资产收益率及收益率分布性质中山大学.pptx

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1、1.1资产收益率一、单期简单收益率 若从第 天到第 天持有某种资产，则简单毛收益率为 简单净收益率为第1页/共67页二、多期简单收益率 若从第 天到第 天这 个周期内持有某种资产，则 期简单毛收益率为 期简单净收益率为第2页/共67页 如果持有资产的期限为 年，则（平均的）年化收益率定义为 年化的 可以用下式计算 可以用一阶泰勒展开来近似年度化的收益率，得到 年化的第3页/共67页考虑一个案例 假定银行存款年利率为10%，存款本金为1美元。一般地，如果银行一年付息m次，那么每次支付利息为10%/m,一年后存款的净值变成 美元 下表为连续复合效果的演示类型支付次数每期利率净值一年10.11.10

2、0 00半年20.051.102 50季度40.0251.103 81月120.00831.104 71周520.1/521.105 06天3650.1/3651.105 16连续地1.105 17第4页/共67页 发现净值趋于 一般地，连续复合的资产净值A为 称为n年后价值为A的资产的现值第5页/共67页三、连续复合收益率 资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率 对于多期收益率可写成以下形式 即连续复合多期收益率就是它所包含的连续复合单期收益率之和。第6页/共67页四、资产组合收益率 若一个资产组合由N个资产组成，则该资产组合的简单净收益率就是它所包含的各个资产的简单净收

3、益率的加权平均。第7页/共67页五、分红支付情况下的简单净收益率和连续复合收益率 设 是一个资产在 天和第 天之间的分红，由于分红并没有包含在 中，因此简单净收益率和连续复合收益率变为第8页/共67页六、超额收益率 一个资产在 时刻的超额收益率是该资产的收益率与某个参考资产的收益率之差。简单超额收益率和对数超额收益率分别定义为 和 分别是该参考资产的简单收益率和对数收益率 第9页/共67页关系小结简单收益率 与连续复合收益率 的关系是：连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和：资产的现值与资产的未来值之间的关系为：第10页/共67页1.2收益率的分布性质 一、回顾统计分布 1、X和

4、Y的联合分布可定义为：其中：为联合分布函数中的参数。假定 X与Y的联合概率密度函数 ，并且严格有定义，则有：第11页/共67页 2、与联合分布相对的概念是边际分布。例如，X的边际分布可以通过将联合分布中与X不相关的赋值设为 来获得:当X是一个一维的随机变量而不是向量形式时，边际分布的定义就成为下面常见的形式：第12页/共67页 这一公式在统计学中也称为X的累积分布函数，其取值范围在0与1之间。虽然CDF的概念稍微有些抽象，但是其在金融计量学中有着广泛的应用，特别是在计算统计量的p-值过程中非常有用。例如，利用F分布的累积分布函数可以计算F检验统计量的p-值。第13页/共67页 3、条件分布，顾

5、名思义，就是随机变量在给定条件下的分布。例如，给定 的条件，X的条件分布可以定义为：第14页/共67页 如果利用前面提到的概率密度函数的概念，还可以写成：其中,表示边际分布函数，并且满足第15页/共67页二、随机变量的距与期望 从统计学角度来说，一个随机变量X的第 n 阶矩可以定义为：随机变量的1阶矩叫做均值。随机变量的2阶矩叫做方差。随机变量的3阶矩又称为偏度，它度量了随机变量分布的非对称程度。随机变量的4阶矩又称尾峰度，其衡量随机变量分布的尖峰程度或平坦程度。第16页/共67页第17页/共67页有用的运算规则:第18页/共67页三、收益率的分布 对数收益率 的最一般的模型是它们的联合分布函

6、数：其中 是由一些变量组成的状态向量，这些变量描述了决定资产收益率的环境，是唯一决定分布函数 的参数向量。第19页/共67页四、资产收益率的几种分布1、正态分布2、对数正态分布 假定 ，则简单收益率的均值和方差分别为3、稳定分布4、正态分布的尺度混合第20页/共67页第2章 线性时间序列分析 把资产收益率（如股票的对数收益率 ）看成随时间推移而形成的一族随机变量，我们就有了一个时间序列 本章主要介绍关于线性时间序列 的经济计量模型，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等第21页/共67页2.1平稳性 弱平稳的定义：对于随机时间序列 ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t变化而变化，则称

7、为弱平稳随机变量，即对于所有时间t，必须满足以下条件：(i)为不变的常数；(ii)为不变的常数；(iii)弱平稳性意味着数据的时间图显示出T个值在一个常数水平上下 以相同幅度波动 第22页/共67页 对于一个弱平稳过程 ，自相关函数并且：第23页/共67页 平稳性检验的图示判断平稳性检验的图示判断 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。第24页/共67页第25页/共67页2.2相关系数和自相关函数 随机变量x和y

8、的相关系数模型为：自相关函数，即 与 的自相关函数定义为：一般将 相对于滞后期数 绘制出的图示称为自相关图。第26页/共67页 假定 是一个随机变量，自协方差定义的是 与其自身滞后期之间的协方差，即“自身的协方差”。常见的协方差的基本定义是：其中：表示期望。从而可以知道，与其自身滞后期 之间的协方差定义为：第27页/共67页 对于均值保持不变的随机过程来说，时，即为方差：第28页/共67页2.3白噪声和线性时间序列一、白噪声（white noisewhite noise）若 是一个具有有限均值和有限方差的独立同分布随机变量序列，则称 为一个白噪声序列。对于 有 ，若 还服从 的正态分布，则称该

9、序列为高斯白噪声。第29页/共67页白噪声过程的自相关图第30页/共67页二、线性时间序列时间序列 称为线性序列，如果它能写成其中 是 的均值，是白噪声序列若 是弱平稳的，利用 的独立性得到 的均值和方差第31页/共67页 因为 ，而 ，所以 必须收敛，当 时，.随着 的增大，收敛到0当 较大时，当前收益率 对遥远过去的收益率 的线性依赖会消失第32页/共67页2.4时间序列模型的基本概念 一、时间序列模型的基本概念 时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建立具体的时间序列模型，需

10、解决如下三个问题：(1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模 型 将 是 一 个 1阶 自 回 归 过 程AR(1)(Autoregressive process)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声。第33页/共67页 一般的p阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pure AR(p)process），记为 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (2)如果t不是一个白噪声，通常

11、认为它是一个q阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2-qt-q 该式给出了一个纯MA(q)过程（pure MA(q)process）。第34页/共67页MA模型的引入 将MA模型看成参数受某种限制的无穷阶AR模型来引入 无穷阶AR模型为：使以上AR模型有实际意义的一个 方式是假定其系数满足某种限制，如以下特殊情形：其中参数只依赖于单个参数 ；写成紧凑形式 在式两边乘 ，再减去式，得到 MA(1)模型的一般形式为第35页/共67页 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving avera

12、ge）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。第36页/共67页 例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，、分别表示消费、投资与国民收入。与 作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资 的运动及随机扰动项 的变化决定的。第37页/共67页 上述模型可作变形如下：两个

13、方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。第38页/共67页 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。2.5随机时间序列模型的平稳性条件 1、AR(p)模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序

14、列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。第39页/共67页 考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)引入滞后算子（lag operator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,LpXt=Xt-p(*)式变换为 (1-1L-2L2-pLp)Xt=t 记(L)=(1-1L-2L2-pLp),则称多项式方程 (z)=(1-1z-2z2-pzp)=0 为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明，如果该特征方程的所有根

15、在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。第40页/共67页 AR(1)模型的平稳性条件 对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|1。第41页/共67页 而AR(1)的特征方程 的根为 z=1/AR(1)稳定，即|1，意味着特征根大于1。AR(2)模型的平稳性条件 对AR(2)模型 方程两边同乘以Xt，再取期望得：第42页/共67页又由于于是 同样地，由原式还可得到于是方差为 第43页/共67页由

16、平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+21,2-11,|2|1这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。第44页/共67页对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/2 ,z1+z2=-1/2 AR(2)模型解出1，2由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1|z2|1，有于是|z2|1。由 2-1 1可推出同样的结果。第45页/共67页 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模

17、型稳定的必要条件是：1+2+p1(2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|+|p|1 第46页/共67页对于移动平均模型MA(q)：Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。第47页/共67页 由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性 而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型

18、的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。第48页/共67页小结 （1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；（2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记为AR

19、IMA(p,d,q)。例如，一个ARMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。当然，一个ARMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过程；一个ARMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。第49页/共67页 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所 使 用 的 工 具 主 要 是 时 间 序 列 的 自 相 关 函 数（autocorrelation function，ACF）及偏自相

20、关函数（partial autocorrelation function，PACF）。2.6随机时间序列模型的识别第50页/共67页1、AR(p)过程(1)自相关函数（ACF）1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+t 的k阶滞后自协方差为：=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数为=1,2,由AR(1)的稳定性知|1，因此，k时，自相关函数呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。注意，0时，呈振荡衰减状。第51页/共67页 Xt=1Xt-1+2Xt-2+t 该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为 阶自回归模型AR(2

21、)类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：(K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数为：(K=2,3,)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则由1+21知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。第52页/共67页一般地，p阶自回归模型AR(p)k期滞后协方差为:从而有自相关函数:可见，无论k有多大，k的计算均与其到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的，则|k|递减且趋于零。Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t第53页/共67页 其中：1/zi是A

22、R(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。第56页/共67页 对MA(1)过程 2、MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数：于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k1时，k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。第57页/共67页 MA(1)过程可以等价地写成t

23、关于无穷序列Xt，Xt-1，的线性组合的形式：或（*）(*)是一个AR()过程，它的自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。注意:(*)式只有当|1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把|q时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当kq时，k=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶。第59页/共67页 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k

24、=0（kq）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列。第60页/共67页 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。3、ARMA(p,q)过程 第61页/共67页第62页/共67页 图 ARMA(p,q)模型的 ACF与 PACF 理论模式 ACF PACF 模型1：tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1第63页/共67页第64页/共67页第65页/共67页Thank you for listening!第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页