2021年中考数学重难点题型专题11平行四边形（简答题专练）【含答案】.pdf

《2021年中考数学重难点题型专题11平行四边形（简答题专练）【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学重难点题型专题11平行四边形（简答题专练）【含答案】.pdf（31页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题1 1:平行四边形(简答题专练)1.如图，在长方形4 8。中，A B =C D =6 cm,8C =/0 c w,点尸从点8出发，以2。掰/秒的速度沿8 C向点运动，设点尸的运动时间为 秒：(1)PC=C W 7.(用/的代数式表示)(2)当,为何值时，BP*DC P?(3)当点P 从点B开始运动,同时，点。从点0出发，以丫。加/秒的速度沿8向点。运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，是否存在这样n的值，使得Z B尸与 P Q C全等？若存在,请求出丫 的值；若不存在，请说明理由.(1)P C =10-2t.(2)t=2.5,理由见解析；(3)存在，v=2.4 或者 v=2

2、.【分析】根 据S=v t计算线段BP=2 t,利用BP+P C=BC求P C即可;5(2)根据三角形全等，得BP=P C=5,所以t=2秒；(3)分B P =C Q和B A=。两种情形讨论求解.(1)点P从点8出发，以2。/秒的速度沿8 C向点C运动，点尸的运动时间为/秒，*B P =2tf,.PC=10 2/.(2)当，=2.5 时，&A B P *DC P理由：当f =2.5 时，B P =2 5 x 2 =5PC=10 5=5.在/A P 和A。尸中AB=DC*NB=NC=9 0 BP=CP.B P*D C P(SAS)*，(3)当 8P =C。时，N 8=P C 时，B P沁DCP；

3、AB=6,，尸 C =6,-8P =1 0-6 =4，/.2,=4 ,解得r =2,.CQ=BP=4所以2 V =4 ,v-2.当 BA=CQ,PB=PC 时，AABP*DCP.PB=PCPB=pc=-B C =5：.2 ,2t=5,解得1 =2.5,.CQ=BA=6解得v =2.4；综上所述，当v =2.4 或者v =2 时 尸 与 .【点评】本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键.12.如图，在正方形48C。中，E 是ZO的中点，尸 是 上 一 点，且/=4/8.求证：CEVEF.证明见解析【分析】利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA,AA=ZB

4、=ZBCD=ND=90a，进一步利用勾股定理求得CE、EF、C户的长，再利用勾股定理逆定理判定即可.连接W，,设出边长为为正方形 AB=BC=CD=DA，ZA=NB=/BCD=ND=90。设 AB=BC=CD=DA=aAF=-AB是/O 的中点，且 4AE=ED=a AF=a：.2,4BF=-a4在R tA C D E中,由勾股定理可得1 a2CE2=CD2+D E2=a2+=5 a21 4C F2=BF-同理可得:a2-E F2+CE2=C F2.CEF为直角三角形；.N C E F =90 C E 1 E F【点评】此题考查勾股定理的逆定理，正方形的性质和勾股定理，解题关键在于设出边长为。

5、.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点，B E交 A C于点F,连接DF.(1)求证：ZB A C=ZD A C,Z A FD=Z CFE；(2)若 ABC D,试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使N E FD=N B CD,并说明理由.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)当 BE_ LCD时，ZEFD=ZBCD【分析】(1)先判断出aA B C丝ZXADC得到N B A C=N D A C,再判断出4A B F丝ZADF得出Z A FB=Z A FD,最后进行简单的推算即可；(2)先由平行得到角相等，用等量代换得出

6、/D A C=N A C D,最后判断出四边相等；(3)由(2)得到判断出B CFgZ xD CF,结合BE_ LCD即可.(1)证明：在A A B C和aA D C 中，AB=AD CB=CDAC=ACAAABC AA DC(SSS),AZBAC=ZDA C,ffiAABF 和4A DF 中，AB=AD ZBAF=NDAFAF=AF 二ABF 之ADF(SAS),A ZA FB=ZA FD,V ZCFE=ZA FB,A ZA FD=ZCFE,.NBAC=NDAC,ZA FD=ZCFE；(2)证 明:VAB/7CD,AZBAC=ZACD,VZBAC=ZDA C,NBAC=NACD,AZDAC=

7、ZACD,.AD=CD,VAB=AD,CB=CD,AB=CB=CD=AD,，四边形ABCD是菱形；(3)BEJ_ CD 时，ZBCD=ZEFD；理由如下:丁四边形ABCD是菱形，ABC=CD,ZBCF=ZDCF,VCF=CF,A A B CF A D CF,AZCBF=ZCDF,BE _LCD,.ZBEC=ZDEF=90,/.ZBCD=ZEFD.4.如图，平行四边形4 8 8 的对角线/C、8。相交于点。，E F过点。且与4 8、CD 分别相交于点E、F,连接 EC.(1)求证：O E=O F；(2)E F LAC,8E C的周长是1 0,求平行四边形/8 C D 的周长.(1)证明见解析；(

8、2)20.【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OD=OB,DCA B,推出/F D O=/E B O,证DFOgZB EO即可；(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出A E=CE,由已知条件得出BC+A B=10,即可得出平行四边形ABCD的周长.解：(1)I 四边形ABCD是平行四边形，；.OD=OB,DCAB,.,.ZFDO=ZEBO,ZFDO =/E B OOD =O B在DFO 和ZXBEO 中，NFO D=Z E O B ,.DFO A BEO(ASA),.,.OE=OF.(2)解：.四边形ABCD是平行四边形，AAB=CD,AD

9、=BC,OA=OC,V EF A C,；.AE=CE,V A B EC的周长是10,；.BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,，平行四边形ABCD的周长=2(BC+AB)=20.5.如图I,已知正方形ABCD的对角线AC、B D相交于点O,E 是 A C上一点，连结E B,过点A 作 AM-LBE,垂足为M,A M 交 B D 于点F.(1)求证：OE=OF：(2)如图2,若点E 在 A C的延长线上，AM 工B E于点M,交 D B 的延长线于点F,其它条件不变，则结论 OE=OF”还成立吗.如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(1)证明见解析；(2)成立，证明见解

10、析.解：(I)二 四边形ABCD是正方形.ZB OE=ZA OF=90,OB=OA,又；AM _L BE,ZM EA+Z MAE=90=ZA FO+ZM AE.ZM EA=ZA FO,A R tA B OE RtAAOF，OE=OF(2)OE=OF 成立 四边形ABCD是正方形，.N B OE=/A OF=90。，OB=OA又：AM_LBE,，Z F+N M B F=90=Z E+ZOBE又：NM BF=NOBE，N F=N E，RtABOE RtAAOF.*.OE=OF6.如图将矩形/8 C Q 沿对角线/C 对折，使/2 C 落 在 的 位 置，且 CE与 4)相交于点尸，求证:EEF=D

11、F.【分析】先由四边形为矩形，得出/E=C。，NE=ND,再由对顶角相等，即可证明/E尸 名 8 尸即可.四边形/B C D是矩形，A Z D=Z E,AE=CD,又；N AF E=N CF D,在/和尸中，Z =ND N A F E =NC FDA E =C D9：.EF 之 CD F(AAS),:.E F=D F.7.(1)如 图 矩 形 的 对 角 线ZC、BD交于点0,过点。作判断四边形c 尸的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由目密图0 9 1 图2 图3(1)四 边 形 的 形 状 是

12、 菱 形，理由见解析；(2)四边形CO(3)四 边 形 的 形 状 是 正 方 形，理由见解析.D P ,且 DP =。,连接C P,?尸的形状是矩形，理由见解析；【分析】(1)根据矩形的性质证得，再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形C O D P是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证得结论；(2)根据菱形的性质可得Z D OC=90,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证得结论；（3）根据正方形的性质可得OD=OC,Z D OC=90,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边

13、形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定即可证得结论.（1）四边形尸的形状是菱形，理由是：四边形N8CZ）是矩形，s cc O A =O C =-A C O B =O D =B D:.A C =BD,2,2,O C =O D，,DPI I O C D P =O C*，二四边形COD P是平行四边形，O C =O D ,，平行四边形COO尸是菱形；（2）四边形COOP的形状是矩形，理由是：.四边形Z 8C O 是菱形，A C 1 B D，*Z D O C =90，.D P H O C D P =O C，四边形C。尸是平行四边形，ZZ）OC=90,平行四边形COOP是矩形；（3）四边形C

14、OOP的形状是正方形,理由是：.四边形Z 8C O 是正方形，ACLBD，AC=BD，OA=OC=-A C2OB=OD=-BD2 Z DOC=90，OD=OC，.DPI IOC，DP=OC四边形C O D P是平行四边形,4DOC=90，OD=OC，平行四边形C O D尸是正方形.【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，考查学生的猜想能力和推理能力,综合性较强.8.在平行四边形A B C D中，点E在AD边上，连接B E、C E,E B平分N A E C,(1)如 图1,判断4 B C E的形状，并说明理由；(2)如图 2,若/A=90。，B C=5,A E=1,求线段

15、B E 的长.(1)证明见解析：(2)回(1)如 图1中，结论：4 B C E是等腰三角形.证明：.四边形A B C D是平行四边形，；.B C A D,.Z C B E=Z A E B,V E B 平分 N A E C,；./A E B=N B E C,.,.Z C B E=Z B E C,；.C B=C E,A A C B E是等腰三角形；(2)如图2中，；四边形A B C D是平行四边形，Z A=90,.四边形A B C D是矩形，.Z A=Z D=90,BC=AD=5,在 Rt ECD 中，VZD=90o,ED=AD-AE=4,EC=BC=5,A B =C D=飞EC。-DE。=V52

16、-42=3,在 R t/E B 中，v ZA=90,AB=3.AE=1,，B E =A B2+A E2=A/32+12=M.9.如图，在B C D 中，D E=C E,连接A E并延长交B C的延长线于点F.(1)求证：A A D E A FCE；(2)若 AB=2BC,Z F=3 6 ,求NB 的度数.(1)见解析；(2)108【分析】(1)利用平行四边形的性质得出ADBC,A D=B C,证出N D=N E CF,由 A SA 即可证出4A D E A FCE：(2)证出A B=FB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC,AD=BC,

17、.Z D=Z ECF,在4A D E 和4 FC E 中，ND=/EC F DE=C EZA ED=N F E C.A DE A FCE(A SA)；(2)V A A D E A FCE,，AD=FC,；AD=BC,AB=2BC,.*.AB=FB,.*.ZBAF=ZF=36,.ZB=180-2x36=108.【点评】运用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.1 0.如图，在Rt/X/B C中，ZA C B=9 0,过点C的直线M V 28,D为 4 B边上一点,过点。作DEL BC,交直线MV于

18、E,垂足为F,连 接C D、B E.(1)求证：CE=AD-,(2)当。在N 8中点时，四边形8E C。是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若。为中点，则当/的大小满足什么条件时，四边形8E C A是正方形？请说明你的理由.(1)见解析；(2)四边形8E C D是菱形，理由见解析；(3)当/4=4 5。时，四边形8E C D是正方形，理由见解析【分析】(1)根据两组对边平行，证明四边形/O E C是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到C E=A D；(2)先根据一组对边平行且相等，证明四边形5E C。是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明C D=BD,从而证明四边形8

19、E C Z)是菱形；(3)当/4=4 5。时，四边形8E C Z)是正方形，证 明 是 等 腰 直 角 三 角 形，再利用“三线合一”的性质证 明C D _ L/3,从而证明四边形8E C Z)是正方形.(1)证明：,：D E B C,：./D F B=9 0。,Z A C B=)0 ,：.N A C B=N D F B,J.AC/D E,:M N A B,即 CE/AD,四边形A D E C是平行四边形，；.C E=A D；(2)解：四边形8E C。是菱形，理由是：.。为中点，：.AD=B D,；CE=4D,：.B D=CE,：B D/CE,四边形B E C D是平行四边形，V Z A C

20、B=9 0,D 为 4B 中点,：.C D=B D（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），四边形B E C D 是菱形；（3）当N/=4 5。时，四边形3 E C Q 是正方形，理由是：解：V Z ACB=9 0,Z A=45,：.Z A B C Z J=4 5,：.AC=B C,；D为 BA中点，J.CD V AB,:.N CD B=9 0,四边形8E C Z）是菱形，菱形8 E C D 是正方形，即当N Z =4 5。时，四边形B E C。是正方形.【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练利用这些性质

21、和判定进行证明.1 1.如图，在 ABC中，点 F是 BC的中点，点 E是线段AB的延长线上的一动点，连接E F,过点C作AB的平行线CD,与线段E F 的延长线交于点D,连接C E,B D.（1）求证：四边形D B E C 是平行四边形.（2）若 N/8 C =1 20,A B =BC =4,则在点E的运动过程中：当 BE=时，四边形B E C D 是矩形，试说明理由；当 BE=时，四边形B E C D 是菱形.（1）见解析；（2）2,理由见解析；4【分析】（1）先证明 E B F g/X D C F,可得D C=B E,可证四边形B E C D是平行四边形；（2）根据四边形B E C D是

22、矩形时，Z C E B=90,再由/A B C=1 20。可得N E C B=30。，再根据直角三角形的性质可得B E=2；根据四边形B E C D是菱形可得B E=E C,再由N A B C=1 20。，可得/C B E=6 0。，进而可得4 C B E是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案.（1）：A B C D,.,.Z C D F=Z F E B,Z D C F=Z E B F,丁点F是B C的中点，；.B F=C F,C DF=4 B E F NDC F=N E B FF C -B F在4 D C F 和4 E B F 中，A A E B F A D C F （A A S）,；

23、.D C=B E,又；D C/B E,.四边形B E C D是平行四边形；（2）B E=2,:当 四 边 形B E C D是矩形时，Z C E B=90,V Z A B C=1 20,.Z C B E=6 0；.Z E C B=3O0,_；.B E=2 B C=2,故2；B E=4,:四边形B E C D是菱形时，B E=E C,V Z A B C=1 20,.Z C B E=6 0,A C B E是等边三角形，BE=BC=4.故 4.【点评】本题主要考查了菱形和矩形的性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角.12.如图，在4A B C 中，点 D 是 A B 边

24、的中点，点 E 是 CD 边的中点，过点C 作 CF A B 交 A E的延长线于点F,连 接 BF.求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.(1)证明见解析：(2)四边形BDCF是矩形，理由见解析.(1)证明：VCF/7AB,，N D A E=/C F E.又：DE=CE,Z A ED=ZFEC,A A A D E A FC E,，AD=CF.VA D=DB,；.DB=CF.(2)四边形BDCF是矩形.证明：由(1)知 D B=C F,又 DBCF,四边形BDCF为平行四边形.：AC=BC,AD=DB,A CD AB.，四边形BDCF是矩形.13.

25、阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如 图 1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗.小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.融、F分别是AB.AC的中点三 角 形.中 侬 谑i点G、H分别是二角形rn A DMC3占中位线定理结合小敏的思路作答：(I)若只改变图1 中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题;（2）如图2,在（1）的条件下，若连接A C,B D.当AC与B D满足什么条件时，四边形E F G H是菱形，写出结论并证明;当A C与B D

26、满足什么条件时，四边形E F G H是矩形，直接写出结论.（1）是平行四边形；（2）A C=B D；证明见解析；A C J _ B D.【分析】（1）如图2,连接A C,根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形E F G H是平行四边形，且 F G=2BD,H G=2 A C,于是得到当A C=B D时,F G=H G,即可得到结论；若四边形 E F G”是矩形，则 N 4 G F=90。，即 G 4 _ L G F,又 G HHAC,GF/B D,JJIlJ ACY B D.解：（1）是平行四边形.证明如下：如图2,连接A C,图2；E是AB的中点，F

27、是B C的中点，E F A C,E F=2 A C,同理 H G/7A C,H G=2 A C,综上可得：E F H G,E F=H G,故四边形E F G H是平行四边形；（2）A C=B D.理由如下：J _ j_由（1）知，四边形E F G H是平行四边形，且 F G=2BD,H G=2 A C,.当 A C=B D 时,F G=H G,，平行四边形E F G H是菱形；当A C _ L B D时，四边形E F G H为矩形.理由如下：同（1）得：四边形E F G H是平行四边形，V A C B D,G H A C,A G H I B D,：G F B D,A G H 1 G F,.Z

28、H G F=90,，四边形E F G H为矩形.【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.1 4.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.（1）在 图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且N M O N=9 0。；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形A B C D,使正方形A B C D面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形A B C D分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方 形A B C D面积没有剩余（画

29、出一种即可）.图1 图2（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.试题分析：（1）过点0向线段0 M作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可.试题解析：（1）过点0向线段0 M作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如 图1所示；(2)等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是2 0,如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：图2 图3考点：1.作图 应用与设计作图：2.勾股定理.1 5.已知：如图，在aA BC中，D是 BC边上的一点，E是 A D的中点，过点A 作 BC的平行线交于B E的延长线于点F,且 A F=D C,连接C F.(1)求证：D是 B

30、C的中点；(2)如果A B=A C,试判断四边形A D C F 的形状，并证明你的结论.(1)见详解；(2)四边形A D C F 是矩形；证明见详解.【分析】(1)可证A A F E 也Z X D B E,得出A F=B D,进而根据A F=D C,得出D是 BC中点的结论；(2)若 A B=A C,则A A BC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知A DLBC；而 A F与 DC平行且相等，故四边形A D C F 是平行四边形，又 A DLBC,则四边形A D C F 是矩形.(1)证明：E是 A D的中点，AE=D E.；AF B C,.Z F AE=Z B D E,Z AF E=

31、Z D B E.在4A FE和4DBE中，ZFAE=NBDE ZAFE=NDBEAE=DE.AF E AD B E (AAS).，AF=B D.V AF=D C,；.B D=D C.即：D是 BC的中点.(2)解：四边形A D C F 是矩形；证明：V AF=D C,AF D C,四边形A D C F 是平行四边形.V AB=AC,B D=D C,A A D1BC 即 N AD C=9 0.平行四边形A D C F 是矩形.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用.解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明

32、.1 6.如 图 1,已知锐角 4 8 C 中，CD、8E分别是4 8、4C边上的高，/、N分别是线段8 C、OE的中点.(2)连结。M,M E,猜想/与NOME之间的关系，并证明猜想.(3)当/Z变为钝角时，如图2,上 述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.(1)详见解析；(2)/。加=1 8 0。-2/4详见解析：(3)结 论(1)成立，结 论(2)不成立，详见解析D M =LBC M E =工 B C【分析】（1）连接DM,E,根据直角三角形的性质得到 2 ,2 ，得到D M =M E ,根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内

33、角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿 照（2）的计算过程解答.（1）证明：如图，连接，M E,C D、8E分别是45、4c边上的高，”是8C的中点,:.D M -B C M E =-B C2,2,D M =M E,又 N 为D E 中点、,M N I D E.(2)在 根8。中，N/3C+NZC8=180-N4,;D M=M E =BM=M C,：/BM D=180-2Z AB C,A C M E=1 8 0-2Z ACB ,Z B M D +A C M E=(1 8 0-2Z AB C)+(1 8 0 -2Z 4CB)=3 6 0-2(Z AB C+Z ACB)=3 6 0-2(1 8

34、0-Z)=2ZAfZ Z)A/E =1 8 0-2 Z y 4 .C 3）结 论（1）成立，结 论（2）不成立,理由如下：如图，DNA同 理（1）可知：M N工DE,故 结 论（i）正确;DM=ME=BM=MC9：.2BM E=2NACB,乙CMD=2N4BC,在 中，ZABC+ZACB80-ZJ,NBME+CMD=2AACB+2NABC=2(180。-4)=360。-2 4 ,ZDME=180-(360-2ZA)=2Z A-180,故 结 论(2)不正确.【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.17.阅读理解:二次根式的

35、除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式.1例如：化 简 夜 一1.解：将分子、分 母 同 乘 以/+1得:1 _V 2-1血+1(7 2-1)(7 2 +1)=V2+1类比应用:1（1）化简：2V 3-V TT；1 _ _ 1 1 _化简：+l+V2 V9+V8.拓展延伸：宽与长的比是 2 的矩形叫黄金矩形.如图，已 知 黄 金 矩 形 的 宽/8=1.（1）黄金矩形ABCD的长BC=；（2）如图，将图中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形/8 E F,得到新的矩形。C M,猜想矩形。C E尸是否为黄金矩形，并证明你的结论;图B(3)在图中，连结Z E,则点。到线段/的

36、距离为_ 逐+1类比应用：(1)2 0+而；(2)2；拓展延伸：(1)2 .(2)矩形O C E尸为黄金矩形，理由见屈+C解析；(3)4【分析】类比应用：(1)仿照题干中的过程进行计算；(2)仿照题干中的过程进行计算；拓展延伸：(1)根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；旧-1(2)根据题意算出A D的长，从而得出D F,证明D F和E F的比值为 2 即可；(3)连接AE,D E,过D作D G L A E于点G,根据4 A E D的面积不同算法列出方程，解出D G的长即可.解：类比应用：(1)根据题意可得：1 2e+而诉而=&百-布*百+而)=2向+而；(2)根据题意可得：1 1 1|-J

37、-|x/2+1 V3+V2 V9+V8V2-1V3-V2_(72 +1)/2-1)+(73+72)(73-72)V 9 Vs(V9+V8)(V9-V8)-V2 1 +y/3 5/2 +9-y/S=亚-1=2；拓展延伸：(1).宽与长的比是 2 的矩形叫黄金矩形，若黄金矩形ABCD的宽AB=,1V5-1 2 亚+1则黄金矩形Z 8 CZ)的长5C=2 =7 5-1 =2 .(2)矩形。尸为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1,V 5-1 V 5+1根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=2 2V5+1 V5-11 -，F D=EC=AD-AF=2-=2-,DF V5-1,V

38、5-1-+1 =-:.EF=2-2 ,故矩形Q C E F 为黄金矩形：(3)连接AE,D E,过 D 作 D GLA E 于点G,石+1VAB=EF=1,A D=2 ,.AE=JF+1 2 =6,在A A E D 中，-xA D xEF=-xA E xD GSAAED=2 2 ,立止x1=aDG即力D x E F =/E x O G ,贝i j 2厢+正解 得DG=4,M+垃.点。到线段/E的距离为 4.【点评】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识.18.四边形/8 CZ)为正方形，点为线段4 C上一点，连接0

39、 E,过点E作E F,D E,交 射 线 于点 尸，以D E、防为邻边作矩形。瓦G,连接CG.(1)如图，求证：矩 形 是 正 方 形；(2)若Z 8 =2,CE=后，求C G的长度：(3)当 线 段 与 正 方 形88的某条边的夹角是3 0。时，直接写出/E F C的度数.(1)证明见解析(2)C G =J 5(3)当QE与”。的夹角为3 0时，=12 0.当D E与QC的夹角为3。时,/E R C =3 0【分析】过E作E PC O于点p,Q1 8C于点0,ijE0 j j R t E Q F R t E P D,得 到 班 =瓦)，根据正方形的判定定理证明即可;（2）通过计算发现E是4

40、c中点，点尸与C重合，由（1）可知四边形OM G是正方形，由此即可解决问题.（3）分两种情形考虑问题即可；解：（1）证明：过E作EP上CD于点P,E Q 16C于点。，如图：.四边形/8CO为正方形Z.DCA=NBCA=45.EP=EQ：EF 1 DENDEF=90/APED+NEFC=90 -NPEC=45.ZQEF+ZFEC=45.NQEF=APED，在 RS E Q F 和 REPDZQEF=APED EP=EQNEQF=NEPD.RtAEQFMR，AEPD(ASA)/.EF=ED二矩形QEFG是正方形.（2）如图:D:由（1）可知，在 中，A B=B C =2:.A C =2五;CE=

41、6AE=CE=LAC=6.2c与R重合 .四边形Z)E F G 是正方形.C G =C E =y/2 _(3)当D E 与 。的夹角为3 0时，如图:NA DE=30，ZDA E=45 。=3 0。+45。=75Z F E C =900-75=15N E F C =18 0-15-45=12 0；当。E 与。C 的夹角为3 0。时、如图:B *N C D E=3 0 ，Z D E F=90.N D H E =9 0 30 =6 0。N C H F=6 0:Z D C F=90N E F C =30。.综上所述，/跖0=12 0。或/或(=3 0。故答案是：(1)证明见解析(2)C G =g(3

42、)当OE与/O的夹角为3 0时，/即0 =12 0：当与0 c的夹角为3 0时，Z E F C =3 0【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.19.猜想与证明：如图摆放矩形纸片A B C D与矩形纸片ECG F,使B,C,G三点在一条直线上，C E在边C D上.连 结A F,若M为A F的中点，连结DM,M E,试猜想D M与ME的数量关系，并证明你的结论.拓展与延伸：若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片A B C D与正方形纸片ECG F,其他条件不变，则D M和M E的关系为

43、;(2)如图摆放正方形纸片A B C D与正方形纸片ECG F,使点F在边C D上，点M仍为A F的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半猜想与证明：猜想DM与M E的数量关系是：DM=M E,证明见解析；拓展与延伸：(1)D M=M E,D M_ L ME；(2)证明见解析【分析】猜想：延长EM交A D于点H,利用a F M E丝 AMH,得出H M=E M,再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明.(1)延长EM交A D于点H,利用 F M E g A M H,得出H M=E M,再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接A

44、C,A C和 EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明,解：猜想与证明：猜 想 D M 与 M E的数量关系是：DM=ME.证明：如图，延长EM 交 A D 于点H.,*四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形,，ADBG,EFBG,ZHDE=90.，ADEF.；./A H M=/FE M.又：AM=FM,N A M H=/FM E,A A A M H A FM E.，HM=EM.又：NHDE=90,J_；.D M=2 EH=M E；(1)I四边形ABCD和 CEFG是正方形,；.A D EF,AZEFM=ZHA M,又；NFME=NAM H,FM=AM,在FM E和

45、A M H中，Z.E F M=NH A M FM =A MNFM E=NA M HA A FM E A A M H(ASA).HM=EM,在 RTAHDE 中，HM=EM,.DM=HM=ME,DM=ME.四边形ABCD和 CEFG是正方形,，AD=CD,CE=EF,:FME 岭AMH,，EF=AH,；.DH=DE,A A D EH是等腰直角三角形，又：MH=ME,故 DM=M E,DM M E；(2)证明：如图，连结AC.:四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，Z.ZDCA=ZD CE=ZCFE=45,.点E 在 A C上./A EF=N FEC=90.又；点 M 是 A F的中点，；.M

46、 E=2 AF.；N A DC=90。，点 M 是 A F的中点，J_，DM=2 AF.A DM=ME.j_ 2.：M E=2 AF=FM,DM=2 AF=FM,J_ _A Z D FM=2(1800-ZDM F),Z M FE=2(180-ZFM E),_ _.Z D FM+Z M FE=2(180-Z D M F)+2(180-ZFM E)2_=180 2(ZDM F+ZFM E)=180-2 ZDME.,/D FM+NM FE=180 N CFE=180 45=135,A 180-2 NDM E=135.,.ZDM E=90.A DM ME.【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键

47、是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段.2 0.如 图 1,正方形中，点。是对角线4 C 的中点，点 P 是线段/O 上（不与4、O 重合）的一个动点，过点P作P E L P B且P E交边C D于点E.（1）求证：P B=P E；（2）过点E 作 E F L/C 于点尸，如图2.若 正 方 形 的 边 长 为 2,则在点尸运动的过程中，尸 尸的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由.C1）证明见解析（2）2试题分析：（1）如 图 1,连接P。，可根据正方形的性质和全等三角形的判定可证B CPgZ D CP,然后由全等三角形的性质得到PD=

48、PB,然后可根据垂直证得/P D C=/P D E,从而得证；（2）根据图形的变化，可知结论不发生变化，然 后 由（1）的结论，根据勾股定理可求解.试题解析：（1）如 图 1,连接P D.；四边形ABCD是正方形，BC=DC,ZB CA=ZD CA,Z BCD=90.又：PC=PC,A A B CP A D CP.，PB=PD,ZPBC=ZPDC.V PB 1PE,.ZBPE=90.在四边形 BCEP 中，ZPB C+Z PE C=360-Z B PE-ZB CE=180.又；N PED+N PEC=180,A Z PB C=Z PED.A Z PD C=Z PD E.PD=PE.,.PB=PE.(2)P E 的长度不发生变化，PF=V2.(提示：连接O B,证明P E Fg/B P O.说明:大 73 r=答案写成2、,2 等没有化简的形式均不扣分)