图与网络分析GraphTheoryandNetworkAnaly.ppt

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1、图与网络分析图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)图与网络的基本知识图与网络的基本知识最短路问题最短路问题 树及最小树问题树及最小树问题最大流问题最大流问题最小费用最大流问题最小费用最大流问题BDACABCD哥尼斯堡七空哥尼斯堡七空桥一笔画一笔画问题一、一、图与网络的基本知识图与网络的基本知识（一）、（一）、图与网与网络的基本概念的基本概念 EADCB1、一个、一个图是由点和是由点和连线组成。（成。（连线可可带箭箭头，也可，也可不不带，前者叫弧，后者叫，前者叫弧，后者叫边）一一个个图是是由由点点集集 和和 中中元元素素的的无无序序对的的一一个个集集合合 构构

2、成成的的二二元元组，记为G=(V，E)，其其中中 V 中中的的元元素素 叫叫做做顶点点，V 表表示示图 G 的的点点集集合合；E 中的元素中的元素叫做叫做边，E表示表示图 G 的的边集合。集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例例图1 2 2、如如果果一一个个图是是由由点点和和边所所构构成成的的，则称称其其为无无向向图，记作作G=(V，E)，连接点的接点的边记作作 vi,vj，或者或者 vj,vi。33、如果一个、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它是由点和弧所构成的，那么称它为有向有向图，记作作D=(V,A)，其中其中V 表示有向表示有向图D 的点集合，的

3、点集合，A 表示有向表示有向图D 的弧的弧集合。一条方向从集合。一条方向从vi指向指向vj 的弧，的弧，记作作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V=v1,v2,v3,v4,v5,v6，A=(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)图244、一条、一条边的两个端点是相同的的两个端点是相同的,那么称那么称为这条条边是是环。55、如果两个端点之、如果两个端点之间有两条以上的有两条以上的边，那么称，那么称为它它们为多重多重边。66、一个无、一个无环，无多重，无多重边的的图称称为简单图，一个无，一个无环，有多重有多

4、重边的的图称称为多重多重图。7、每一、每一对顶点点间都有都有边相相连的无向的无向简单图称称为完全完全图。有向完全有向完全图则是指任意两个是指任意两个顶点之点之间有且有且仅有一条有有一条有向向边的的简单图。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度度为零的点称零的点称为弧立点，度弧立点，度为1 1的点称的点称为悬挂点。挂点。悬挂挂点的关点的关联边称称为悬挂挂边。度。度为奇数的点称奇数的点称为奇点，度奇点，度为偶偶数的点称数的点称为偶点。偶点。88、以点、以点v为端点的端点的边的个数称的个数称为点点v 的度（次），的度（次），记作作。图中中 d(v1)=4，d(v6)=4

5、（环计两度两度）9999、设设 GG1 1=（VV1 1,E,E1 1），），），），GG2 2=（VV2 2,E,E2 2）如果如果 V2 V1,E2 E1 称称 G2 是是G1 的子的子图；如果；如果 V2=V1,E2 E1 称称 G2是是 G1的部分的部分图或支撑子或支撑子图。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子子图v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撑子支撑子图在在实际应用中，用中，给定一个定一个图G=（V，E）或有向或有向图D=（V，A），在在V中指定两个点，一个

6、称中指定两个点，一个称为始点始点（或（或发点），点），记作作v1，一个称一个称为终点（或收点），点（或收点），记作作vn，其余的点称其余的点称为中中间点。点。对每一条弧每一条弧，对应一个数一个数，称，称为弧上的弧上的“权”。通常把。通常把这种种赋权的的图称称为网网络。1010、由两两相、由两两相邻的点及其相关的点及其相关联的的边构成的点构成的点边序列序列称称为链。如如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,vn-1,en，vn，记作（作（v0，v1，v2，v3 ,vn-1，vn），），e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e101111、图中任意两点之中任意两点之间均

7、至少有一条通路，均至少有一条通路，则称此称此图为连通通图，否，否则称称为不不连通通图。其其链长为 n，其中其中 v0，vn 分分别称称为链的起点和的起点和终点点。若。若链中所含的中所含的边均不相同，均不相同，则称此称此链为简单链；所含的；所含的点均不相同的点均不相同的链称称为初等初等链,也称通路。也称通路。（二）、（二）、图的矩的矩阵表示表示对于网于网络（赋权图）G=（V，E），其中其中边有有权，构造矩，构造矩阵，其中：，其中：称矩称矩阵A为网网络G的的权矩矩阵。设图G=（V，E）中中顶点的个数点的个数为n，构造一个构造一个矩矩阵，其中：，其中：称矩称矩阵A为网网络G的的邻接矩接矩阵。例例权矩

8、矩阵为：邻接矩接矩阵为：v5v1v2v3v4v64332256437二、二、树及最小及最小树问题 已已知知有有六六个个城城市市，它它们之之间 要要架架设电话线，要要求求任任意意两个城市均可以互相通两个城市均可以互相通话，并且，并且电话线的的总长度最短。度最短。v1v2v3v4v5v611、一个、一个连通的无圈的无向通的无圈的无向图叫做叫做树。树中次中次为1 1的点称的点称为树叶，次大于叶，次大于1 1的点称的点称为分支点。分支点。树的性的性质：（1 1）树必必连通，但无回路（圈）。通，但无回路（圈）。（2）n个个顶点的点的树必有必有n-1条条边。（3 3）树中任意两个中任意两个顶点之点之间，恰

9、有且，恰有且仅有一条有一条链（初等（初等链）。）。（4 4）树连通，但去掉任一条通，但去掉任一条边，必必变为不不连通。通。（5 5）树无回路（圈），但不相无回路（圈），但不相邻的两个点之的两个点之间加一条加一条边，恰得到一个回路（圈）。，恰得到一个回路（圈）。v1v2v3v4v5v622、设图是是图G=(V,E)的一支撑子的一支撑子图，如果如果图是一个是一个树,那么称那么称K 是是G 的一个生成的一个生成树（支撑（支撑树），或），或简称称为图G 的的树。图G中属于生成中属于生成树的的边称称为树枝，不在生成枝，不在生成树中的中的边称称为弦。弦。一个一个图G 有生成有生成树的充要条件是的充要条件是

10、G是是连通通图。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v5用破圈法求出下用破圈法求出下图的一个生成的一个生成树。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8（一）（一）破圈法破圈法（二）（二）避圈法避圈法 在图中任取一条边在图中任取一条边e1，找一条与找一条与e1不构成圈的边不构成圈的边e2，再找一条与再找一条与e1，e2不构成圈的边不构成圈的边e3。一般设已有一般设已有e1，e2，ek，找一条与找一条与e1，e2，ek中任何一中任何一些边不构成圈的边些边不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进

11、行重复这个过程，直到不能进行为止。为止。v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v53 3、最小生成、最小生成树问题 如如果果图 是是图G的的一一个个生生成成树，那那么么称称E1上上所所有有边的的权的的和和为生生成成树T 的的权，记作作S(T)。如如果果图G的的生生成成树T*的的权S(T*)，在在G 的所有生成的所有生成树T 中的中的权最小，即最小，即那么称那么称T*是是G 的最小生成的最小生成树。某六个城市之某六个城市之间的道路网如的道路网如图 所示，要求沿着已知所示，要求沿着已知长度的道路度的道路联结六个城市的六个城市的电话线网，

12、使网，使电话线的的总长度最度最短。短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v612344v1v2v3v4v514231352 最短路的一般提法为：设 为连通图，图中各边 有权 （表示 之间没有边），为图中任意两点，求一条路 ，使它为从 到 的所有路中总权最短。即：最小。(一一)、狄克斯屈拉狄克斯屈拉(Dijkstra)算法算法适用于wij0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。三三、最短路、最短路问题算法步骤：算法步骤：1.给始点vs以P标号 ，这表示从vs到 vs的最短距离为0，其余节点均给T标号，。2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 ，且v

13、j为T标号。对vj的T标号进行如下修改：3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。例一、例一、用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421 解解 （1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。（2）（3）（4）v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追踪得v1到v6的最短路为：237184566134105275934682求从求从1到到8的最短路径的最短路径2371845661341

14、05275934682X=1,w1=0min c12,c14,c16=min 0+2,0+1,0+3=min 2,1,3=1X=1,4,p4=1p4=1p1=0237184566134105275934682X=1,4min c12,c16,c42,c47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4,p2=2p1=0p4=1p2=2237184566134105275934682X=1,2,4min c13,c23,c25,c47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3X=1,2,4,6,p6=3p2=2p4=1p1=0p6

15、=3237184566134105275934682X=1,2,4,6min c23,c25,c47,c67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3X=1,2,4,6,7,p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3237184566134105275934682X=1,2,4,6,7min c23,c25,c75,c78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6X=1,2,4,5,6,7,p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6237184566134105275934682X=1,2,4,6,7min c23,c5

16、3,c58,c78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7,p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8237184566134105275934682X=1,2,3,4,6,7min c38,c58,c78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5,6,7,8,p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10237184566134105275934682X=1,2,3,4,6,7,81到8的最短路径为1，4，7，5，8，长度为10。p2

17、=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10求从求从V1 到到 V8 的最短路的最短路线。V1V2V3V4V5V6V7V8P=0T=+T=+T=+T=+T=+T=+T=+P=T=3T=+T=7T=+T=+T=+T=+T=6T=7P=T=5T=+T=+T=+P=T=6T=6T=8T=+T=+P=T=6T=8T=9T=12P=T=8T=10T=10P=T=9T=11再无其它再无其它T标号，所以号，所以T(V8)=P(V8)=10;minL()=10P=T=10由此看到，此方法不仅求出了从由此看到，此方法不仅求出了从V1到到V8的最短路的最短路长，同时也求出了从长，同时也求出了从V

18、1到到任意一点任意一点的最短路长。将从的最短路长。将从V1到到任一点的最短路权标在图上，即可求出从任一点的最短路权标在图上，即可求出从V1到到任任一点的最短路线。本例中一点的最短路线。本例中V1到到V8的最短路线是：的最短路线是：v1v2v5v6v8623121641036234210（二）、（二）、逐次逼近法逐次逼近法算法的基本思路与步骤：首先设任一点vi到任一点vj都有一条弧。显然，从v1到vj的最短路是从v1出发，沿着这条路到某个点vi再沿弧(vi,vj)到vj。则v1到vi的这条路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。设P1j表示从v1到vj的最短路长，P1i表示从v1到vi的最短路长

19、，则有下列方程：开始时，令 即用v1到vj的直接距离做初始解。从第二步起，使用递推公式：求 ，当进行到第t步，若出现则停止计算，即为v1到各点的最短路长。例二、例二、18v1v2v3v4v52635135211211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-230000v2602-1-5-5-5v3-30-51-2-2-2-2v48023-7-7-7v5-101-3-3v61017-1-1-1v7-105-5-5v8-3-5066求求图中中v1到到各点的最短路各点的最短路18v1v2v3v4v52635135211211v6v7v837（0，0

20、）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）例三、求：例三、求：5 5年内，哪些年初年内，哪些年初购置新置新设备，使，使5 5年内的年内的总费用最用最小。小。解：（解：（1 1）分析：可行的）分析：可行的购置方案（更新置方案（更新计划）是很多的，划）是很多的，如：如：11）每年每年购置一台新的，置一台新的，则对应的的费用用为：11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=84 22)第第一一年年购置置新新的的，一一直直用用到到第第五五年年年年底底，则总费用用为：11+5+6+8+11+18=59显然不同的方案然不同的方案对应不同的不同的

21、费用。用。第第i年度年度 12345购置置费1111121213设备役役龄0-11-22-33-44-5维修修费用用 5681118（2 2）方方法法：将将此此问题用用一一个个赋权有有向向图来来描描述述，然然后后求求这个个赋权有向有向图的最短路。的最短路。求解步求解步骤：11）画）画赋权有向有向图：设 Vi 表表示示第第i年年初初，(Vi,Vj)表表示示第第i 年年初初购买新新设备用用到到第第j年年初初（j-1年年底底），而而Wi j 表表示示相相应费用用，则5 5年年的一个更新的一个更新计划相当于从划相当于从V1 到到V6的一条路。的一条路。22）求解）求解（标号法）号法）W12=11+5=

22、16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6+8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31例四、例四、某工厂使用一种某工厂使用一种设备，这种种设备在一定的年限内在一定的年限内随着随着时间的推移逐的推移逐渐损坏。所以工厂在每年年初都要决定坏。所以工厂在每年年初都要决定设备是否更新。若是否更新

23、。若购置置设备，每年需支付，每年需支付购置置费用；若用；若继续使使用旧用旧设备，需要支付，需要支付维修与运行修与运行费用，而且随着用，而且随着设备的老化的老化会逐年增加。会逐年增加。计划期（五年）内中每年的划期（五年）内中每年的购置置费、维修修费与与运行运行费如表所示，工厂要制定今后五年如表所示，工厂要制定今后五年设备更新更新计划，划，问采采用何种方案才能使包括用何种方案才能使包括购置置费、维修修费与运行与运行费在内的在内的总费用最小。用最小。年份年份1 12 23 34 45 5购置费购置费18182020212123232424使用年数使用年数0 01 11 12 22 23 33 34

24、44 45 5维修费维修费5 57 7121218182525年份年份1 12 23 34 45 5购置费购置费18182020212123232424使用年数使用年数0 01 11 12 22 23 33 34 44 45 5维修费维修费5 57 712121818252528v1v2v3v4v5v62325262930426085324462334530四、四、最大流问题最大流问题（一）、（一）、基本概念基本概念1、设设一一个个赋赋权权有有向向图图D=（V,E）,在在V中中指指定定一一个个发发点点vs和和一一个个收收点点vt,其其它它的的点点叫叫做做中中间间点点。对对于于D中中的的每每一一

25、个个弧弧（vi,vj）E,都都有有一一个个非非负负数数cij,叫叫做做弧弧的的容容量量。我我们们把这样的图把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做叫做一个容量网络，简称网络，记做D=（V，E，C）。）。网络网络D上的流，是指定义在弧集合上的流，是指定义在弧集合E上的一个函数上的一个函数其中其中f(vi,vj)=fij 叫做弧叫做弧(vi，vj)上的流量。上的流量。2、称满足下列条件的流为可行流：（1）容量条件：对于每一个弧（vi,vj）E有 0 fij cij。（2）平衡条件：对于发点vs，有对于收点vt，有对于中间点，有可行流中 fijcij 的弧叫做饱和弧，fijcij的弧叫做非饱和弧

26、。fij0 的弧为非零流弧，fij0 的弧叫做零流弧。13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)图中中为零流弧，其余零流弧，其余为非非饱和弧。和弧。3、容量网络G，若 为网络中从vs到vt的一条链，给 定向为从vs到vt，上的弧凡与 方向相同的称为前向弧，凡与 方向相反的称为后向弧，其集合分别用 和 表示。f 是一个可行流，如果满足：则称 为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。推论推论 可行流f 是最大流的充分必要条件是不存在从vs到vt 的关于f 的一条可增广链。即即中的每一条弧都是非中的每一条弧都是非饱和弧和弧即即中的每一条弧都是

27、非零流弧中的每一条弧都是非零流弧13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一个增广是一个增广链显然然图中增广中增广链不止一条不止一条 4、容量网络G=（V，E，C），vs为始点，vt为终点。如果把V分成两个非空集合 使 ，则所有始点属于S，而终点属于 的弧的集合，称为由S决定的截集,记作 。截集 中所有弧的容量之和，称为这个截集的容量，记为 。vsv1v2v4v3vt374556378S13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)设，则截集截集为容量容量为2413(5)9(3)4

28、(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)设，则截集截集为容量容量为20（二）、（二）、求最大流的标号法求最大流的标号法 标号过程：1 给发点vs 标号（0，+）。2 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻接点vj 按下列规则处理：（1）如果边 ，且 ，那么给vj 标号 ，其中：（2）如果边 ，且 ，那么给vj 标号 ，其中：3重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进行下去，这时的可行流就是最大流。调整过程设1令 2去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新

29、标号。求下图所示网络中的最大流，弧旁数为(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)（0，+）（-v1,1）（+vs,4）（-v2，1）（+v2，1）(+v3，1)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)（0，+）（+vs,3）

30、最小截集最小截集13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)13(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(5)5(4)5(4)4(4)4(3)9(9)10(7)截集截集1 1截集截集2 2最小截量最小截量为：9+6+5=2070（70）70（50）130（100）150（130）150（150）50（20）50（50）120（30）100（100）（120）（230）（150）（200）第五节第五节最小费用最大流问题最小费用最大流问题定定义义8.17 已知网络G=（V，E，C，d），f是G上 的 一 个 可 行 流，为 一 条 从 vs

31、到 vt的 增 广 链，称为链的费用。若 *是从vs到vt的增广链中费用最小的增广链，则称 *是最小费用增广链。结论：结论：如果可行流 f在流量为W(f)的所有可行流中的费用最小，并且 *是关于f 的所有增广链中的费用最小的增广链，那么沿增广链 *调整可行流f，得到的新可行流f*也是流量为W(f*)的所有可行流中的最小费用流。当f*是最大流时，就是最小费用最大流。寻找关于f 的最小费用增广链：构造一个关于f 的赋权有向图L(f)，其顶点是原网络G的顶点，而将G中的每一条弧(vi,vj)变成两个相反方向的弧（vi，vj）和(vj,vi)，并且定义图中弧的权lij为：1.当 ，令 2.当（vj，v

32、i）为原来网络G中（vi，vj）的反向弧，令 在网络G中寻找关于f 的最小费用增广链等价于在L(f)中寻求从vs 到vt 的最短路。步骤：（1）取零流为初始可行流，f(0)=0。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小费用流 f(k-1)，则构造图 L(f(k-1)。（3）在L(f(k-1)中，寻求从vs到vt的最短路。若不存在最短路，则f(k-1)就是最小费用最大流；否则转(4)。（4）如果存在最短路，则在可行流f(k1)的图中得到与此最短路相对应的增广链，在增广链上，对f(k1)进行调整，调整量为：令得到新可行流f(k)。对f(k)重复上面步骤，返回（2）。例例8.11求网络的最小费用最大流

33、，弧旁权是（bij,cij）(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)3 vsv2v1vtv31 64 12 2(1)L(f(0)(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)0vsv2v1vtv3300333(2)f(1)1=3W(f(1)=31(3)L(f(1)2 3vsv2v1vtv31 64 12 121vsv2v1vtv3400343(4)f(2)2=1W(f(2)=4(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)(5)L(f(2)3 vsv2v1v

34、tv31 4 12 2 231661vsv2v1vtv3401453(6)f(3)3=1W(f(3)=5(7)L(f(3)vsv2v1vtv33 1 4 1-2 2 3161vsv2v1vtv3434450(8)f(4)4=3W(f(4)=80vsv2v1vtv34455505=1W(f(5)=9(10)f(5)1-2 31vsv2v1vtv33 4 12 6(9)L(f(4)-4-631 2 14(11)L(f(5)12 64vsv2v1vtv36第六节第六节中国邮递员问题中国邮递员问题 一、一、欧拉回路与道路欧拉回路与道路定定义义8.18 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅一次，

35、则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。定定理理8.7 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要条件是G中无奇点。推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要条件是G有且仅有两个奇点。ABCD二、奇偶点图上作业法奇偶点图上作业法（1）找出图G中的所有的奇顶点，把它们两两配成对，而每对奇点之间必有一条通路，把这条通路上的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的新连通图必无奇点。（2）如果边e=（u,v）上的重复边多于一条，则可从重复边中去掉偶数条，使得其重复边至多为一条，图中的顶点仍全部都是偶顶点。（3）检查图中的每一个圈，如果每一

36、个圈的重复边的总长不大于该圈总长的一半，则已经求得最优方案。如果存在一个圈，重复边的总长大于该圈总长的一半时，则将这个圈中的重复边去掉，再将该圈中原来没有重复边的各边加上重复边，其它各圈的边不变，返回步骤（2）。判判定定标标准准1:在最优邮递路线上，图中的每一条边至多有一条重复边。判判定定标标准准2:在最优邮递路线上，图中每一个圈的重复边总权小于或等于该圈总权的一半。例例8.12 求解下图所示网络的中国邮路问题，图中数字为该边的长。v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449643455l12+2 l23+2 l36+2 l89+2 l78+l69+l14+2 l47=51 v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434v1v2v3v4v5v6v7v8v9243449556434