建模方法论.ppt

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1、现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型翻译为实际解答翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁*数学建模没有普遍适用的方法与技巧数学建模没有普遍适用的方法与技巧.*数学建模工作与问题的性质、建模的目的数学建模工作与问题的性质、建模的目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关有关.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式有一些普遍适用的思想方法与思维方式.整个数学建模过程由若干个有整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成明显差别的阶

2、段性工作组成 怎样构架这座桥梁？怎样构架这座桥梁？求解数学模型求解数学模型 实际问题分析实际问题分析建立数学模型建立数学模型提交论文与报告提交论文与报告 模型与模型解的分析及检验模型与模型解的分析及检验 此流程此流程 具有指导意义具有指导意义，应注意应注意*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.下面就按照此流程来介绍数学建模的方法下面就按照此流程来介绍数学建模的方法*建模过程往往是一个反复循环的过程建模过程往往是一个反复循环的过程.*没有没有创新创新，就没有，就没有发展发展，创新促进人类，创新促进人类社会的进步社会的进步.*正处于传统的继承性教育向创新性教育正处于传

3、统的继承性教育向创新性教育转变的时期转变的时期.重要的科学思维方式之一是创新思维，重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂创新思维是创新能力的核心与灵魂.数学建模过程是一种数学建模过程是一种创新过程创新过程，在思考方法，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别和思维方式上与学习其他课程有很大差别.数数学学创创新新思思维维.等等等等.类比思维类比思维归纳思维归纳思维逆向思维逆向思维发散思维发散思维猜测思维猜测思维 问题解决法、思想表达法、创造发明法问题解决法、思想表达法、创造发明法等方法对于创造能力的培养不可或缺等方法对于创造能力的培养不可或缺.方法的共同特点方法的

4、共同特点：不轻易否定别人的意见，不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等努力发现别人尚未察觉的事物等介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法 一小组群体思维一小组群体思维类似于现代科研工作，数学建模活动是类似于现代科研工作，数学建模活动是群体的合作活动群体的合作活动.*现行的传统教育模式使学生现行的传统教育模式使学生,善于独立思考，善于独立思考，却拙于交流、与人合作却拙于交流、与人合作.*数学建模是一种集体创新过程数学建模是一种集体创新过程,需要一种集需要一种集体创新思维方式体创新思维方式.集体思考法集体思考法（Brai

5、n Storming，简称简称BS法）法）是一种较好的集体创新思维方式是一种较好的集体创新思维方式 *在合作过程中相互理解、相互协调、相互交在合作过程中相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益流、从而集思广益 为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长 良好合作的要素良好合作的要素：需要需要、提倡、避免提倡、避免需要需要：相互尊重、平等相待；：相互尊重、平等相待；提倡提倡：积极思考、奋力拼搏、学会倾听、积极思考、奋力拼搏、学会倾听、勇于争辩、懂得妥协：勇于争辩、懂得妥协：避免避免：武断评价、回避责任、孤高自傲、武断评价、回避责任、孤高自傲、丧失信心丧失信心.

6、突破问题的灵感与思想的火花突破问题的灵感与思想的火花往往产生于激烈的争论之中往往产生于激烈的争论之中 二发散性思维方法二发散性思维方法发散性思维和猜测思维是发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分创造性思维方式的重要组成部分 面对新问题，应尽量打开自己的思路：面对新问题，应尽量打开自己的思路：1.不要有一点想法不要有一点想法,就轻易沿一条思路深入，就轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论不要轻易做出结论.2.尽量多一些想法，多一些猜测，对问题尽量多一些想法，多一些猜测，对问题反复反复思考、思考、再思考思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：帮助展开思路的方法：关键词联想法关键词联想法提

7、问题法提问题法提问题法提问题法：借助于一系列问题来展开思路借助于一系列问题来展开思路 面临难题面临难题,束手无策时通过提出一系列问题束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案来导出一些想法或一个好的方案.如：如：（l）这个问题和什么问题相类似？这个问题和什么问题相类似？（2）假如变动问题的某些条件将会怎样？假如变动问题的某些条件将会怎样？(4)重新组合又会怎样？重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步为进一步打开思路打开思路可提以下问题可提以下问题：(7)可否换一种数学工具来解决此问题？可否换一种数学工具来解决此问题？(

8、5)我们还可以做什么工作？我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？有无需要进一步完善的内容？针对问题和初始方案可以先设计出类似的针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开问题清单，然后反复展开.一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排厂家用于组织生产，商家便于安排进货进货.例例 新产品销售模型新产品销售模型 怎样建立一个数学模型描

9、述新产品怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲电饭煲)推推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产生产.想一想想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？相类似？重新分析重新分析 Logistic人口模型，人口模型，t 时刻的人口数为时刻的人口数为t0 Logistic模型特点：模型特点：初期高速增长，过一个特初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析对原问题的分析：（1）一般每户只需用一般每户只需用1 12 2只电饭煲就足够只电饭煲就足够,一一

10、个地区的需求量是有限的；个地区的需求量是有限的；（2）初期在广告之类推销作用下销售速度较快初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓商品趋于饱和时销售速度会减缓.电饭煲的销售情况类似于人口增长情况电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可可利用类比方法建立模型利用类比方法建立模型.记记x(t)为为t时刻已售出的电饭煲总数时刻已售出的电饭煲总数,市场的市场的饱和量饱和量(最大需求量最大需求量)为为M,利用利用Logistic模型模型来描述电饭煲的销售速度变化情况来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与实际情况与Logistic销售曲线十分吻合销售曲线十分吻合 思考思考 请考

11、虑现实中哪些变量的变化可用请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？模型进行描述？三三.从整体上把握问题的方法从整体上把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：有两种把握住问题的全貌的有效方法：(1)层次结构法层次结构法(2)问题分解法问题分解法 有有专著介专著介绍绍 问题分解法是一种简单而有效的把握问题整问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法体的方法.将问题分解为将问题分解为“三要素三要素”的三个部分的三个部分.问问题题分分解解三三要要素素 初态初态 目标态目标态 过程过程 觉察到的现在状态觉察到的现在状态(目前目前“有什么有什么”，如条件、数据等，如条件、

12、数据等).).觉察到的希望目标觉察到的希望目标(想要什么、想要什么、希望达到什么等希望达到什么等).).能在能在“初态初态”和和“目标态目标态”之间发之间发生生作用的行动作用的行动(能做什么能做什么).).例例 常见数学题目模式常见数学题目模式 已知已知求（证求（证）解题解题初态初态目标态目标态过程过程教师的主要教师的主要教学目标教学目标 *解决实际问题时，分析出问题的初态和解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难目标态很困难.*未清晰地描述出问题的未清晰地描述出问题的“初态初态”和和“目标态目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标

13、不明清、目标不明.问题的前期分析问题的前期分析 包括：包括：明确问题、分析条件、分析数据明确问题、分析条件、分析数据 为什么问题前期分析至关重要？为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清数学建模问题往往含混不清,可能的原因有可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题提出问题的人未能清楚地表述问题.*不同领域的人交流出现障碍不同领域的人交流出现障碍.*各领域的应用者提出问题时各领域的应用者提出问题时,未给出恰当未给出恰当的条件的条件.对问题进行充分的前期分析以前对问题进行充分的前期分析以前,过早着手过早着手决问题决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱往往会陷入一些意想不到的陷阱,或

14、或者偏离解决问题的方向者偏离解决问题的方向.一一.明确问题明确问题例例 一家大商业印刷公司的经理就关于应一家大商业印刷公司的经理就关于应 该雇多少推销员的问题征询你的意见该雇多少推销员的问题征询你的意见.“究竟需要做什么？究竟需要做什么？”遇到一个新问题时遇到一个新问题时,首先应问自己首先应问自己*未能准确理解问题未能准确理解问题.着眼点着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析是对各类推销队伍的工作效果进行分析 原问题原问题“推销员人数问题推销员人数问题”明确为：明确为：(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；不同规模的销售队伍会有什么影响；(2)怎样从他们的销售工作中获取最大的收益怎样从他们的

15、销售工作中获取最大的收益.明确了工作的目标明确了工作的目标,即设置好问题的目标态即设置好问题的目标态.为明确问题为明确问题,可向有关人员询问如下问题：可向有关人员询问如下问题：1.公司的规模有多大？公司的规模有多大？2.该公司的推销员的工作方式？该公司的推销员的工作方式？推销员人数推销员人数获取最大收益获取最大收益顾客顾客地域地域分析确定出各有关因素分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图画出问题的层次结构图 顾客容量顾客容量 市场份额市场份额 现有现有定货量定货量潜在潜在 转移转移 概率概率 转变转变 概率概率 现有现有潜在潜在二二.条件及数据分析条件及数据分析 设置好问题的目标态设置好问

16、题的目标态,着手工作还需要做着手工作还需要做以下工作：以下工作：1.收集必要的资料和数据。收集必要的资料和数据。2.分析现有的数据和条件分析现有的数据和条件,使问题进一步使问题进一步 明确化明确化.例例 节水洗衣机（节水洗衣机（96年年B题）题）我国淡水资源有限我国淡水资源有限.节约用水人人有责节约用水人人有责,洗衣洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣目前洗衣机已非常普及机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要节约洗衣机用水十分重要.假设假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水加水漂洗漂洗脱水脱水加水加水漂洗漂洗

17、脱水脱水加水加水漂洗漂洗脱水脱水(称称“加水加水漂洗漂洗脱水脱水”为为运行一轮运行一轮).).请为洗衣机设计一种程序（包括请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等运行多少轮、每轮加水量等),),使得在满足一使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价运行情况，对你的模型和结果出评价.*衣服的洗净效果指标衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤包括污物和残留洗涤剂剂)；*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量不同质地衣物的脱水率或衣物

18、的含水量C C；*洗衣机的最高水位洗衣机的最高水位H H、最低水位最低水位L L；*各类污物各类污物(泥土、油腻等泥土、油腻等)和洗涤剂在水中和洗涤剂在水中的溶解特性。的溶解特性。怎样收集数据和资料？怎样收集数据和资料？分析：分析：题目中没有一个数据题目中没有一个数据,但问题却需要比但问题却需要比 较多的数据及条件较多的数据及条件,如如 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到通过试验来得到。收集数据应列入工作计划，并注意：收集数据应列入工作计划，并注意：1.向有关人员调查情况应事先设计好问题；向有关人员调查情况应事先设计好问题；2.事先确定所

19、需资料清单、资料来源、收集事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。方式。有条理的收集计划可以为后期的工作有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件创造良好的条件 对收集到的或者现有的资料和数据要做对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确仔细分析，使问题进一步明确.例例 最优捕鱼策略（最优捕鱼策略（96年年A题）题）为了保护人类赖以生存的自然环境为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生可再生资源资源(如渔业、林业资源如渔业、林业资源)的开发必须适度的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益

20、获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称个年龄组，称1 1龄鱼，龄鱼，4 4龄鱼龄鱼,各年龄组每各年龄组每条鱼的平均重量（单位：条鱼的平均重量（单位：g g）分别为分别为5.07、11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然死亡率均为各个年龄组的鱼的自然死亡率均为0.8(1/(1/年年),),这种鱼为季节性集中产卵繁殖这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条平均每条4 4龄鱼龄鱼的产卵量为的产卵量为1.109105个个,3 龄鱼的产卵量为这龄鱼的产卵量为这个数的一半，个数的一半，2 2龄鱼和龄鱼和

21、1 1龄鱼不产卵，产卵和孵龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后化期为每年的最后4个月个月,卵孵化并成活为卵孵化并成活为1 1龄龄鱼鱼,成活率（成活率（1 1龄鱼条数与产卵总量龄鱼条数与产卵总量n之比）为之比）为1.221011/（1.221011+n）渔业管理部门规定渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期每年只允许在产卵孵化期前的前的8个月内进行捕捞作业个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕如果每年投入的捕捞能力捞能力(如渔船数、下网次数等如渔船数、下网次数等)固定不变固定不变,这这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比比,比例系数不妨称捕捞强度系数

22、比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用通常使用13mm mm 网眼的拉网网眼的拉网,这种网只能捕这种网只能捕3 3龄鱼和龄鱼和4龄龄鱼，其两个强度系数之比为鱼，其两个强度系数之比为0.42:1.渔业上称渔业上称这种方式为固定努力捕捞这种方式为固定努力捕捞.建立数学模型分析如何实现可持续捕获建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),),并且在此前提下得到最高的年收获量并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总捕捞总重量重量)渔业公司承包这种鱼的捕捞业务渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年年,合同要合同要求求5年后鱼群的生产

23、能力不能受到太大破坏年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7，10.1，3.29（10109 9为）条），为）条），如果仍用固定努力量的捕捞方式如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高采取怎样的策略才能使总收获量最高.分析：分析：此题中的数据、条件特别多此题中的数据、条件特别多,有的难于有的难于把握把握,有的会直接影响到所建模型是否正确有的会直接影响到所建模型是否正确.1.捕捞强度系数捕捞强度系数 q 单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例

24、系数例系数 可否理解为捕捞量占总鱼群量的可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？百分率？否！否！将将捕捞强度系数捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出的定义用数学表达式写出.设设i 龄鱼在龄鱼在 t,t+t 时间段内由捕捞产生时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为的变化量（捕捞量）为 单位时间的捕捞量是单位时间的捕捞量是 对任何时间间隔对任何时间间隔 t 都有都有 令令t 0,得到微分方程得到微分方程 2.考虑考虑 q 是否有量纲（或单位）？是否有量纲（或单位）？思考：思考：1.此模型可与哪一个模型类比？此模型可与哪一个模型类比？3.怎样理解捕捞强度系数怎样理解捕捞强度系数q？2.自然死亡率自然

25、死亡率r(0.8（1/年）年）)是否理解为鱼死亡的概率为是否理解为鱼死亡的概率为0.8？不对！不对！类似于人口增长模型中的类似于人口增长模型中的“自然（相对）自然（相对）增长率增长率”，理解为鱼群未受其他外界影响下理解为鱼群未受其他外界影响下的的“自然增长率自然增长率”.即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：可得描述鱼群自然死亡的微分方程：请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量变化的规律？变化的规律？思考：思考：3.成活率成活率c 的影响的影响 成活率成活率c为为1龄鱼条数与产卵总量龄鱼条数与产卵总

26、量n 之比之比c=1.221011/（1.221011+n）设设t 年的产卵量为年的产卵量为n，则，则t+1年的年的1 龄鱼数龄鱼数目为目为N1(t+1)=n c 因因3、4 龄鱼的数量级及产卵量的数量级分龄鱼的数量级及产卵量的数量级分别是别是 109 和和1014 n1.221011 当当 n 变动变动(即即N3(t),N4(t)变动变动)时时N1(t+1)的反应不敏感的反应不敏感.说明下一年说明下一年1 龄鱼的成活率使得鱼群对于龄鱼的成活率使得鱼群对于捕捞量有一定的适应能力捕捞量有一定的适应能力.N1n05.哪些条件是可以变动的？等等。哪些条件是可以变动的？等等。2.数据来源是否可靠？数据

27、来源是否可靠？3.所给条件有什么意义？所给条件有什么意义？4.哪些条件是本质的？哪些条件是本质的？还应该分析还应该分析1.从数据中可得到什么信息？从数据中可得到什么信息？充分分析正确理解数据和条件充分分析正确理解数据和条件可以进一步明确问题可以进一步明确问题。数学模型的建立与建模目的密切相关数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见几类常见建模建模目的目的:1.描述描述或或解释解释现实世界的现实世界的 各类现象各类现象 (常采用机理分析的方法常采用机理分析的方法,探索研究对象的探索研究对象的 内在规律性内在规律性)；2.预测预测感兴趣的事件是否会发生感兴趣的事件是否会发生,或者事物或者事物 的发

28、展趋势的发展趋势.(常采用数理统计或模拟的方法常采用数理统计或模拟的方法)；需合理地定义可量化的评价指标及评价方法需合理地定义可量化的评价指标及评价方法.建建模模过过程程中中的的几几个个要要点点模型的整体设计模型的整体设计合理的假设合理的假设建立数学表达式建立数学表达式建立数学结构建立数学结构3.优化优化管理、管理、决策决策或者或者控制控制 事物事物时刻时刻牢记牢记建模建模目的目的完整的数学模型应该同时描述出完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的有关因素之间的数量关系数量关系和和结构关系结构关系 应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的模型中的地

29、位地位和和作用作用.一一.模型的整体设计模型的整体设计模型整体设计的作用模型整体设计的作用 1)可将整个建模过程分解为一些可串行可将整个建模过程分解为一些可串行 或并行的子任务。或并行的子任务。2)可把握住工作的重点、要点和难点可把握住工作的重点、要点和难点.做出模型的整体设计后做出模型的整体设计后,着手建立模型着手建立模型之前，撰写一份工作提纲之前，撰写一份工作提纲.建议建议:二.做出假设 根据对象的特征和建模的目的对问题进行根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的设，是建模的关键步骤关键步骤。合合理理假假设

30、设的的作作用用 简化问题简化问题 明确问题明确问题 限定模型的限定模型的适用范围适用范围 一个实际问一个实际问题不经过简题不经过简化假设化假设,很难很难抽象转化为抽象转化为数学问题。数学问题。例例 渔业管理问题中关于渔业管理问题中关于“季节性集中季节性集中产卵繁殖产卵繁殖”,如何理解如何理解“产卵孵化期是一年产卵孵化期是一年的最后四个月的最后四个月”？有以下几种假设有以下几种假设:*产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，从而孵化也是均匀进行从而孵化也是均匀进行.*产卵时间服从方差很小的正态分布产卵时间服从方差很小的正态分布.*鱼群的个体在后四个月的第一天集

31、中产鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵卵,在最后一天孵化出来在最后一天孵化出来.哪一种哪一种“最好最好”？第三种与第二种没有本质的差别，处理较第三种与第二种没有本质的差别，处理较容易容易.分析：分析：第一种不符合鱼类的生物学实际；第一种不符合鱼类的生物学实际；第二种比较符合实际，但大大增加了解决第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；问题的难度；假设起到简化问题的作用假设起到简化问题的作用 假设假设“渔场是非开放式的渔场是非开放式的,不与其它水域发生不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落关系，从而构成独立的生态群落”设计假设应遵循的原则设计假设应遵循的原则 *假设应是有依据的假

32、设应是有依据的,基于对问题内在规律基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；的认识和对数据及现象的分析；*善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化使问题简化.*避免过于简单、过于详细或不合理避免过于简单、过于详细或不合理.将建立的数学模型限定在一定的适用范围将建立的数学模型限定在一定的适用范围.例例 渔业管理问题中有条件：渔业管理问题中有条件：“平均每条平均每条4 龄鱼的产卵量为龄鱼的产卵量为1.109105个个,3 龄鱼的产龄鱼的产卵量为这个数的一半卵量为这个数的一半,2 龄鱼和龄鱼和1 龄鱼不产卵龄鱼不产卵”.分析分析:为了计算鱼群的产卵量，需

33、明确此条件为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.有两种假设：有两种假设：*雌雄鱼的比例是雌雄鱼的比例是1:1；*“平均每条鱼的产卵量平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的理解为对所有鱼的平均平均,故在计算总产卵量时故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区别不考虑雌雄区别.哪一种较为合理？哪一种较为合理？可假设：可假设：*每到次年初，头一年的每到次年初，头一年的1、2、3 龄鱼均龄鱼均增增1岁，将岁，将5 龄鱼归并为龄鱼归并为4 龄鱼龄鱼.问题问题：当年的当年的4 龄鱼龄鱼,第二年如何处理？第二年如何处理？合理性解释合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的：事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为寿命一般为3年，另一

34、方面经过捕捞后年，另一方面经过捕捞后4 龄龄鱼的数量很少，可以忽略不计鱼的数量很少，可以忽略不计.对于假设：对于假设：*有时需要对假设以及假设的推论进行检验；有时需要对假设以及假设的推论进行检验；*应意识到隐含的假设应意识到隐含的假设.三三.现实问题与数学表达式现实问题与数学表达式绘绘图图法法表表格格法法数数学学解解析析式式建立变量间的关系建立变量间的关系是建立数学是建立数学模型的一项模型的一项重点工作重点工作 三种形式可以相互转换三种形式可以相互转换 例例 扑灭森林失火扑灭森林失火 森林失火了！消防站接到报警后派多少消森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火？要综合考虑森林损失费、

35、防队员前去救火？要综合考虑森林损失费、救援费和消队员人数之间的关系，以总费用救援费和消队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目最小来决定派出队员的数目.问题分析问题分析 损失费正比于森林烧毁面积损失费正比于森林烧毁面积,现考现考虑森林烧毁面积函数虑森林烧毁面积函数B(t).翻译能力翻译能力：将变量间关系的中文语言描述将变量间关系的中文语言描述 转化为教学表达式转化为教学表达式 变量说明变量说明 t=0:森林开始失火的时刻；森林开始失火的时刻；t1:开始救火的时刻；开始救火的时刻；t2:火扑灭的时刻火扑灭的时刻.假设假设 *1 在消防队员到达之前在消防队员到达之前,火势越来越大火势越来越大,火势蔓延速度与时间成正比，即火势蔓延速度与时间成正比，即 解释解释 火势从某个中心开始，以均匀速度火势从某个中心开始，以均匀速度成环形向外蔓延成环形向外蔓延,蔓延半径蔓延半径r(t)t,又因又因 B(t)r2(t)，故，故t *2 派出派出x名消防队员名消防队员,开始救火以后开始救火以后,火势蔓火势蔓延速度为延速度为x(0),),有有 建立函数关系建立函数关系 森林烧毁面积为森林烧毁面积为 解得解得