可逆矩阵.ppt

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1、 前面我们介绍矩阵了加、减、乘法等运算。前面我们介绍矩阵了加、减、乘法等运算。第三节第三节 可逆矩阵可逆矩阵来刻画，来刻画，那么是否可以定义矩阵的除法呢？那么是否可以定义矩阵的除法呢？由于由于矩阵的乘法不满足交换律，矩阵的乘法不满足交换律，因此，不能因此，不能一般地定义矩阵的除法。在数的运算中，一个不一般地定义矩阵的除法。在数的运算中，一个不为零的实数为零的实数 a 的倒数（或者的倒数（或者a 的逆的逆）可以用等式）可以用等式因此我们类似地引入因此我们类似地引入方阵的逆方阵的逆。设设 A A 为为n n阶矩阵，如果存在一个阶矩阵，如果存在一个n n阶矩阶矩阵阵 B B，使得使得 A B A B

2、=B A B A=E E则称则称 A A 为为可逆的可逆的（InvertibleInvertible），并称，并称 B B 为为 A A的的逆矩阵逆矩阵（InverseInverse），记作，记作 B=A-1-1。如果不存在满足上式的矩阵如果不存在满足上式的矩阵 B B，则称矩阵则称矩阵 A A是是不可逆的不可逆的。定义定义1 1一一.可可逆矩阵逆矩阵的定义的定义 1.单位矩阵是单位矩阵是可逆的可逆的，因为，因为 2.对于对于 n 阶对角矩阵阶对角矩阵因为因为所以所以 。可逆矩阵可逆矩阵与与不可逆矩阵不可逆矩阵都是存在的。例如：都是存在的。例如：=E所以这个所以这个 n 阶对角矩阵是阶对角矩阵

3、是可逆的可逆的，且，且 3.3.设设 3 3 阶阶矩阵矩阵因为因为所以这个所以这个 3 阶矩阵是阶矩阵是不不可逆的可逆的。若若 A 为为 n 阶可逆矩阵，且矩阵阶可逆矩阵，且矩阵B，C均为其均为其逆矩阵。则有逆矩阵。则有 若若 A 为为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的唯一的。定理定理1 证证下证下证即即逆矩阵确实是唯一的逆矩阵确实是唯一的，且，且 B=C=A-1-1。从而从而 设设 ,Aij 为为|A|A|的元素的元素 aij 的的代代为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵（adjoint matrix）。定义定义2数余子式，则称矩阵数余子式，则称矩阵 注意注意伴随

4、矩阵的具体形式。伴随矩阵的具体形式。二二.可可逆矩阵逆矩阵的判定的判定 设设 ，求求 解解 例例1所以所以同理同理 引理引理伴随矩阵有下列性质：伴随矩阵有下列性质：A AA A*=A=A*A=|A|EA=|A|E 证证同同理，有理，有 因为因为A 可逆，由定义可逆，由定义1知存在矩阵知存在矩阵 B，使，使 定理定理2 2n n 阶矩阵阶矩阵 A A 可逆的可逆的充要条件充要条件是是 ，并且此时并且此时证证 AB=BAAB=BA=E取行列式，得取行列式，得|AB|=|BA|=|E|AB|=|BA|=|E|即即|A|B|=10|A|B|=10 所以所以|A|0|A|0。因为因为|A|0|A|0，所

5、以有所以有证证 由由引理引理再由再由逆矩阵逆矩阵的定义的定义可知，可知，A可逆，且可逆，且 若若 n 阶矩阵阶矩阵A的的的行列式的行列式 ，则称，则称 定义定义3A是是非奇异的（非奇异的（或或非退化的非退化的）。否则，称否则，称A为为奇异的奇异的（或或退化的退化的）。设设A、B 均为均为 n 阶矩阵，且满足阶矩阵，且满足 AB=E （或或 BA=E）则则 A、B 均可逆，且均可逆，且 B=A-1-1，A=B-1-1。推论推论 于是，矩阵可逆与非奇异（或非退化）是等价于是，矩阵可逆与非奇异（或非退化）是等价的。的。即即同理可证同理可证|A|B|=1|A|B|=1所以所以|A|0|A|0，|B|0

6、|B|0，故故 A,B 均可逆。均可逆。再由再由 A 可逆，可逆，A-1-1 存在，在给定的条件等式两存在，在给定的条件等式两边左乘边左乘A-1-1，则得则得 由由 AB=AB=E E 得得 证证 AB=E （或或 BA=E）则则 A、B 均可逆，且均可逆，且 B=A-1-1，A=B-1-1。例例2 2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解同理可得同理可得故故 已知下列已知下列 3 阶阶矩阵矩阵，证明证明A可逆，并求出其可逆，并求出其 证证 例例逆矩阵逆矩阵 A-1-1。因为因为所以所以 A 可逆。又可逆。又所以所以于是于是解：解：，A可逆可逆例：例：设设判定判定A是否可逆？如可逆，是否可逆？

7、如可逆，求其逆阵。求其逆阵。设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足利用前面的利用前面的推论推论（AB=E）来判断是否可逆。来判断是否可逆。证证 例例3 3证明矩阵证明矩阵 A，A+E,，A+2E 均可逆，且求其逆。均可逆，且求其逆。于是于是A可逆，且可逆，且又又又又得得和和于是于是A+E,A+2E 均可逆，且其逆均可逆，且其逆例例三三.逆矩阵逆矩阵的性质的性质证明证明证明证明 设设A A为为 n n 阶矩阵（阶矩阵（n 2n 2），），是是 A A 的伴的伴由由引理引理，并取行列式，得，并取行列式，得 （1）当）当 ，即，即 A A 可逆，上式两端同除以可逆，上式两端同除以 证证 例例4 4两边

8、约去两边约去|A|A|，是否是否就直接得到？就直接得到？下面分三种情况：下面分三种情况：随矩阵随矩阵，证明：证明：（2）当）当 ，且且 A=0A=0 ，则则 ，结论，结论 （3）当）当 ，但，但 时，则有时，则有 。用反证法，假设用反证法，假设 ，即，即 可逆，因而可逆，因而 这与这与 矛盾。所以也有矛盾。所以也有|A|A|，即得：即得：显然成立；显然成立；前面我们介绍过，一般情况下，矩阵乘法前面我们介绍过，一般情况下，矩阵乘法消去消去律律不成立不成立。即。即 1.1.乘法消去律乘法消去律但是但是A A 可逆可逆或或四四.逆矩阵逆矩阵的应用的应用 1)1)在可逆条件下，用逆矩阵表示其解；在可逆

9、条件下，用逆矩阵表示其解；2)2)说明它与克莱姆法则求解结果的一致性。说明它与克莱姆法则求解结果的一致性。解解 n n 元线性方程组元线性方程组1)1)2.方程组求解与方程组求解与克莱姆法则克莱姆法则2)2)与克莱姆法则求解与克莱姆法则求解结果是一致的结果是一致的。事实上。事实上结果是一致的结果是一致的 分析分析矩阵方程矩阵方程解解例例解解又又故故则则例例解解则则 （可）逆（可）逆矩阵的概念；矩阵的概念；伴随矩阵的定义、性质；伴随矩阵的定义、性质；逆逆矩阵的判别方法，有关性质；矩阵的判别方法，有关性质；逆逆矩阵的矩阵的应用。应用。五五.小结小结 设设 A A 是是 n n 阶阶可逆可逆矩阵矩阵，A A*是它的是它的伴随矩阵，伴随矩阵，试求矩阵试求矩阵 A A*的的伴随矩阵伴随矩阵(A A*)*。综合性题综合性题六六.思考题思考题思考题解答：思考题解答：因为对任意因为对任意矩阵矩阵 A A ，有有 用用伴随矩阵伴随矩阵 A A*代替代替矩阵矩阵 A A ，得，得又由伴随矩阵的性质（又由伴随矩阵的性质（例例4）（1 1）（2 2）（3 3）（3 3）代入代入（2 2）得得 将将（4 4）与与（1 1）的变形式的变形式（5 5）做比较：做比较：（5 5）（4 4）即即由由 A A*可逆可逆，并由并由消去律消去律，得，得即即为所求。为所求。注意：注意：