数学高考练习第4讲体积、面积、周长、角度、距离定值问题（解析版）.pdf

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1、第4讲 体 积、面积、周长、角度、距离定值问题一、单选题1.（2022浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体ABCD-4向G R 中，点尸是线段A。上的动点，给出以下四个命题：异面直线PG与直线8 0 所成角的大小为定值；二面角P-8G-。的大小为定值；4 若 Q 是对角线4G 上一点，则PQ+Q C长度的最小值为y ；若R是线段3。上一动点，则直线PR与直线AC不可能平行.其中真命题有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C【解析】【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.【详解】解：对于，由正方体的性质可知，平面AB

2、G。，乂尸6 u 平面ABG。，故B L P C,异面直线P&与直线BG 的所成的角为定值，正确；对于，平面尸 8 a 即为平面A 8 G R,平面ABGR与平面BCQ所成的二面角为定值，故二面角P-8C 1-力为定值，正确；对于，将平面4CG沿直线AG翻折到平面ABCR内，平面图如下，过 C 点做C尸，A q,C P A Ci=Q,，此时，PQ+QC的值最小.由题可知，CG=l,C4=e,A G=石,NRAG=NC|AC=NAGB,sinNC|AC=，cosNC|AC=竽jr|则 ZCC,=-2NGAC,sin ZCC)E=cos2ZC1AC=2cos2 ZqAC-1=-,故*C=C xsi

3、n/CCE=；，又尸；=Aff=l,4故PQ+QC的最小值为W，故正确.对于，在正方体ABCO-ABCQI中易证AC_L平面BG,设AcnBD=o,则 0 G即为二面角A-8 0-G的平面角，又正方体边长为1,故A G=3,4 0 =0C=乎，则A。=C 0=亚,由余弦定理得cosZAOC=弁 C=:，故N A O G g,同理2 2 Ai(X *C 1 C z 9 2T V-ZA O C,G，故刊?A U故错误.故选：c.2.（2022北京人大附中模拟预测）已知正方体ABCO-44G。，。为对角线AG上一点（不与点A G重合），过点O作垂直于直线AG的平面a,平面a与正方体表面相交形成的多边

4、形记为M,下列结论不正确的是（）A.M只可能为三角形或六边形B.平面A3CD与平面a的夹角为定值C.当且仅当。为对角线AC；中点时，拉的周长最大D.当且仅当。为对角线A 0中点时，M的面积最大【答案】C【解析】【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状，周长及面积大小，通过法向量的关系可确定二面角的大小，从而判断各选型对错.【详解】如下图，在正方体中，体对角线AG与平面C瓦R,平面48。，平面OP0R5T都垂直，由图可知，在平面a运动过程中“只可能为三角形或六边形，故A正确：由题可知平面a与AG都垂直，所以平面a在移动过程中都是平行平面，与平面ABCD的夹

5、角为定值，故B正确；如下图，当。为对角线AC1中点时，M为正六边形OPQRST,而三角形A3。为等边三角形，根据 中 位 线 定 理=可得两个截面周长相等，故C错误；由图可得，当O为对角线AG中点时，M为正六边形。驯 丁，设边长OT=a,面积为地当。向下2刚开始移动时，为六边形。出QKSZ，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设QZ=4+x,SZ=a-M 0 xa）,而且所有六边形的高都相等且等于耳，两邻边夹角都为120,则S六 边 形。出0k S（=SA卬出+S枕 形 股 叼+S/Q内$=(a+x)(a-x)sinl20 x2+-(a +x+a-x)xx/3tz=-a2-x2-

6、A 8G P中，A B =2,M,N分 别 为A R，B g的中点，E,F分 别 为 棱A/3,C。上的动点，则三棱锥M-N E F的体积A.存在最大值，最大值为g4C.为 定值 B.存在最小值，最小值为|D.不确定，与E,尸的位置有关【答 案】C【解 析】【分 析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案.【详 解】如 下 图，连 接4 M,B N,在 正 方 体A B C D-A B C Q中，M,N分 别 为A R,B C的中点,何得MN/AB1CD,3 c 平面M E N,所以当F 在棱 8 移动时，尸到平面MEN的距离为定值，当E 在棱A 3移动时，E 到MN的距离为

7、定值，所以I 的 为定值，则三棱锥M-N 户的体积为定值.平面MEN即平面M 4 8 N,作C”_LBN于，由于A8_LC”，可得CH L 平面M A B N,由ABBN ACHB,可 得 毁=丝=2=丝=8=逑，而BN BC 加 2 5S.MEN=3*M NxBN=x2x/5=/5,VM_NEF=VF_MEN=-SVMEN xCH=.故选：C.4.（2022山西运城模拟预测（文）如图，正方体A B C O-A B C Q 的棱长为1,线段C 0 上有两个动点E,F,且 E F=g,点尸，。分别为4 乌，3片的中点，G 在侧面CDD上运动,且 满 足&G平面C A P Q,以下命题错误的是（）

8、A.ABt 1 EFB.多面体4EFB1的体积为定值C.侧面CDAG上存在点G,使得B|G1CDD.直线B Q 与直线8 c 所成的角可能为2O【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：连接G。，作图如下：因为AB8-A8GR为正方体，故可得D G A B 1,又D C J C R,E尸与C R是同一条直线,故可得O G _ L E F,则A4 LEF,故A正确；对B：根据题意，E F =1,F L线段班1在C。上运动，且点A到直线CR的距离不变，故A A E尸的面积为定值，又点

9、用到平面4 C 0的距离。也为定值，故 三 棱 锥 的 体 积VAEFBi=1 S E F x/?为定值，故B正确；对C：取G，CC的 中 点 分 别 为连接B、M,M N,N Bi，作图如下：B C容易知在1 中，M N/CDt,又 P D B M ,MN c B、M=M,CD、c P D、=D、,M N,u 面 BM N,CD P。u 面 P DtCQ,故面用M N 面 P DtC Q .又G在 侧 面 上 运 动，且满足4 G平面C R P Q,故G的轨迹即为线段M N:又因为A B C O-A B C Q为正方体，故C。J _面3 C G耳片Nu面B C C 6，故用N J.C。，则当

10、G与N重合时，Bfi 1 C D,故C正确：对D：因为B C与G，故直线及G与B C所成角即为直线耳G与国C所成角，即N G 4G,1 1在 MAB|C|G 中，CEmax=G N =g，GGmM=兴,故tan NC百G=等=GG e坐,：，而当直线用G 与直线BC所成的角为 时，4 c 4 2 otang=g 坐 工，故直线用G 与直线BC所成的角不可能为 故 D 错误.6 3 L 4 2J 6故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化.5.（2022.

11、全国高三专题练习）如图所示，在正方体A B C O-A gC Q 中，过对角线B R 的一个平面交AA于 E,交 CG于 F,给出下面几个命题:四边形8尸 或一定是平行四边形；四边形BFQE有可能是正方形；平面BFRE有可能垂直于平面B局。；设R F 与 0 c 的延长线交于M,与 OA的延长线交于M则 M、N、8 三点共线；四棱锥用-B F RE的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质和四边形的判定定理可判断；由正方形的性质可判断：由面面垂直的判定定理可判断；由两平面相交的性质可判断；由等积法和棱锥的体积公式可判断.【

12、详解】因为平 面 伏。与平面8 C G 4 平行，截面与它们交于Q E,B F,可得0 E/8 F,同样可得BE/DE，所以四边形8如 田 是一个平行四边形，故正确；如果四边形8F R E 是正方形，则 BE_LRE,因为8 E 1 A A，所以BE_L平面A A E,又R 4L 平面A R E,E 与 4 重合，此时BFRE不是正方形，故错误；当两条棱上的交点是中点时，四边形BFRE为菱形，E F L平面BBQQ,此时四边形8F R E 垂直于平面8 B Q D,故正确；由R F 与C 的延长线交于M,可得尸，且 M e O C，又因为R F u 平面8FR E,QCu 平面A8CZ）,所以

13、M e 平面B F 0 E,加平面48（7。，又因为B e 平面2F。了，B e 平面4 8 8,所以平面B F R E C平面A B C D =B M,同理平面3FRE n 平面A B C D =B N ,所以BM,8N都是平面B F R E与平面A3。的交线，所以B,M,N 三点共线，故正确；由于 V-BEDF=VE-BBQ,+/-阳0,1 CCJIAAII 平面 BB、D、,则 E,F 到平面8 8 a 的距离相等，且为正方体的棱长，三角形8BQ,的面积为定值，所以四棱锥瓦-B E R F 的体积为定值，故正确.故选:C.【点睛】此题涉及的设问情况较多，有一定成立，有可能成立.对于一定成

14、立的命题，需要利用定理加以证明，对于可能成立的问题举出例子即可说明其成立，利用反证法才能证明其不成立.故此类题在判断时，要学会选用适当的方法.6.（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）如图，棱长为1 的正方体ABCD-AB。中，点尸为线段AC上的动点，点M,N 分别为线段AC”C G 的中点，则下列说法惜送的是（）DiG.A BA.4 尸：4C.Z APDt e 60,120【答案】DB.三 棱 锥 的 体 积 为 定 值D.AP+R P 的最小值为|【解析】【分析】利用直线与平面垂直判定定理，三棱锥体积公式，以及余弦定理与极限位置分别判断选项真假即可。【详解】由BCJ平面AB4A，

15、可得则由 AA 1 BC,AB,_L A,ABCBC=8,可得 AB,1.平面 A.BC又A/u 平面A B C,则所以A 项命题正确;由于M,N分别为AG，C G 中点，可得NA C因为点p 在AC L,所以点P 到平面EN M 的距离为定值,则三棱锥M-N P的体积%叫“=丫2=：S由于5 4 阚 和 h 都为定值所以三棱锥-4 桥 的体积为定值，所以B 项命题正确;设AP=x,由对称性可得DAP2+D P2-D A2 lx1-2 1tP=x,则cos 4皿=c?八二=-2-=1 -二,i J i i 2x x当 P 与 c 重合时，此时j 4即 达 到 最小为初,当 A P1A C 交

16、A C T P 时,由等面积法可得3 m=喑邛，此时co sN A P R=l-=-!，乙4PA达到最大为120,所以C 项命题正确;厂 2将平面A41c 与平面沿4。展成平面图，当交A。于 P 时，可得AP=D,P=x =,此时A P+O/=2 西为最小值,1 3 1 3所以D 项命题错误；故选D。【点睛】本题考查命题真假判断，空间几何体中直线与平面垂直，几何体的体枳，以及余弦定理求夹角，以及夹角最值问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属于中档题。7.（2022全国高三专题练习）如图，在正方体A 8 8-A B C Q 中，点 P 为线段A C 上的动点（点尸与A，C 不重合），

17、则下列说法不正确的是（）A.B D 1 C PB.三棱锥C-的体积为定值C.过 P,C,，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D.OP与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 最 大 为:【答案】D【解析】【分析】A.通 过 平 面 A C C/进行说明；B.根据等体积法进行说明；C.分析尸点位置，作出截面图形后进行判断；D.先分析线面为NAP。，然后表示出sin N E D,通过分析P R 的长度确定出正弦值的最大值.【详解】由 题 可 知 平 面 ACGA，所以B D _LC P,故 A 正确；由等体积法得匕一 成“=Vp_ BCD=1 S,BCD A4,为定值，故 B 正确;设A G

18、 的中点为，当P eM G 时，如下图所示：此时截面是三角形R 2C,当PeM A 时，如下图所示:此时截面是梯形A Q R C,故 c 正确;选项D,在正方体中，连接口尸，则R P 为 在 平 面 A B C。上的射影，则为D P与平面A g C Q 所成的角，设正方体的棱长为1,PD、=x,则。尸=/，si n Z DtPD=,当x 取得最小值时，sinN P D 的值最大，即P JL A G 时，的值最小为 包，2所以sin NRP。的值最大为色，故 D 不正确.3故选：D.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与

19、截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.8.（2022全国高三专题练习）已知正方体A B C O-A A G R内切球的表面积为兀，尸是空间中任意一点：若 点 尸 在 线 段 上 运 动，则始终有若M 是棱G 中点，则直线A 与CC,是相交直线；若点尸在线段4。上运

20、动，三棱锥。-BPG体积为定值；E 为AZ）中点，过点与，且与平面A 8E 平行的正方体的截面面积为亚；以上命题为真命题的个数为（【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理证明是真命题；由图可知直线AM 与CG是异面直线，故是假命题；利用等体积转化法得到三棱锥。-8 P G 体积等于三棱锥C-B P G 的体枳，接着求点到平面的距离和底面面积，从而证明三棱锥。-8 P C 体积为定值；做出过点用，且与平面B E 平行的正方体的截面为面AMON,最后求其面积即可.【详解】因为正方体A B 8-A 8 G。内切球的表面积为兀，设内切球的半径为r,则4万 产=%，解得r=；,所以正方体A8CO

21、A g G R 的棱长为2r=1,因为 C0 JLBG，Cq 1 4 3,且 8G nA 8=B,所以C J L面ABGR,因为Cfu面A 8 G R,所以G P _ L C瓦恒成立，故是真命题；由图可知，直线A 9CG是异面直线，故是假命题:由图可知：因为C D/B P G，三棱锥。-8 P G体积等于三棱锥C-B P G的体积,由知，Cg,面8 P G，所以C点到面8 P G的距离为 也，2因为动点尸到直线BG的距离等于1,所以ABPG的面积等于2 x 0 x 1 =遮,2 2所 以%B P C =x正x l =，故棱锥O-8 P G体积为定值，故是真命题;D-BPG 3 2 2 6取4R

22、中点为M.B C中点为N,连接BM,M D,DN,B、N因为 B、M/BE,BN AE,所以面 用M O N/面 A B E,所以过点B,且与平面 B E平行的正方体的截面为面B、M D N ,由图可知面B M D N是菱形，其中对角线长为勺。=6,M N =拒，所以品=亚，故是真命题；真命题的个数有3个，1 2 2故选：B;【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长

23、等于球的直径.二、多选题9.（2022 山东师范大学附中模拟预测）已知正方体ABC。-A 4 G A 棱长为2,P 为空间中一点.下列论述正确的是（）ULB I uuur MA.若则异面直线8 P 与C Q 所成角的余弦值为正2 6LIU UUM UUUB.若 BP=/lB C+8B/le0,l）,三棱锥P-A C 的体积为定值uir uun 1 uuir/、C.若 BP=/lBC+5 B q（/l0 ）,有且仅有一个点P,使得A C，平面ABfUUU U U U /九 乃D.若 AP=；M A（/l O），则异面直线BP和G。所成角取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据向量关系式确定动

24、点位置或轨迹，然后判断各个选项正误.【详解】选项A：由题，如下图，P 为A A 中点，取 的 中 点 O,连接2 0,8 0,则POG。，所以NBPO或其补角即为异面直线5 P 与G。所成的角，易得BP=娓,PO=近,BO=娓,所以 cos NBPO=B,A 正确；6选 项 B：由条 件 而=4 阮+瓯（2 w 0,1 ），可知尸点的轨迹为线段4G，因为耳C 1 B C,故尸到平面ABC的距离为定值，且三角形AABC面积为定值，故三棱锥P-ABC体积为定4值 故 选 项 B正确.选项C：由 而=Xm+g函。e 0,1 ）可知点P在线段E 尸上（E、尸分别为明、CG中点），因为A C _ L 平

25、面A4R,所以平面A8/即为平面A8Q,点 P即为平面A8Q与直线 交点，此交点在尸E延长线上，故选项C错误.选项D：由A 户=九耳。；(；10,1)可知点P 的轨迹为线段A R .建系如图，得Q D=(-2,0,2),5(2,0,2),设 P(0,a,2-a),a w 0,2,则 丽=(-2,a,-a),所以.4 2Q 2 ac o s BP,C =,令2-a=x e 0,2,2 垃 +2/242+/jr当a=2,即x =0 时，c o s 丽，场 =0,此时直线 班 和 G。所成角是万；c o s BP,C Q=-j-“1 1当。=2,即x w(0,2 时，则 1.6 4,令一-,-KO2

26、J 7 +1 x 2x2 xc o s 丽，泵 =2 J今+1,所以当g =f =g，即。=o 时，C O S 丽，丽 取最大值为*,直线附和所成角的最小值为,故选项D正确.4故选：ABD.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定，体积求法及异面直线所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线方向向量或平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.10.（2022海南华侨中学模拟预测）如图，ABC。是边长为5 的正方形，半 圆 面

27、 平 面A B C D 点 P 为半圆弧A D上一动点（点 P 与点A,。不重合）.下列说法正确的是（）A.三棱锥P AB。的四个面都是直角三角形125B.三棱锥P-A B Q 体积的最大值为今C.异面直线物与B C的距离为定值D.当直线PB与平面ABC。所成角最大时，平面物B截四棱锥PABC。外接球的截面面积为25(3一拒)万4【答案】AC【解析】【分析】利用面面垂直和线面垂直的性质可得A 8_L A P,由平面几何知识可证明Z A P D =9 0 ,AB A.AD,ZBPD=90,由此可判断选项A；当点P 是半圆弧AD的中点时，三棱锥尸-丽 的底面积凡次,取得最大值，求解即可判断选项 B

28、；证明A B为异面直线P A与8 c 的距离，即可判断选项C：过点P 作/H-LAD于 点 连 接 W 7,确定为直 线 依 与平面A8CD所成的角，利用平面几何知识，表示出s ir/P B H,利用基本不等式求解最值，即可得到答案.由题意可得正方形ABCD的中心即为四棱锥P-A B CD 的外接球的球心，求其对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.【详解】对于A 选项，因为底面ABCD为边长是4 的正方形，则AB_L4),又半圆APDL平面ABC。，半圆APn平面A3CD=4。，A B I平面ABC。，则AB_L半圆4PO,又 A P u 平面APD,故则”/汨为直角三角形，所

29、以尸8?=4尸+4*,因为A。是圆的直径，则 NAPD=90。，故4PO 为直角三角形，所以尸 2=A 2 _ A p 2,因为 AB JL AD,则4)8 是直角三角形，所以 8/)2=4)2+482,在/PDB 中，PB2+PD2=(AP2+AB)+(AD1-AP2)=AD2+AB2=HD2,则 NBPD=9 0。,所以“PD为直角三角形，故三棱锥尸-9的每个侧面三角形都是直角三角形，故选项A 正确；对于B 选项，在三棱锥中，AB_ L 半圆面APO,则A B是三棱锥P-A H D的高，当点尸是半圆弧A D的中点时，三棱锥P-AB 的底面积邑,也取得最大值，三棱锥P-A 3 D 的体积取得

30、最大值为g x 5x；x 5x|=空，故选项B 错误；因为半圆面AP _ L 平面A8 C 3,43L/W,半圆面A P O D 平面43a =A,所以A8 _ L 半圆面A P D，又月4u半圆面A P O,所以AB _ L B 4,又AB _ L 8 C,所以A 3为异面直线R4 的距离，所 以 异 面 宜 线 与 3C的距离为定值；故 C正确;对 于 D选项，取 3D的中点。，由选项A 中的解析可得，O A=O B=O P=O D=-BD=,2 2所以点。为四棱锥P-A B C D 外接球的球心，过点尸作P/_ L A）于点H，连接8H,如图所示,因为半圆面ARD JL 平面AB C Z

31、),半圆面APZ n平面A B C D =A，故尸”_ L 平面A8 C 3,所以B H 为PB在平面A B C D内的射影，则N P B H为直线PB 与平面43a 所成的角，设 A H =x,贝 i 0 vxv5,D H =5-x,在 RtA4 P 中，PH2=A H DH =x(.4-x),PD2=D H A D =5(5-X),所以尸必=BD-PD2=(5 扬 2 -5(5 -x)=2 5 +5 x,故u.a.2 /D丽 PH=不x(5w-x)F1 Rx2-,5 x令i=x+5,P J i J x=t-5,且 5 r/2-5)x(1 0-5 7 2),所以 P =5蚯(&-1),A产=

32、(5&-5尸+(5底(五-1)2,AP=5 j 及-1,过。作 于 M,S&A D P=A DXPH=A PXDM,解得 DM=5,及-1短,所以球心。到面E4B的 品 巨 离d =5H啦,2设截面半径为，则有，=(半)2一 =-生 电 二 逑=莘，所以截面面积为驾 身，故2 2 4 4 4D错误；故选：AC.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体外接球的理解与应用，空间角、空间几何体的体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题.1 1.(2 0 2 2.浙江省杭州学军中学高二期

33、末)如图，棱长为2的正方体A B C。-48G2中，E、F分 别 为 棱 的 中 点，G为面对角线80上一个动点，则()A.三棱锥A-EFG的体积为定值B.线段B。上存在点G,使平面E F G 平面BO GC.设直线尸G与平面BCG用所成角为，贝I Jcos，的最小值为gD.三棱锥A-EFG的外接球半径的最大值为逑2【答案】A C D【解析】【分析】A选项，使用等体积法，面面平行进行证明；B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C选项，求出平面BCCg的法向量，先求出正弦值的最值，进而求出余弦值的最值；D选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】因为平面A DDA 平面

34、8CG瓦，而B,C u平面8CG耳，故8 0 平面A DRA，因为点G为面 对 角 线 上 一 个 动 点，故G点 到 面 距 离 不 变，为2,因为 歹 分别为棱A RM A的中点，故 面 积 不 变，故三棱锥一 仍不变，三棱锥的体积匕产=%见 故A正确；如 图1,以。为坐标原点，。A所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，0A所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则 3（2,2,0）,0（0,0,0）,G（0,2,2）,E（l,0,2）,*2,0,1）,设0 m 2),平面8 O C 1的法向量为=(%,加4),则心 黑 _个/7 1 /J,+Z Z u令 =1,则百=-1,z,=-1,则）=（一

35、1,1,1）,设平面 E F G 的法向量*=（&,%,Z 2），则n2-EF=x2-z2=Q区.而=(优一2)+2%+(?-1 2=0 *%=，%=3-2m,所以23-2m，2J ,则设点=%后，即（一1,1,-1）=4I,3-2m,11解得：k=7,2 =|,因2为0 4 zV 2,故不合题意，所以线段BQ上不存在点G,使平面E F G 平面B D G ，8错误;而=（加 2,2,加 1）,平面BCG用的法向量为第=（0 4,0），则|(川-2,2,m-1)(0,1,0)|2s i n0 =|c o s(FG,嘲=)2病-6 m +9 12病-6加 +9其中2m2-6 m+9=23m22则

36、s i n。的最大值为延，因为所71以c o s 的2 232最小值为g,c正确;如图2,连接 也 交 所 于 点，则，为 的 中 点，A J考，则三棱锥A-M G的外接球球心的投影为1/,过点G作力丁点H,则GHL平面A O0A，G =2,找到球心位置0,连接。4,0G,则0 A =0 G ,为外接球半径，过点。作O K _ L G H于点K,则O K =JH,O J=H K,设 O K =JH=a（0rzC|_L84，A G cG=G，二直线 8。4平面AC。，故A正确；对于 B,V D/B,c,A O u平面 AG。，q c a 平面 AG。，BC 平面 AG。，点P在线段BC上运动，点

37、P到 平 面 的 距 离 为 定 值，又AAG。的面积为定值，利用 等 体 积 法 知 三 棱 锥AGP的体积为定值，故B正确；对于C,4。瓦C,.异 面直线AP与4D所成的角即为的与所成的角，当点P位于C点时，4尸与8C所成的角为60。，当点尸位于BC的中点时，平面BCG&,BP1B.C,.AP1 BtC,止 匕 时，AP与所成的角为90。，异面直线 钎 与A。所成角的取值范围是 60。,90。,故C错误；对于D,以。为原点，D4为x轴，0 c为 轴，DR为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCO-ABCQ的棱长为1，P（a,a）,则0(0,0,0),A(l，0，l)，C,(0,1,1),

38、函 =(1,0,1),西=(0,1,1),Q P=(a,0,a-l),设平面AG。的法向量)=(x,y,z),则,为 普 U，即 +，:，令X=1,得”(1,1,-1),所以，直线GP与平面ACQ所成角的正弦值为：印 万|_ _|G4同 归+(”1广 行(、_ j+J.1 =瓜与时，直线CF与平面AG。所成角的正弦值取得最大值，最大值为 一行,故20由D正确.故选：A B DXy【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题

39、.1 3.(2 0 2 2 全国高三专题练习)在正三棱柱A8C-A4G中，AB=AA=,点户满足丽=几 配+瓯，其中则()A.当4 =1时，444P的周长为定值B.当=1时，三棱锥P-AfC的体积为定值C.当2=；时，有且仅有一个点P,使得A/LBPD.当=g时，有且仅有一个点P,使得A/，平面A B,【答案】B D【解 析】【分 析】对 于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对 于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对 于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数：对 于D,考虑借助向量的平

40、移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点的个数.【详 解】x易知，点P在 矩 形BCC4内 部（含 边 界）.对 于A,当;1 =1时，B P=B C+/n B B B C+/JCC,即 此 时Pe线 段CG，做P周长不是定值，故A错 误：对 于B,当 =I时，而=2前+函=函+/1而，故 此 时P点轨迹为线段B ,而B B C ,片和平面ABC,则 有P到 平 面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对 于C,当；1 =:时，而=:而+函，取3 C,BC中点分别为0,，则 丽=丽+丽，所 以P点 轨 迹 为 线 段 不 妨 建 系 解 决，建立空间直角坐标系如图，P

41、（o,o,）,k ）则 凝=,而=（o,-；,），丽.丽=4（4-1）=0,所以=0或=1.故均满足，故C错 误；对 于D,当=；时，B P =B C +-B B,取 四，CG中点为丽=丽+九 丽，所以尸点轨迹为线段M N.设因为A1 ，O,O,所以入户=一手,；,4/乙 L 乙/r-4 月=2 T-1,所以5+；%-；=0=%=-；，此时尸与N 重合，故 D 正确.）故选：BD.【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.14.（2022.山东山东.高一期中）在四面体 ABC。中，A B =C D =A C =B D =2,S.AD=BC=,若用平面a 去截四面

42、体ABC。，则下列结论正确的为（）A.a 截四面体4BC。所得截面形状可以为菱形B.当8 c。时，a 截四面体ABC。所得截面形状不可能为直角三角形C.当AB/a,CZ）a 时，a 截四面体ABC。所得截面形状的周长为定值D.四面体ABC。的外接球表面积为7万【答案】ACD【解析】【分析】A 利用中位线性质及已知条件作过BC,AC,AD,BD的中点平面即可判断；B 当E 为AD中点，由余弦定理判断Z B E C,并分析B C/a,即面a 与面ABC或面BCD的交线移动过程中N5EC的变化趋势即可判断；C 作出一个满足条件的截面，利用等比例性质判断截面周长；D 将四面体补全为长方体，求长方体外接

43、球表面积即可.【详解】A：当a 过棱8C,AC,AD,8。的中点构成的平面四边形，AB=C D =A C B D 2,由三角形中位线性质可知：截面形状为菱形，故正确;B：如图，当E 为AO中点时，C E=B E =.5 5,-H-6 此时8CE中cos4EC=2 2=一 即NBEC为钝角,2x-52若截面过E且5Ca,即面a与面ABC或面8c。的交线/BC,所以交线在向顶点A或。移动过程中N8EC趋向于0,故 可 能 为 直 角 三 角 形，故错误;C：如图，。截四面体A5C0所得截面为四边形/G/,V a/M B,a/CD,由线面平行的性质可知：四边形尸Gm为平行四边形,GH AG GF C

44、GCDACy AB-AC*.GH GF.-+则 G+GF=2,平行四边形FGm的周长为定值，故正确;D：如图，四面体ABCO可由棱长分别为 白，6，1的长方体的对角线构成,易知四面体ABCD的外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长度，D外接球半径为 五，表面积为7兀，故正确；2故选：ACD.15.（2022山东聊城三模）在直四棱柱ABCQ-ABIG。中，所有棱长均2,ZBAD=6O。，P为CC,的中点，点。在四边形D C G?内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点。在线段CR上运动时，四面体A/P Q 的体积为定值B.若 AQ平面A B P,则 4 Q 的最小

45、值为石C.若AB。的外心为M,则 用.而彳为定值2D.若 4。=疗，则点。的轨迹长度为与【答案】ABD【解析】【分析】由题易证得“C面A B P,所以直线c9 到平面A 2P 的距离相等，又AA BP的面积为定值，可判断A；取 O R,O C 的中点分别为M,N,连接A M,M N,4V,由面面平行的判定定理可得平面ABP面4 0 N,因为A Q u面 4 0 N,所以A。平面4 2 尸，当4Q L M N 时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点A，4,使得44=6,易知点。的轨迹为圆弧4 4 可判断D.【详解】对于A,因为A B/R C,又因为A B

46、 u 面 4 8 P,R C（Z 面 A 8 P,所以R C/面 A&P,所以直线CR到平面AB。的距离相等，又AABP的面枳为定值，故 A 正确；DiCi对于B,取 DR,D C的中点分别为,N,连接AM,MN,AN,则易证明：AM UPC,四g 面人/尸，PC N 面 A 8 P,所以AM 面A 8P,又因为 AB/MN,MN(Z 面 ABP,A 8U 面 A B P,所以 MN 面 ABP,M V cA M=，所以平面A3P 面AMV,AQU面 A W N,所以AQ 平面A0尸当AQ_LMN时，A。有最小值，则易求出4W=6,MN=J IAN=l AD2+DNZ-2A D D N cos

47、 20=4+l-2 x 2 x l x|-1 ,所以 Q,M 重合,所以则 A。的最小值为AM=石，故 B 正确；Dr Ci对于C,若A3。的外心为M,过 M 作M_LAB于点”，丽 3+2 2 =2&则 还 而=3 即 2=4.故C 错误；小Q对于D,过 A作于点。，易知A。，平面C Q D,op=AAcos=i在。A，2G上取点A 3,4，使得AA=6,R4=1,则 44=44=疗，。4=%=/7=2所以若4。=近，则Q在以。为圆心，2为半径的圆弧人&上运动，又因为。=1,。4=石，所以幺4=?，则圆弧4 4 3 等于 等，故D正确.故选：A B D.1 6.（2 0 2 2.全国高三专题

48、练习）正三棱柱ABC-A4G的各条棱的长度均相等，。为 A A,的中点，M,N分 别 是 线 段 和 线 段 CG上的动点（含端点），且满足BM=GN,当M,N运动时，下列结论正确的是（）A.在AZWN内总存在与平面ABC平行的线段B.平面MN_L平面8CC|gC.三棱锥A-DW V的体积为定值D.AMN可能为直角三角形【答案】ABC【解析】【分析】取用N、8 C 的中点。、E,连接0。、OE、A E,证 明 平 面 ABC可判断A 选项正确；证明AEJ_平面3CG用，结合面面垂直的判定定理可判断B 选项正确；由久心”为定值，结合锥体的体积公式可判断C 选项的正误；利用反证法可判断D 选项的正

49、误.【详解】取M N、BC的中点0、E,连接0。、OE、AE.对于 A 选项，；BB*CC BB,=CG，B M =CN ,B M +C N =C、N +C N =CCt=，且 BM/CN 11,易知四边形8cM W 为梯形或平行四边形，因为O、E 分别为MW、8 c 的中点，所以，O E/BM/CN ,则OE/AD,3 c m B M+C N 1 1 .且 0E=-2=2C C =2A AQ为 AA 的中点，.AO=gA 4,=O E,所以，四边形4 9 0 E 为平行四边形，。/史，OQO平面ABC,A E u平面A B C,.。Q平面ABC,A 选项正确；对于B 选项，.4 3 C 为等

50、边三角形，E 为3 c 的中点，则 AE_LBC,3耳 _L平面ABC,A E u平面 ABC,Q BCI BB B,，平面 BCCt Bt,O D/AE,OD，平面 BCC、Bt,.8 u 平面因此，平面 MN _L 平面B C G A ,B选项正确;对于C选项，因为AAOW的面积为定值，C C J M，C G Z 平面4 4 乃，A 4 1 U平面AAB,所以，CQ 平面因为Ne CG，所以，点N到 平 面 的 距 离 为 定 值，进而可知，三棱锥A-DM N的体积为定值，C选项正确；对于D选项，平面BBCC，用MN为直角三角形，则AMV为等腰直角三角形，则。O=O M=ON=LN,2设正