算。ABF1 01 10 10 0110027 实现实现“异或异或”运算的电路叫运算的电路叫“异或门异或门”。其逻辑其逻辑符号如图符号如图2-9所示。所示。图图 2 9 异或门的逻辑符号异或门的逻辑符号(a)常

18、用符号；常用符号；(b)国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符号国标符号 28 若若两两个个输输入入变变量量A、B的的取取值值相相同同，则则输输出出变变量量F为为1；若若A、B取取值值相相异异，则则F为为0。这这种种逻逻辑辑关关系系叫叫“同同或或”逻辑，也叫逻辑，也叫“符合符合”逻辑。逻辑。其逻辑表达式为：其逻辑表达式为：ABF1 01 10 10 0001129 实现实现“同或同或”运算的电路叫运算的电路叫“同或门同或门”。其逻辑其逻辑符号如图符号如图2-10所示。所示。0 0=10 1=01 0=01 1=1图图 2 10 同或门的逻辑符号同或门的逻辑符号(a)常用符号；常用符号；(b)

19、国外流行符号；国外流行符号；(c)国标符号国标符号(c)30此外，此外，常用异或和同或运算公式常用异或和同或运算公式(A的个数为偶数的个数为偶数)(A的个数为奇数的个数为奇数)315.常见逻辑运算常见逻辑运算除除了了与与、或或、非非三三种种最最基基本本的的逻逻辑辑运运算算外外，常常见见的的复复合合逻逻辑辑运运算算有有:与与非非、或或非非、异异或或、同同或或、与与非非与与非非、或或非非或或非非等等，这这些些运运算算的表达式如下的表达式如下:以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算与非表达式与非表达式:或非表达式或非

20、表达式:异或表达式异或表达式:同或表达式同或表达式:与非与非表达式与非与非表达式:或非或非表达式或非或非表达式:32与非逻辑的真值表与非逻辑的真值表A BF0 00 11 01 111102.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算33或非逻辑的真值表或非逻辑的真值表 A BF0 00 11 01 110002.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算34A BF0 00 11 01 10110异或逻辑的真值表异或逻辑的真值表 2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算35A BF0 00 11 01 11001同或逻辑的真值表同或逻辑的真值表 2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算36与非与非逻辑的真值表与非与非逻辑的真值

21、表 2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算37或非或非逻辑的真值表或非或非逻辑的真值表 2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算386门电路门电路输输出出和和输输入入之之间间具具有有一一定定逻逻辑辑关关系系的的电电路路称称为为逻逻辑辑门门电电路路，简简称称门门电电路路。常常用用的的门门电电路路有有与与门门、或或门门、非非门门、与与非非门门、或或非非门门、与与或或非非门门、异异或或门门、同同或或门门等等，它它们们的逻辑符号如图所示。的逻辑符号如图所示。2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算常用门电路的逻辑符号常用门电路的逻辑符号 391.逻辑函数逻辑函数定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。定理：任何逻辑关系

22、都可表示为逻辑函数。输入逻辑变量输入逻辑变量A、B、C输出运算结果输出运算结果YYA、B、C，记为，记为Y=F(A,B,C）如果如果A、B、C和和Y只取只取0、1两个值，则叫二值逻辑函数。两个值，则叫二值逻辑函数。例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。A和和B分别是楼分别是楼下、楼上的两个单刀双掷开关，下、楼上的两个单刀双掷开关，P为楼道灯，任何时候均可在楼下为楼道灯，任何时候均可在楼下或楼上开关楼道灯。或楼上开关楼道灯。若用若用1表示开关掷上，用表示开关掷上，用0表示开关掷下，用表示开关掷下，用1表示灯亮，用表示灯亮，用0表表示灯灭，则灯示灯灭，

23、则灯P是开关是开关A，B的二值逻辑函数，即：的二值逻辑函数，即：P=F（A、B）2.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 402.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法ABF000110111001真值表真值表逻辑表达式逻辑表达式F=AB+ABF=(A+B)(A+B)从真值表写逻辑函数的标准式从真值表写逻辑函数的标准式1)从真值表写标准从真值表写标准与或表达式（与或表达式（积之和式）积之和式）(1)找出找出F=1的行；的行；(2)对每个对每个F=1的行，的行，取值为取值为1的变量用原变量表示，的变量用原变量表示，取值为取值为0的变量用反变的变量用反变量表示，然后取其乘积；量表

24、示，然后取其乘积；(3)将各个最小项进行逻辑加得到标准将各个最小项进行逻辑加得到标准与或表达式与或表达式，称称“积之和积之和”逻辑表达式逻辑表达式。F=AB+AB412.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2)从真值表写标准或与从真值表写标准或与表达式（表达式（和之积式）和之积式）标准和之积式中的最大项与真值表中标准和之积式中的最大项与真值表中F=0的各行变量取值一一对应，的各行变量取值一一对应，因此，逻辑函数的标准和之积式就是真值表中使函数值为因此，逻辑函数的标准和之积式就是真值表中使函数值为0的各个项之积。的各个项之积。由此得出从真值表写标准和之积式的方法如下：由此得出从真值表写

25、标准和之积式的方法如下：(1)找出找出F=0的行；的行；(2)对每个对每个F=0的行，的行，取值为取值为0的变量用原变量表示，的变量用原变量表示，取值为取值为1的变量用的变量用反变量表示，反变量表示，然后取其和；然后取其和；(3)将各个最大项进行逻辑乘得到标准或与将各个最大项进行逻辑乘得到标准或与表达式表达式，称称“和之积和之积”逻辑逻辑表达式表达式。F=(A+B)(A+B)422.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻逻辑辑函函数数常常用用的的描描述述方方法法有有函函数数式式、真真值值表表、卡卡诺诺图图和和逻辑图等。逻辑图等。1).函数式函

26、数式 由由逻逻辑辑变变量量和和逻逻辑辑运运算算符符号号组组成成，用用于于表表示示变变量量之之间间逻逻辑辑关关系系的的式式子子，称称为为逻逻辑辑函函数数式式。常常用用的的逻逻辑辑函函数数式式有有与与或或表表达达式式、标标准准与与或或表表达达式式、或或与与表表达达式式、标标准准或或与与表表达达式式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。43与或表达式与或表达式:标准与或表达式标准与或表达式:或与表达式或与表达式:标准或与表达式标准或与表达式:与非与非表达式与非与非表达式:或非或非表达式或非或非表达式:与或非表达式与或非表达式:2.1.3逻辑

27、函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法442).真值表真值表 用用来来反反映映变变量量所所有有取取值值组组合合及及对对应应函函数数值值的的表表格格，称称为为真真值值表表。例例如如，在在一一个个判判奇奇电电路路中中，当当A、B、C三三个个变变量量中中有有奇奇数数个个1时时，输输出出F为为1；否否则则，输输出出F为为0。可可列列出出下下表表所所示示的的真值表。真值表。2.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法45判奇电路的真值表判奇电路的真值表A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1011010012.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其

28、表示方法标准与或（积之和）标准与或（积之和）逻辑表达式逻辑表达式F=ABC+ABC+ABC+ABC标准或与（和之积）标准或与（和之积）逻辑表达式逻辑表达式F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)463).逻辑图逻辑图 由由逻逻辑辑门门电电路路符符号号构构成成的的，用用来来表表示示逻逻辑辑变变量量之之间间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。如图为函数关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。如图为函数 的逻辑图。的逻辑图。函数函数F的逻辑图的逻辑图 2.1.3逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法471.逻辑函数相等逻辑函数相等 定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变

29、量定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量F和和G的值都的值都相同，则称相同，则称F和和G是等值的，即是等值的，即F=G。由定义可知：由定义可知：F和和G的真值表相同的真值表相同F=G 例例2-2(P23)2.1.4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式 2逻辑函数基本公式逻辑函数基本公式48 公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B +A(A B)C=A

30、 (B C)(A+B)+C=A+(B+C)自等律自等律A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)A 0=0 A+1=1A 1=A A+0=AA A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B=A+B A+B=AB A=A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+A B=A (A+B)(A+B)=A A+A B=A A (A+B)=AA+A B=A+B A (A+B)=A B AB+A C+BC=AB+A C(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)2.1.4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式 49逻辑代数的运算公式和规

31、则逻辑代数的运算公式和规则反演律反演律调换律调换律若若A B=C则有则有A C=BB C=A若若A B=C则有则有A C=BB C=A501.代入规则代入规则在在一一个个逻逻辑辑等等式式两两边边出出现现某某个个变变量量（或或表表示示式式）的的所所有有位位置置都都代代入入另另一一个个变变量量（或或表表达达式式），则则等等式式仍然成立。仍然成立。例例如如:已已知知，在在等等式式两两边边出出现现B的的所所有位置都代入有位置都代入BC，则等式仍然成立，即，则等式仍然成立，即2.1.5逻辑函数三个规则逻辑函数三个规则 512.反演规则反演规则对对一一个个逻逻辑辑函函数数F进进行行如如下下变变换换:将将所

32、所有有的的“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，原原变变量量换换成成反反变变量量，反反变变量量换换成成原原变变量量，则得到函数则得到函数F的反函数的反函数。使使用用反反演演规规则则时时，要要注注意意以以下下两两点点:保保持持原原函函数数中中逻逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。例如例如:则则 2.1.5逻辑函数三个规则逻辑函数三个规则523.对偶规则对偶规则对对一一个个逻逻辑辑函函数数F进进行行如如下下变变变变换换换换:将将将将所所所所有有有有的的的的“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0

33、”换换成成“1”，“1”换成换成“0”，则得到函数，则得到函数F的对偶函数的对偶函数F。例如。例如:F1=A(B+C)，F1*=A+BCF2=AB+AC，F2*=(A+B)(A+C)如如果果两两个个函函数数相相等等，则则它它们们的的对对偶偶函函数数亦亦相相等等。这就是对偶规则。这就是对偶规则。例如例如例如例如:已知已知已知已知A(B+C)=AB+AC则则A+BC=(A+B)(A+C)2.1.5逻辑函数三个规则逻辑函数三个规则53下下面面列列出出一一些些常常用用的的逻逻辑辑函函数数公公式式，利利用用前前面面介介绍的基本公式可以对它们加以证明。绍的基本公式可以对它们加以证明。（1）A+AB=A证明

34、证明:A+AB=A1+AB=A(1+B)=A1=A 公公式式的的含含义义是是:在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个与与项项是是另另一一个个与与项项的的一一个个因因子子，则则另另一一个个与与项项可可以以不不要要。这一公式称为吸收律。例如这一公式称为吸收律。例如:2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式 542.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式55证明证明:2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式（3）56 公式的含义是公式的含义是:在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个与与项项的的反反是是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。另一个与项的一个因子，

35、则这个因子可以不要。例如例如:2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式57 公式的含义是公式的含义是:在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个与与项项中中的的一一个个因因子子的的反反是是另另一一个个与与项项的的一一个个因因子子，则则由由这这两两个个与与项项其其余余的的因子组成的与项是可要可不要的。因子组成的与项是可要可不要的。2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式证明证明:（4）582.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式例如例如:59（5）2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式证明证明:60 公公式式的的含含义义是是:在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一

36、一个个与与项项中中的的一一个个因因子子的的反反是是另另一一个个与与项项的的一一个个因因子子，则则包包含含这这两两个个与与项项其其余余因因子子作作为为因因子的与项是可要可不要的。子的与项是可要可不要的。例如例如:2.1.6逻辑函数常用公式逻辑函数常用公式61最小项：最小项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项m m0 0m m1 100000101m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567n n个个变变量量的的逻逻辑辑函函

37、数数中中，包包括括全全部部n n个个变变量量的的乘乘积积项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次）一、最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变量取值看成二进制数，量取值看成二进制数，对应的十进制数对应的十进制数620 0 1A B CA B C0 0 0m m0 0m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11

38、 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质：同同一一组组变变量量取取值值任任意意两两个个不不同同最最小小项项的的乘积乘积为为0。即。即mi mj=0 (ij)全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小最小 项的项的值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为063 最大项最大项n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i in n个个变变量量的的逻逻辑辑函函数数中中，包包括

39、括全全部部n n个个变变量量的的和和项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量量或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次）同同一一组组变变量量取取值值任任意意两两个个不不同同最最大大项项的的和和为为1。即。即Mi+Mj=1 (ij)全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任任意意一一组组变变量量取取值值，只只有有一一个个最最大大 项项的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1最大项：最大项：最大项的性质：最大项的性质：64 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即:mi=Mi

40、 Mi=mi 若若干干个个最最小小项项之之和和表表示示的的表表达达式式F，其其反反函函数数F可可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。例：例：m1m3m5m7=65 标准积之和标准积之和(最小项）表达式最小项）表达式式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(AF(A、B B、C C、D)D)例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B、C)C)利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量CA B CA B C0 0 00 0 10 1

41、 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从从真真值值表表找找出出F为为1的对应最小项的对应最小项解解:0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)66关于最小项和最大项的小结关于最小项和最大项的小结1)最小项和最小项表达式最小项和最小项表达式 1.最小项最小项 n个个变变量量的的最最小小项项是是n个个变变量

42、量的的“与与项项”，其其中中每每个个变变量量都以原变量或反变量的形式出现一次。都以原变量或反变量的形式出现一次。2.1.7 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式67表表 2-8 三变量逻辑函数的最小项三变量逻辑函数的最小项 68最小项具有以下性质：最小项具有以下性质：n变量的全部最小项的逻辑和恒为变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即，即 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0，即即 n变量的每一个最小项有变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，三个相邻项。例如，三变量的某一最小项变量的某一最小项有三个相邻项：有三个相邻项：。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。这种相邻

43、关系对于逻辑函数化简十分重要。69 2.最小项表达式最小项表达式标准与或式标准与或式 如如果果在在一一个个与与或或表表达达式式中中，所所有有与与项项均均为为最最小小项项，则则称称这这种种表表达达式式为为最最小小项项表表达达式式，或或称称为为标标准准与与或或式式、标标准准积积之之和式。和式。例如：例如：是一个三变量的最小项表达式，是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为它也可以简写为 70 任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都可可以以表表示示为为最最小小项项之之和和的的形形式式：只只要要将将真真值值表表中中使使函函数数值值为为1的的各各个个最最小小项项相相或或，便便可可得得出出该该函函数数的的

44、最最小小项项表表达达式式。由由于于任任何何一一个个函函数数的的真真值值表表是是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。表表 2-9 真值表真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10110100171 从从真真值值表表可可知知，当当A、B、C取取值值分分别别为为001、010、100、111时时，F为为1，因因此此最最小小项项表表达达式式由由这这四四种种组组合合所所对对应的最小项进行相或构成，即应的最小项进行相或构成，即 表表 2-10 三变量逻辑函数的最大项三变量逻辑函数的最大项 72 2)最大项和

45、最大项表达式最大项和最大项表达式 1.最大项最大项 n个个变变量量的的最最大大项项是是n个个变变量量的的“或或项项”，其其中中每每一一个个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。变量都以原变量或反变量的形式出现一次。n个个变变量量可可以以构构成成2n个个最最大大项项。最最大大项项用用符符号号Mi表表示示(见见表表2-10)。与与最最小小项项恰恰好好相相反反，对对于于任任何何一一个个最最大大项项，只只有一组变量取值使它为有一组变量取值使它为0，而变量的其余取值均使它为，而变量的其余取值均使它为1。例如，或项例如，或项仅和变量取值仅和变量取值101对应，故用对应，故用M5表示。表示。73最大项具有以

46、下性质：最大项具有以下性质：n变量的全部最大项的逻辑乘恒为变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，即，即 n变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于1，即，即 n变变量量的的每每个个最最大大项项有有n个个相相邻邻项项。例例如如，三三变变量量的的某一最大项某一最大项 有三个相邻项：有三个相邻项：742.最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系 变变量量数数相相同同，编编号号相相同同的的最最小小项项和和最最大大项项之之间间存存在在互互补关系，即补关系，即 例如：例如：75 3.最大项表达式最大项表达式标准或与式标准或与式 在在一一个个或或与与式式中中，如如果

47、果所所有有的的或或项项均均为为最最大大项项，则则称称这这种种表表达达式式为为最最大大项项表表达达式式，或或称称为为标标准准或或与与式式、标标准准和和之之积积表达式。表达式。如如果果一一个个逻逻辑辑函函数数的的真真值值表表已已给给出出，要要写写出出该该函函数数的的最最大大项项表表达达式式，可可以以先先求求出出该该函函数数的的反反函函数数 ，并并写写出出 的的最最小小项项表表达达式式，然然后后将将 再再求求反反，利利用用mi和和Mi的的互互补补关关系系便便得到最大项表达式。例如，已知表得到最大项表达式。例如，已知表2-11的真值表，可得的真值表，可得 76表表 2-11 真值表真值表 A B C

48、F F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 01 00 10 11 01 00 10 1可见，最大项表达式是真值表中使可见，最大项表达式是真值表中使函数值为函数值为0的各个最大项相与。的各个最大项相与。得得出出结结论论：任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数既既可可以以用用最最小小项项表表达达式式表表示示，也也可可以以用用最最大大项项表表达达式式表表示示。如如果果将将一一个个n变变量量函函数数的的最最小小项项表表达达式式改改为为最最大大项项表表达达式式时时，其其最最大大项项的的编编号号必必定定都都不不是是最最小小项项的的编号，编号，而且这些最小项的个数和

49、最大项的个数之和为而且这些最小项的个数和最大项的个数之和为2n。77 【例】写出函数【例】写出函数的标准与或表达式。的标准与或表达式。也可以写成也可以写成 或或 2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式解解:78 从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少n个变量，则生成个变量，则生成2n个最小项。个最小项。由由真真值值表表求求函函数数的的标标准准与与或或表表达达式

50、式时时，找找出出真真值值表表中中函函数数值值为为1的的对对应应组组合合，将将这这些些组组合合对对应应的的最最小小项相或即可。项相或即可。2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式79【例】【例】写出函数写出函数的标准或与表达式。的标准或与表达式。解解:2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 从上面例子可以看出，一个或项如果缺少一个变量，从上面例子可以看出，一个或项如果缺少一个变量，则生成两个最大项；一个或项如果缺少两个变量，则生成则生成两个最大项；一个或项如果缺少两个变量，则生成四个最大项；如此类推，一个或项如果缺少四个最大项；如此类推，一个或项如果缺少n个变量，则个变量，则生成生