中值定理课件.ppt

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1、3.2.1 中值定理 满足满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b)使使在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点一、罗尔一、罗尔（Rolle）定理定理3.2.用导数研究函数 几何解释几何解释:例如例如,注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,例1证证证证其中,综上所述,如何描述这一现象二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续满足满足:(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导至少存在一点至少

2、存在一点使使还有什么？推论推论 1 1推论推论 2 2(C 为常数)推论推论 3 3 用来证明一些重要的不等式推论推论 4 4 用来判断函数的单调性解例7故从而例8证证证证例例1.证明不等式证明不等式证证:设设中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故因此应有因此应有例10证证证证延拓延拓!3.2.2 3.2.2 函数的单调性函数的单调性 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1.设函数设函数则则 在在 I 内单调递增内单调递增(递减递减).在开区间在开区间 I 内可导内可导,例例1.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调

3、减区间为区间为一、函数极值的定义一、函数极值的定义3.2.3 3.2.3 函数的极值函数的极值定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1(1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)例例2 2解解注意注意:图形如下图形如下

4、例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.三、最值的求法三、最值的求法步骤步骤:1.求驻点求驻点;2.求区间端点及驻点的函数值求区间端点及驻点的函数值,比较大小比较大小,那个那个大那个就是最大值大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;注意注意:如果函数在区间内处处可导且只有一个如果函数在区间内处处可导且只有一个极值极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例3 3解解计算计算比较得比较得我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?!.一、曲线的凹凸性、拐点简单地说,在区间

5、 I 上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹定义定义.设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹凹的的;(2)若恒有若恒有则称则称连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为称为拐点拐点.图形是图形是凸凸的的.3.2.4 3.2.4 函数的函数的凹凸与拐点凹凸与拐点定理定理.(凹凸判定法凹凸判定法)(1)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数例例1.判断

6、曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在上是凹的上是凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线或不存在或不存在,但但在在 两侧两侧异号异号,则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,例例2.求曲线求曲线的拐点的拐点.解解:不存在不存在因此点因此点(0,0)为曲线为曲线的拐点的拐点.凹凹凸凸例例3.求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标求

7、拐点可疑点坐标令令得得对应对应3)列表判别列表判别故该曲线在故该曲线在及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸,点点(0,1)及及均为拐点均为拐点.凹凹凸函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减3.2.5 3.2.5 函数作图函数作图一、渐近线一、渐近线1.1.铅直渐近线铅直渐近线有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:例如例如2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤:1

8、.确定函数确定函数的定义域的定义域,期性期性;2.求求并求出并求出及3.列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点求出极值和拐点;4.求渐近线求渐近线;5.确定某些特殊点确定某些特殊点,描绘函数图形描绘函数图形.为为 0 和不存在和不存在的点的点;并考察其对称性及周并考察其对称性及周例例1.描绘描绘的图形的图形.解解:1)定义域为定义域为无对称性及周期性无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)例例2.描绘函数描绘函数的图形的图形.解解:1)定义域为定义域为图形对称于图形对称于 y 轴轴.2)求关键点求关键点3)判别曲线形态判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线为水平渐近线5)作图作图4)求渐近线求渐近线