自动控制根轨迹极点零点.pptx

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1、二阶系统暂态响应二阶系统暂态响应 分为：分为：二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统统 其阻尼比、极点分布和单位阶跃响应如下图所示：其阻尼比、极点分布和单位阶跃响应如下图所示：第1页/共74页4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一举例说明根轨迹的概念一举例说明根轨迹的概念 特征方程的根为第2页/共74页 令开环增益从变化到，用解析方法求不同所对应的特征根的值，将这些值标在S平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着值的增加，根轨迹的变化趋势。根轨迹的基本概念当K=0时，S1=0，S2=-1K=0.25K=0K=0KK-1j第3页/

2、共74页根轨迹的基本概念 从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:1、稳定性：因为根轨迹全部位于左半S平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。2、稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0KK-1j第4页/共74页3、暂态性能 （1）当0Km，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处。举例如题，起点：0、-1，无零点，n=2，m=0，n-m=2，有两条根轨迹K=0.25K=0K=0KK-1j第13页/共74页绘制根轨迹的基本规则三根轨迹的分支数三根轨迹的分支数根轨迹由若干分支构成，分

3、支数与开环极点数相同。四实轴上的根轨迹四实轴上的根轨迹 在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。设系统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在 和 之间任选一个试验点 。第14页/共74页绘制根轨迹的基本规则1、共轭复数极点到的幅角之和为0，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。2、若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为0,而右侧的相角为180。点满足相角条件，所以 之间是根轨迹。第15页/共74页-2-4例4-1：（单位反馈）有三个极点，根轨

4、迹有三条分支jn=3,m=2有3-2=1条根轨迹，2条终止于开环零点。在实轴上不同段上取试验点oo-3-1第16页/共74页绘制根轨迹的基本规则五根轨迹的渐近线五根轨迹的渐近线1、根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的渐近线的 倾角为，（n-m-1)当时，求得的渐近线倾角最小；增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有(n-m)条第17页/共74页绘制根轨迹的基本规则2、渐近线与实轴的交点 渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数。在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可。第18页/共74页例4-2求根轨迹解：在平面中确定开环零、极点的位置。-1-2

5、j确定实轴上的根轨迹。n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向无穷远处。确定渐近线的位置-0.423K1=6K1=6-6060第19页/共74页绘制根轨迹的基本规则六、分离点和会合点六、分离点和会合点两条根轨迹分支在S平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。它对应于特征方程中的二重根（如例4-2，实轴上的根轨迹要从某一点分开，然后沿渐近线方向趋向无穷远处，把分离点所对应的1值代入特征方程，应求得二重根）。根轨迹关于实轴对称，分离点或会合点必然是实数或共轭复数 常见的分离点或或会合点位于实轴上。求方程式 的根，可以确定分离点或会合点。第20页/共74页绘制根轨迹的基本

6、规则例4-2，求分离点上的坐标。系统的特征方程为或上式的根因为分离点在0至-1之间，故 为分离点的坐标，而舍弃用幅值条件确定分离点的增益：第21页/共74页七、根轨迹与虚轴的交点七、根轨迹与虚轴的交点当增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半S平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的交点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的开环增益。在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。第22页/共74页续例4-2，将 代入特征方程。当时，系统出现共轭虚根 ，此时系统处于临界稳

7、定状态。实部虚部第23页/共74页 在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确的画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件。然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线。绘制根轨迹的基本规则第24页/共74页绘制根轨迹的基本规则八、根轨迹的出射角和入射角八、根轨迹的出射角和入射角当系统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根轨迹的出射角（或入射角）。根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角。出射角表示根轨迹从复数极点出发时的走向。开环复数零点处，根轨迹的入射角为式中即为其它开环

8、零、极点对出射点或入射点提供的相角开环复数极点处，根轨迹的出射角为第25页/共74页绘制根轨迹的基本规则求从出发根轨迹的出射角。用量角器量后，得 ，在图上标出。的出射角和 对称。第26页/共74页根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例1.具有一个零点和具有一个零点和3个实极点的三阶系统的根轨迹。个实极点的三阶系统的根轨迹。设系统的开环传递函数为：解：把开环传递函数化为零、极点形式第27页/共74页1.根轨迹有3条分支，起点为开环极点0、0、-1/T，终点为开环零点-1/及无穷远处。0 02.根轨迹在实轴上的分布为-1/T，-1/。3.根轨迹有n-m=2条渐近线，第28页/共74页例例2.具有一对开环

9、复根和一个开环实零点的四阶系统的根具有一对开环复根和一个开环实零点的四阶系统的根轨迹。轨迹。设系统的开环传递函数为：解：1.根轨迹有4条分支，起点为开环极点 0、-3、-1+j、-1-j，终点为开环零点-2及无穷远处。2.根轨迹在实轴上的分布为(-,-3和-2，0。第29页/共74页3.根轨迹有n-m=3条渐近线，4.极点-1+j的出射角为-26.6o 极点-1-j的出射角为+26.6o第30页/共74页5.根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为把s=j代入上式可解得 即根轨迹与虚轴的交点为 ，相应的根轨迹 增益为Kgc=7。第31页/共74页第32页/共74页4-3 广义广义根轨迹根轨迹其它种类的

10、根轨迹其它种类的根轨迹:3.正反馈回路和零度根轨迹 2.多回路系统的根轨迹1.参数根轨迹第33页/共74页 在实际系统设计中，除了根轨迹增益Kg外，还常常要分析其它参数变化时对闭环特征根的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参数根轨迹。绘制方法：用特征方程中不含可变参数的部分去除特征方程，得到等效的开环传递函数，使参变量的位置与Kg 的位置相当。一、参数根轨迹一、参数根轨迹第34页/共74页例例1.一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数 Kf 对系统暂态性能的影响。对系统

11、暂态性能的影响。解：开环传递函数为等效开环传递函数为-特征方程为第35页/共74页等效开环传函1.根轨迹有两条分支，起点为开环极点-1+j3、-1-j3，终点为开环零点0及无穷远处。2.根轨迹在实轴上的分布为(-,0。0 03.求分离点和会合点。s1=-3.16为会合点，相应的Kf =0.432 s1=+3.16不在根轨迹上，舍去。K Kf f=0.432=0.432第36页/共74页4.求极点p1=1+j3处的出射角由对称性可知p2=-1-j3处的出射角为以Kf为参变量的根轨迹如图所示。0 0K Kf f=0.432=0.432等效开环传函第37页/共74页 等效开环传递函数为等效开环传递函

12、数为 分析：Kf为任何值系统都是稳定的。0 0K Kf f=0.432=0.432当Kf0.432时，系统有两个不相等的实根，阶跃响应为过阻尼情况。第38页/共74页 等效开环传递函数为分析：0 0KKf f=0.432=0.432用幅值条件可求得相应的Kf 值。求 时的闭环极点及Kf 值。作 的射线与根轨迹的交点即为所求闭环极点。AB第39页/共74页二、多回路系统的根轨迹二、多回路系统的根轨迹根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。系统的开环传递函数系统特征方程以为参数第40页/共74页第41页/共74页研究以Kc 为变量的根轨迹系统有两个环，内环的闭环极点就是外环的开环极点！1）绘制内环

13、的根轨迹图内环的开环传递函数根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图第42页/共74页第43页/共74页2)确定内环的闭环极点要求内环的反馈系数 3.2Kf5z，可以产生类似附加单纯零点的作用。第70页/共74页开环传递函数上附加极点开环传递函数上附加极点降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲渐近线与实轴交点随着pc增大（pc 点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧三、附加开环极点对根轨迹的影响三、附加开环极点对根轨迹的影响第71页/共74页增加开环极点的影响增加开环极点的影响右移极点增加一个极点的情况第72页/共74页 如果系统的闭环极点位置已经确定，适当配置零点，可以对系统的稳态误差产生积极的影响。实际上附加开环零点后，除了改变了闭环极点在s平面的分布，而且也使闭环传递函数增加了零点，从而对闭环系统的稳态误差产生影响。四、稳态性能分析四、稳态性能分析第73页/共74页感谢您的观看！第74页/共74页