2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）.pdf

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1、2021年高考数学真题试卷（新高考I卷）阅卷入 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。（共8题；共40得分 分）1.（5 分）设集合 A=x卜 2Vx4.B=2,3,4,5恻 ACB=（）A.2 B.2,3 C.3,4,D.2,3,4【答案】B【解析】【解答】解：根据交集的定义易知ACB是求集合A 与集合B 的公共元素，即2,3,故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.（5 分）已知 z=2-i,则（z（z 4-i）=（）A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i【答案】C【解析】【解答】解：z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+

2、2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轨复数的定义求解即可.3.（5 分）已知圆锥的底面半径为V2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2 V2C.4D.4 V2【答案】B【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为1,底面半径为r,则有2irr=希180m X2E1,解得/=2r=2V2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.（5 分）下列区间中，函数f（x）=7sin（x-l ）单调递增的区间是（）A.(0,J)B.（，兀）C.（兀，竽）D.（竽，2兀）【答案】A【解析】【解答】解：由W

3、+2 k n W x -W+2 k n得T+2EWXW冬+2 k m kG Z,当k=0时，T，倒 是 函数的一个增区间，显然（0,第，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.（5分）已知F#2是椭圆C：+邛=1的两个焦点，点M在C上，则I M F 1 HM F 2 I的最大值为y4（）A.1 3 B.1 2 C.9 D.6【答案】C【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,bJ 4,|M B|+|M F 2|=2 a=6,则由基本不等式可得I M F 1 I I M F 2区 M F 1|以M F 2|）2 =5当且仅当|M B|=|M F 2|=3时，等号成立.故答案为：

4、C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.A.=-B.=-C.=-D.【答案】C【解析】【解答】解：原式一 S i n 0(s i n 2 e+2 s i n eco s 0+co s 2 8)_ s i n 0(s i n 9+co s。_()_ s i n 0+co s 0 -s i n O+co s。-s m外s i n e+co s刃sin20+sin0cos0 tan20+tan0sin20+cos20tan20+125故答案为：c【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.7.（5分）若过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（A.eb aB.ea b

5、C.0 a ebD.0 b 故 A 正确；因为|4P i|=J(c os a -+s i n2 a =，2 2 c os a,AP2=J (c os 6 -+s i M 夕=J 2 -2 c os 位 故B错误；因为0 4 0P3=1 x c os(a +3)+0 x s i n(a +0)=c os(a +/?)T T0P1 0P2=c os a c os/?s i na s i n/?=c os (a +0)，所以后-0P3=OP!0P2故C正确;因为小 O P】=1 x c os a 4-0 x s i na =c os a,0P2 O P 3 =(c os 0,s i n/?)(c o

6、s(a +),s i n(a 4-)=cos。x cos(a+6)+(sin/?)xs i n(a +/?)=c os(a +2 0),所以D错误故答案为：AC.【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.11.(5 分)已知点 P 在 圆(%5)2+(y 5)2=16 上，点 A(4,0),B(0,2),贝 ij()A.点P 到直线AB的距离小于10 B.点 P 到直线AB的距离大于2C.当NPBA 最小时，|PB|=3 V2 D.当 NPBA 最大时，|PB|=3 V2【答案】A,C,D【解析】【解答】解：直线AB为：*+或=1，即x+2y-4=0,|5+4cos0+2(5+4si

7、n9)-4|设点P(5+4cos6,5+4sin0),则点P 到直线AB的距离为4=)2 2=+2 11+4店sin(。+a)r.i,i,11+4/5,11 4V5 o-贝 IJdmax=工 1 0，dmin=寿 o)的焦点为F,P为C上一点，P F与x轴垂直，Q为x轴上一点，且P QL O P,若|F Q|=6,则C的准线方程为【答案】x=5【解析】【解答】解：由题意可设P&p),则K o p =2,KQP=因此直线PQ的方程为：y p =令 y=0,得x=因此|F Q|=|p =2 P =6则p=3因此抛物线C的准线方程为：%=【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.1

8、 5.(5分)函数f(x)=|2 x-l卜2 1 n x的最小值为【答案】1【解析】【解答】解：当 时，f(x)=2 x-l-2 1 n x,则/(%)=2|=义 守，当 X 1 时，f(X)0,当寸，f(X)0,所以 f(X)m in=f(1)=1；当0 xW 凯寸，f(x)=l-2 x-2 1 n x,则(%)=一2 -1 =一 1,综 上,f(X)m in=l故答案为：1【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解1 6.(5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为2 0 d m x l 2 d m的长方形纸.对

9、折1次共可以得到1 0 d m x 2 d m、2 0 d m x 6d m两种规格的图形，它们的面积之和Si=2 4 0 d m 2,对折2次共可以得5d m x l 2 d m,l O d m x 6d m,2 0 d m x 3 d m三种规格的图形，它们的面积之和S2=1 8()d m 2。以此类推则对折4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为；如果对折n次，那么 比=i sk=d m.【答案】5；7 2 0-2 4 0 竽【解析】【解答】解：对折3 次有2.5x 1 2,6x 5,3 x 1 0,2 0 x 1.5共 4 种,面积和为S3=4 x 3 0=l

10、2 0 d m 2；对折 4 次有 1,2 5x 1 2,2.5x 6,3 x 5,1.5x 1 0,2 0 x 0.7 5 共 5 种，面积和为 S4=5x l 5=7 5d m2;对折n 次有n+1 中类型，Sn=（n+1）,因 此 逢=2 4 0 .侪+最+竽），芬*=2 4 0 侈+条+露）上式相减,得/再=2 4 0 .（1 +*+今+-云 詈）=2 4 0（1 -景则 翁=2 4 0（3 -里）=7 2 0 -2 4 0 .票k=i 2 /2故答案为：5,7 2 0 2 4 0 审n【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n 次的图形种数，运用错位相减法可求 Shfc=l阅卷人-四

11、解答题：本题共6小题，共7 0分。（共6题；共7 0分）得分1 7.（1 0 分）已知数列 an 满 足 的=1_ f+1，an+l =an+2,n为奇数n为偶数（1）（5 分）记 垢=C l 2 n，写 出 仇，。2，并求数列%的通项公式;（2）（5 分）求 an的前2 0 项和【答案】（1）2n为偶数，则 2 n+l =a 2 n +2 ,a2 n+2=2 n+l +1，a2 n+2 =a2 n+3 ,即。+1 =勾+3 ,且 仇=。2 =+1 =2 .与是 以 2为首项，3 为公差的等差数列，瓦=2 ,勾=5,bn=3 n 1 .(2)当n为奇数时，an=an+1-1 ,(an)的 前

12、20项和为%+-1-2-a2 0=(%+&3 +Q 1 9)+(。2 +。2 0)=(0 2 -1)+4-1)+,+(2 0 -1)+(2 +。4 +,+a2 0)=2(7 2 +&d+i +&2 0)-1 0 由(1)可知，0.2+,+0,20=仇+力2+,+匕10=2 X 10 H-2 X 3=155 an)的前 20 项和为 2 x 155-10=300.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义及通项公式即可求解；(2)运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.18.(12分)某学校组织“一带一路 知识竞赛，有A,B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽U又一个问题问

13、答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。(1)(6分)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：(2)(6分)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。【答案】(1)X的取值可能为0,20,100,=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8 x(1-0.6)=0.

14、32,P(X=100)=0.8 x 0.6=0.48,X的分布列为X020100p0.20.320.48(2)假设先答B类题，得分为y,则Y可能为0,80,100,P(y=0)=1 _ 0.6=0,4,P(Y=80)=0.6 X(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6 x 0.8=0.48,Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)=0 x 0.4+80 x 0.12 4-100 x 0.48=57.6,由(1)可知 E(X)=0 x 0.2+20 x 0.32+100 x 0.48=54.4,E(Y)E(X),.应先答B 类题.【解析】【分析】(1)根据独立事件的概

15、率，并列出X 的分布列即可；(2)根据独立事件的概率，并列出Y 的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断19.(12分)记 ABC的内角A,B,C 的对边分别为a.,b.,c,已 知 b2=ac,点 D 在边A C 上，BDsinZABC=asinC.(1)(6 分)证明：BD=b：(2)(6 分)若 AD=2DC.求 cos/ABC.【答案】(1)在 A A B C 中，AC=AB sinZ-ABC sinC D v BDsinZ-ABC asinC,.BD _ a sinC sinZABC 咳 联 立 得 错=好，即 ac=b BD,.b2 ac,BD=b.(2)若 AD

16、=2DC,ABC 中，cosC=温 茨:/，BCD 中，cosC=a+(3)匕 ，2，a，3v =，(a2+b2-c2)=3a2+(1)2-b2,2整理得 a2+b2 c2=3a2 4-y 3b2 9 2a2-b2 4-c2=0,b2=ac,c o：6a2-llac+3c2=0,即。=可 或。=2。，若。=事 时，fe2=a c=y m il,.rb a2+c2-b2 看+。2 号 4 c2 7,本、贝 U cos乙4BC=-2-a-c-=zC 2 z-2=z6（舍），3C 3C若 a=c b2 ac=c2,【解析】【分析1 (1)根据正弦定理求解即可;则 co/ARC =a 2+c 2b2.

17、|c2+c2|c2_?c 2,72-a-c3c2一3。2 12(2)根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD _1平面BCD,AB=AD.O为 BD的中点.(1)(6 分)证明：OAJ_CD：(2)(6 分)若4 0CD是边长为1 的等边三角形.点E 在 棱 AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为4 5,求三棱锥A-BCD的体积.【答案】(1)-：AB =A D ,0 为 BD中点,AO 1 B D ,2。u 面 AB D ,面 AB D 1 面 B C D 且面 AB D C I 面 B C D =B D ,40 1

18、 面 B C D ,AO 1 C D .(2)以0为坐标原点，0。为 y 轴，。4 为 z 轴，垂 直0 D且 过 0 的直线为%轴,设 c(g,O)，D(o,L O)，F(0,-l,0),4(0,0,m),E(0,i,|m),EB (0,-,m)，B C=(,0)，设 可=(%1，%2)为 面EBC法向量，(丽.五;=yi-m zi =0近.元=苧尤1 +|%=0(2 y1+7 n zi =0kx1+遍y1=0 2令 y =1 ,/.zx=,x1=V 3 ，.元=(后 i,一 令，面BCD法向量为 力=(0,0,7 n),c o s(可 函=|I=*解徂 1加.5 号2 ,解 得 徵=1 ,

19、0A 1 ,11:.S&ABD=2 x B D x OA=2X2 x l =l ,rvrA-B C D _ 31 ,C|XI _ V 3C=-g-【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.2 1.（1 2 分）在平面直角坐标系x O y 中，已知点（-V 1 7,0）,F2（7,0）,点 M满足|M F 1|M F 2|=2.记M 的轨迹为C.（1）（6分）求C的方程；（2）（6 分）设点T在直线x =J ,过T 的两条直线分别交C于 A,B两点和P,Q两点，且|T A|-|T

20、B|=|T P|-|T Q|,求直线A B的斜率与直线P Q 的斜率之和【答案】(1)IMF/-|MFz|=2，轨 迹 C 为双曲线右半支，c2=17,2a=2,a2=1,b2-16 x2 yg=l(x 0)(2)设 T(l,n)，1设 AB：y n=k x 2)联立1y n=fci(x 2)%2-=1:.(16 k2)x2+(kI 2 2/cxn)x ,自 2 n2+k】n-16=0k 22k、n/+%2 如 2_i6 拉1 2十 九 2 A九+16%】+“2=匕 2 16，T*=J i +ki 2(a ,|TB|=J l +的 2 J),.-.TA-TB=a +八 2)QI _ l)(x2

21、-1)=(源+中：？2),L L k 1 4-16设 PQ：y-n=fc2(x-2)，同L I E理 I FTCPI TQ=(-n-2-+-1-2力)(14-/c乙2-2-),上 2 16v TA TB=TP TQ,1+勺 2 _ l+、2 2 1+_1Z_=+_1Zk1 2 16 k，2 2 16 h 2-16 k2 2-1 6，*k 2-16=k?2-1 6，即 Ze12=k?2，:k 装 k?，；Z c 1+Z c 2=。*【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义直接求解即可；(2)利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.22.(12 分)已知函数 f(x)=

22、x(1-lnx)(1)(6 分)讨 论 f(x)的单调性(2)(6 分)设 a,b为两个不相等的正数，且 blna-alnb=a-b证明：2 +*0,/(x)/x G(l,+8)/(X)O,/(X)/(x)在(0,1)单调递增，/(%)在(1,+8)单调递减(2)由 bna anb a b,得-ln-+rln r=r a a b b b a即 =J(l-l n j)令=J 5=x2则%i，x2为/(%)=k 的两根，其 中 k e(0,1).不妨令 G(0,1),x2 G(l,e)，则 2-%1先 证 2 即证久 2 2-%i即证/(%2)=/(%1)0 恒成立，:./i(x)7 h(x)h(

23、l)=02 Vxi+不 得证同理，要 证 x i+x2 e即证/(x2)=/Q i)0,(p(x)7%C(%1),(px)0,/(x)0,且/(e)=0故 0,(p(0)0,(p(l)=/(l)-/(e-l)0 (p(x)恒成立%1+工2 V?得证1 12 V F 丁 V ea b【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的单调性即可求解；(2)根据化归转化思想，将不等式问题等价转化为函数h(x)=f(x)-f(2-x)与0(%)=/(%)-f(e-%)的最值问题，利用h，(x)与“(%)研究函数函数h(x)与w(x)的单调性及最值即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题

24、（占比）70.0(46.7%)主观题（占比）80.0(53.3%)题量分布客观题（占比）14(63.6%)主观题（占比）8(36.4%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）解答题：本题共6 小题,共 70分。6(27.3%)70.0(46.7%)选择题：本题共4 小题。每小题5 分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。4(18.2%)20.0(13.3%)选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分4(18.2%)20.0(13.3%)选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40分。8(36.4%)

25、40.0(26.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(45.5%)2容易(27.3%)3困难(27.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1复数代数形式的混合运算5.0(3.3%)22直线与圆的位置关系5.0(3.3%)113利用导数求闭区间上函数的最值17.0(11.3%)15,224与二面角有关的立体几何综合题12.0(8.0%)205古典概型及其概率计算公式5.0(3.3%)86等差数列的通项公式10.0(6.7%)177直线与圆锥曲线的综合问题12.0(8.0%)218两角和与差的正弦公式5.0(3.3%)109函数奇偶性的判断5.0(3.3%)

26、1310相互独立事件的概率乘法公式17.0(11.3%)8,1811正弦定理的应用12.0(8.0%)1912同角三角函数间的基本关系5.0(3.3%)613数列的求和15.0(10.0%)16,1714复数的基本概念5.0(3.3%)215利用导数研究曲线上某点切线方程5.0(3.3%)716两角和与差的余弦公式5.0(3.3%)1017点到直线的距离公式5.0(3.3%)1118抛物线的定义5.0(3.3%)1419等差数列10.0(6.7%)1720旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）5.0(3.3%)321直线的点斜式方程5.0(3.3%)1422正弦函数的单调性5.0(3.3%)423相互

27、独立事件5.0(3.3%)824双曲线的定义12.0(8.0%)2125平面与平面垂直的性质12.0(8.0%)2026同角三角函数基本关系的运用5.0(3.3%)627直线与圆锥曲线的关系12.0(8.0%)2128分段函数的应用5.0(3.3%)1529众数、中位数、平均数5.0(3.3%)930离散型随机变量及其分布列12.0(8.0%)1831二倍角的正弦公式5.0(3.3%)632类比推理5.0(3.3%)1633利用导数研究函数的极值12.0(8.0%)2234直线的截距式方程5.0(3.3%)1135函数奇偶性的性质5.0(3.3%)1336棱柱、棱锥、棱台的体积17.0(11.3%)12,2037极差、方差与标准差5.0(3.3%)938平面向量数量积的运算5.0(3.3%)1039直线与平面垂直的判定5.0(3.3%)1240基本不等式在最值问题中的应用5.0(3.3%)541椭圆的定义5.0(3.3%)542利用导数研究函数的单调性17.0(11.3%)15,2243极限及其运算5.0(3.3%)744交集及其运算5.0(3.3%)145余弦定理的应用12.0(8.0%)1946平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5.0(3.3%)1047用空间向量求平面间的夹角12.0(8.0%)2048离散型随机变量的期望与方差12.0(8.0%)18