人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用.pdf-得力文库

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1、第 3 节平面向量的数量积及平面向量的应用课程标准要求1 .通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2 .通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3 .会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4 .能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5 .能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.必备知识课前回顾馆激材夯实四基I海知识梳理1 .向量的夹角已知两个非零向量a 和 b,0 是平面上任意一点，作&=a,而=b,则工AO B 就是向量a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是 0,n.2 .平面向量的数量积定义设两个非

2、零向量a,b 的夹角为。，则数量|a|；b|cos。叫做a与 b 的数量积,记作a b,即a b=a b cos 0 .规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0 a=0投影、投影设 a,b 是两个非零向量,AB=a,C D=b,我们考虑如下变换:过的起点A 和终点B,分别作C D 所在直线的垂线,垂足分别为 Ab B i,得到&B i，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影,4 祖向量叫做向量a在向量b上的投影向量投影向量的表示a在b上的投影向量为片a在b上的投影向量的模为b ba bb3.平面向量数量积的运算律交换律:a b=b a;(2)数乘结合律：(入a)b=入(a b)=a(入b)”

3、R)；(3)分配律：a,(b+c)=a*b+a*c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a=(xb yi),b=(x2,y2),。=.结论儿何表示坐标表示模a=y/a a|a|=J*+y l数量积ab=I a|b|cos 6a b=xix2+yiy2夹角n a bCOS u=-a bcos 9=+y/2a ba b=0 xiXz+y%。aba b|=|a|b|Xiy2=X2ya b 与|a|b|的关系|a b|W a|bXiX2+yiy2 WJ好+资 J媛+这座重要结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b),(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a22 a,b+b2

4、.极化恒等式:设a,b 是平面内的两个向量,则有a-bf(a+b)2-(a-k ；极化恒等式的几何意义是在4 A B C 中，若 AD是 B C 边上的中线，则旗 AC=AD2-B D2.2.两个向量a,b 的夹角为锐角=a b 0,且 a,b 不共线；两个向量a,b 的夹角为钝角=a -b =-(AB2+AC2+2AB-AC)4=-X(1+9+2X1X3XCOS 60)=,4 4所以必|=苧答案岑关键能力课堂突破美彳、溶点法案四算考点一平面向量数量积的基本运算1 .已知在矩形A B C D中,A B=4,A D=2,若己F分别为A B,B C的中点,则法法等于(B )A.8

5、 B.10C.12 D.14解析:法一(定义法)根据题意,得 T DE DF=(DA+AE)(D C+C F)=D A DC+DA-CF+AE DCAE C F=0+2 Xl Xcos 0+2 X4Xcos 0+0=10.故选 B.D-i C尸E B x法二（坐标法）以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).因为E,F 分别为AB,BC的中点，所以 E 0),F(4,1).因为DE=(2,-2),D尸=(4,-1),所以DE DF=2X4+(-2)X(-1)=10.故选 B.2.在4ABC中，AB=6,0 为4ABC的外心，则

6、4。48等于(D)A.V6 B.6 C.12 D.18解析：如图，过点0 作 0D1AB于 D,可知 AD=1AB=3,贝 AB(AD+DO)-AB=AD-AB+DO?W=3X 6+0=18.故选 D.3.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD,CD=2,ZBAD=-,若/B-AC=2AB AD,4 则4。AC=.D CA B解析:法一因为几 AC=2AB-AD,所以AB AD=AB AD,T 所以AB DC=AB AD.因为 A B C D,C D=2,N B A D,所以 2 /DICOSE,化简得4 4 14。|=2 V 2,故/D AC=AD G 4D+O C)=AD 2+AD D

7、C=(2 V 2)2+2 V 2 X 2 X cos-=12.4法二如图，建立平面直角坐标系x A y.依题意，可设点 D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中 m 0,n 0,则由 AC=2AB AD,(n,0)(m+2,m)=2(n,0),(m,m),所以T n(m+2)=2 nm，化简得 m=2,故/D ,AC-(m,m),(m+2,m)=2 m2+2 m=12.答案：124.在口 A B C D 中，4B|=8,4D|=6,N 为 D C 的中点，8 M=2 M C,则X M NM=.解析:法一(定义法)T -T T T T 1 Tl.A M NM=(AB+BM)(N C

8、+C M)=(AB+-AD)(-AB-AD)3 2 3=-AB2-AD2=X82-X62=24.2 9 2 9法二(特例图形)若口A B C D 为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,则 N(4,6),M(8,4).所以/M=(8,4),N M=(4,-2),所以/MN M=(8,4)(4,-2)=3 2-8=2 4.答案：2 4*题后悟通解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题常有两种思路:一是定义法,二是坐标法.定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补;坐标法要建立合适的坐标系.感考点二平面向量数量积的

9、应用口角度一平面向量的模(SB)(1)已知平面向量a,b的夹角为3且|a|=K,|b1=2,在aA B C6 中,/B=2 a+2 b,A C=2 a-6 b,D 为 B C 的中点，则|A D|等于()A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知在直角梯形 A B C D 中，A D/7 B C,Z A D C=9 0,A D=2,B C=1,P 是腰 D C上的动点,则PA+3PB的最小值为.T 1T T 1解析：(1)因为(AB+AC)=|(2 a+2 b+2 a-6 b)=2 a-2 b,所以 AD 2=4(a-b)2=4(a2-2 b a+b2)=4X(3-2 X2 XV 3 Xcos

10、-+4)=4,6则|G|=2.故选A.建立平面直角坐标系如图所示,则A (2,0),设P (0,y),C (0,b),则B(l,b),贝谓+3丽=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3 b-4y).所以|易+3尾|=2 5+(3匕-4y)2(0W y b).Q T T当 y=：b 时，|P 4+3 P B%n=5.答案：A (2)5公式法:利用|a|=V 7 及(a土b)2=|a|2 2 a-b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.(2)几何法:利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.口角度二平面向量的夹角(S H)(1

11、)已知非零向量a,b 满足|a|=2 1 b|,且(a-b)_L b,则 a 与b 的夹角为()A.-B.-6 3C.-D.-3 6(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2 a-3 b与c 的夹角为钝角,则实数k的取值范围是.解析：法一因为(a-b)_L b,所以(a-b)b=a b-|b=O,又因为I a|=2 1 b|,所以 2 1bl 2 cos-|b 2=0,即 cos a,b=|,又知 0,1,所以 a,b g.故选B.B 法二如图，令O/=a,O B=b,则B 4=0/-08=a b,因为(a b)b,所以N O B A,2又|a|=2 1

12、b|,所以 Z A 0B=p 即.故选 B.因为2 a-3 b与 c 的夹角为钝角,所以（2a-3b）c0,即（2k 3,6）（2,l）0,所以4k-6-60,所以k AB+AC,且/P_LBC,则实数入的值为.解析：由题意，得a b=|a|b|cos 60 对于A,（a+2b）b=a,b+2b2g+2=|W0,故 A 不符合题意;对于B,(2a+b),b=2a b+b=l+l=2#0,故 B 不符合题意;对于C,（a-2b）b=a-b-2b?弓-2=-|W 0,故C不符合题意；对于D,（2a-b）,b=2a,b-b=l-l=O,所以（2a-b）b.故选 D.因为盛,所以3

13、BC=Q.又4P=X AB+AC,BCAC-AB,T T T T所以（入 4B+/C）G4C-4B）=0,即（入一1）4C ABAB2+AC2=0,所以（入 T）I/|旗|cos 120-9 X +4=0,所以（入 T）X3X2X（一一9 入+4=0,解得人二套答案：D（.解题策略I1.若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值，根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.H角度四投影向量 3）（1）（多选题）设a,b是两个非零向量,a在b上的

14、投影向量为c,则下列命题正确的是（）A.a在-b上的投影向量为cB.当 ab 时,c=aC.当 a b 时，c=0D.当a与b方向相同时,c=a;当a与b方向相反时,c=-a(2)已知4 A B C的外接圆圆心为0,且2AO=AB+AC,Z A B C=6 0 ,则向量5 8在向量B C上的投影向量为()4 41 T n TC.-BC D.BC4 4(3)已知向量a=(0,8),b=(0,-l),c=(S-1),a在b上的投影向量为m,a在c上的投影向量为n,则m与n的夹角为.解析：(1)利用投影的定义作图或利用a在b上的投影向量为一上 4-b b 均可以判断A,B,C正确,D错误.故选A B

15、 C.(2)过 A 作 A D _ L B C 于 D (图略)，由已知得N B A C=9 0 ,N A C B=3 0 ,所以B D=-B A,B A=-B C,所以B D,B C,所以防=，后.故选C.2 2 4 4因为 a b，所以 m=a=(0,8),n=X (2 7 3,2),所 c c 2 2以 c o s -m,-n-=又 e 0,J i ,所以m,n =.m n 8XV12+4 2 3答案：(1)A B C (2)C (3 万“解题策略I1.求a在b上的投影向量有两个方法,一是利用投影的定义作出投影向量,用几何方法求解,二是利用投影向量的计算公式:a在b上的投影向量为唱会.b

16、 b 2 .当a/b时,a在b上的投影向量仍然是a,当a _ L b时,a在b上的投影向量为0,a在入b(入 R，且入W 0)上的投影向量与a在b上的投影向量相等，与人无关.针对训练1.已知向量 a,b 满足|a|=5,|b|=6,a,b=-6,则 cos等于).31 19A.B.35 35C.-D.-35 35解析：由题意，得a (a+b)=a+a b=25-6=19,a+b|=Va2+2a b+b2=V25-12+36=7,所以cos a,a+b 彳二+富三=!|.故选D.a|a+b I 5x7 35 2,已知向量|。4|=3,|。8|=2,0C=m04+n0B,若。/与。8的夹角为60,

17、且左，则实数”的值为()nA.-B.-C.6 D.46 4T T T T T 解析：因为向量。力|=3,|。8|=2,0 C=m 0 4+n 0 B,与OB的夹角为6 0，所以。4 OB=3X2Xcos 60=3,所以TTT -OC=(OB-OA)(mOA+nO8)=(m n)。/OBm OA 2+n OB =3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以故选 A.n 63.设a,b为单位向量,且I a+b|=1,则|a-b|=.解析：因为a,b为单位向量,且|a+b|=1,所以(a+b=l,所以l+l+2a,b=l,所以 a b=1,所以|a-b IJa+b?-2a,b=l+l-2X(

18、-1)=3,所以|a-b|=g.答案:迎4.已知直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B),P(x,y。)是直线1-外一点,动点Q在1上,则向量QP在向量n上的投影向量的模等于解析:设Q(x,解，则 Axi+Byi+C=O,QP=(xo-xi,y0-y i),QP n=A(xo-xi)+B(y0-yi)=Ax0+By0+C,所以凝在n上的投影向量的模为+巧2冬女.l，%o+B y o+C；/A2+B2展考点三平面向量的综合应用口角度-数量积的最值(范围)问题(B E D已知4ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，则-,PA (PB+PC)的最小值是()3A.-

19、2 B.-24 eC.-D.-13解析:法一(极化恒等式)结合题意画出图形,如图所示,设BC的中点为D,AD的中点为E,连接AD,PE,PD,则有PB+PC=2PD,则P4(PB+PC)=2P4 PD=2.(PE+EA)(PE-EA)=2(PE2-EA2),而E/2=(争 2=*2 4y 当点P与点E重合时,P2有最小值0,故此时P 4(PB+PC)取得最小值,最小值为-2E2=-2X三T故选B.4 2法二(坐标法)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A (0,遮)，B (-1,0),C(1,0),设 P(x,y),则 PA=(-

20、x,V 3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(l-x,-y),所以PA,(PB+PC)=(-x,遮-y)(-2 x,-2 y)=2 x?+2(y-亨)2-|,当 x=0,y=f，解题策略求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此,对于题目中给出的条件,要结合要求的夹角或长度或其他量,得出相应的不等式或函数（包括自变量的取值范围），然后利用相关知识求出最值或取值范围.口角度二模的最值问题C S O 已知平面向量a,b 的夹角为。，且|a|=2,|b|=l,若对任意的正实数入，|a-入b|的最小值为8，则 c o s 9 等于（）A.B.-2 2C.-2 D.0解析:法一（函数法）根据题意，

21、|a|=2,|b|=l,a,b 的夹角为0,则a b=2 c o s 9 ,若对任意的正实数入，|a-入b|的最小值为8,则|a-入 b 的最小值为3,贝I a-入 b-=a?+入 2 b?-2 入 a b=4+入/-4 入 c o s 9 =(X-2 c o s 0 )2+4-4 c o s2 9 ,故当人=2 c o s 9 时，|a-人b 取得最小值3,即有Te o s?0 =3,即c o s。=a又人 0,则c o s 0 =|.故选B.法二（数形结合法）如图，设。B=a,。/=入 b（入 0）,则|a-入 b|=|/B|,易知当 B A 0 A时，|a-入b 1取得最小值点

22、此时s i n 9 =y,c o s。三.故选艮一解题策略I模的最值问题的求解方法:一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义.前者可以建系借助坐标法求解,后者常用三角形法则数形结合求解.口角度三平面向量在三角函数中的应用 (W O 在A A B C 中，/B=G/s i n x,s i n x),AC=(_sin x,c o s x).(1)设&)=4 3 AC,若f (A)=0,求角A的值；若对任意的实数t,恒有|AB-tACBC,求4 A B C面积的最大值.解：f (x)=/B ,Tl C V Ss i n x+s i n x c o sx=-Hx l 2 +=s i n(

23、2 x+g)-f.因为 f (A)=0,所以s i n (2 A+-)=.3 2又因为 A (0,JI),所以 2 A+*G，2 n +所以 2 A+:,所以 A=J3 3 3 3 3 6BCDA (2)如图，设/O=t/C,即8|e|BC廿亘成立，所以 AC_LBC.因为/8|=V4sin2x=V2-2cos2x W2,14cl=1,所以|品|二J|旗|2-|成|2或遮，所以AABC的面积为SBC A C W 当且仅当cos 2x=0,即x=-+k 口，k2 2 4e z时,等号成立,所以4ABC面积的最大值为日.，解题策略I解决此类问题的关键是把向量作为载体,将题干中的三角函数关系转化为

24、向量的运算,进一步转化为实数运算来求解.针对训练1.(多选题)若a,b,c均为单位向量,且a b=0,(a-c),(b-c)WO,则瓜+卜出的值可能为()A.V2-1 B.1C.V2 D.2解析：因为a,b,c均为单位向量,a b=0,(a-c)(b-c)W 0,所以a,b-c,(a+b)+c2 0,所以 c,(a+b)3 1,而I a+b-c =J(a+b-c)2=Va2+b2+c2+2a b-2a c-2b,c=j3-2 c (a+b)WA/3-2=1,所以选项C,D不正确.故选AB.2.在AABC中，薪 BC=3,其面积S 冬生，则版与晶夹角的取值范围为（）A.房 B.*C

25、.富D.净苧解析:设与的夹角为9,因为ZB-BC=3,所以|4B|BC|cos 9=3,又S 呼,#,故日4成 I|Q s i n（Ji-0）W号所以?W|tan 9学,即/W ta n 9又。0,冗 ,所以占0半故选。6 33.在半径为1的扇形AOB中，若NA0B=60,C为弧AB上的动点,AB与-0C交于点P,则0P-BP的最小值是.解析:法一（极化恒等式）如图，取0B的中点D,连接PD,则0P-SP=PD2-OD2=PD2A 即求 PD 的最小值.4A0 D B图由图可知，当PDOB时-,PDmin=,4T T 1则。P BP的最小值是一七.16法二（坐标法）以0

26、B所在的直线为x轴,过点A且垂直于0B的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,争,0 6 0),B(1,0),可得直线AB的方程为2x+乎y=l,设 P(x,学l-2x),贝而=(x+a f(-2 x),F P=(x-|,y(l-2 x),所以b ep=4x2-3x+|=4(X-|)当x4时,OP 薪的最小值是-38lo答案：w一备选例题C D已知单位向量a,b满足a b=0,若向量c=V7a+&b,则sin等于()A.B.C.D.解析：设 a=(l,0),b=(0,1),则 c=(b,V 2),所以 cos=：咚a c 3所以sina,c=条故选B.,-CSD(多选题)已知

27、平面向量0 4 OB,0 c为三个单位向量,且 -,0A-。8=0,若OC=xO/+yOB(x,y R),贝lj x+y 的可能取值为()A.0 B.1C.V2 D.2解析:依题意,0A,而是一组垂直的单位向量,如图建立平面直角坐标系，向量。4。8 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（c os 9 ,s i n。）（。表示由x 轴非负半轴旋转到0 C 所形成的角）构成的向量0 C 9 0,2 ），因为。4=（1,0）,。8=（0,l）,O C=（c os 0 ,s i n 9 ）,OC=xOA+yOB,所以 x=c os。，y=s i n 9 ,故 x+y=c os 9+s i n

28、 9 =V 2 s i n （0+）,9 0,2 J i）,故 x+y ，或，可以取0,1,V 2.故选 A B C.CW 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,0为坐标原点,动点P 满足0 P=；（1-入）。力+（1-入）0 B+（1+2 入）。C ,入 R，则点P的轨迹一定经过（）A.Z i A B C 的内心 B.Z X A B C 的垂心C.A B C 的重心 D.A B 边的中点-解析：取 A B 的中点D,则2OD=OA+OB,因为b，（l-入）+（1-入）茄+（1+2 入）3,T 1 T T所以0 P=2 （1-X ）。+（1+2 x）0 C=-OD+OC,3 3而三卫+

29、詈=1,所以P,C,D 三点共线，所以点P的轨迹一定经过4 A B C 的重心.故选C.T T T 1 T 4 TC 在AABC中，|4川=3,1力。=2,力。/8+。,则直线人9经过42 4ABC 的（）A.重心B.夕卜心C.垂心D.内心 I.设解析:因为 I AB I =3,MC 1 =2,所以|=：|=24T 1 T 1 3 TAE=-2 AB,A4F=-AC,T T则|/创=|/川.因为力D=三所以/。平分NEAF,2 4所以AD平分NBAC,所以直线AD经过AABC的内心.故选D.C l已知O,N,P在AABC所在平面内，且 T TTT-OA=OB=0C,NA+NB+NC=O,且

30、P4 PB=PB PC=PC PA,则点O,N,P依次是人!的（）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心 ,解析：由|。力|=。8|=10 C知,0为4ABC的外心；由M4+NB+NC=0 T矢口，N为AABC的重心；因为P4 PB=PB PC,所以（P4-PC）PB=Q,-所以C4-P8=0,所以C/_LP 8,即 CALPB,同理 APJ_BC,CPLAB,所以 P为AABC的垂心.故选C.课时作业灵活方强密致提能三选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量数量积的基本运算1,7平面向量数量积的应用2,3

31、,5平面向量的综合运用4,8,9,1 1综合问题6,1 01 2,1 3,1 4,1 5,1 61 7,1 8A级基础巩固练1.(2 0 2 1 湖北武汉高三调研)在等腰直角三角形ABC中，Z A C B=pA C=B C=2,点P是斜边A B上一点，且B P=2 P A,那么己 CA+CP 晶等于(D )A.-4 B.-2 C.2 D.4解析：法一由已知得|乙4 1=1 C B 1=2,乙4 CB=Q,AP=l(CBCA),T以C P -CA+CP C B=(C A+A P)CA+(CA+AP)C B=C A 2+AP CA+CA CB+AP CB=CA2+-(CB-CA)(CB+CA)=

32、CA2+-CB2-|CA|2=22+1X2-1X2M.故选 D.法二由已知,建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0),A 0),B(0,2),设 P(x,y),因为 B P=2 P A,所以最=2易，所以(x,y-2)=C 42(2-x,y),所以 I 所以C P C/+C P -C B二(q)(2,0)+y =4,3 3V 3(*|)(0,2)=4.故选 D.2.已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若入a-b 与b 垂直，则实数X 等于(D)A.-1 B.1 C.-2 D.2解析：由已知得入a-b=(入-4,-3 入+2),因为入a b 与 b垂直，所以(入 a_b),b

33、=0,即(入一 4,一 3 入 +2),(4,-2)=0,所以 4 人-1 6+6 入 4=0,解得人=2.故选D.3 .已知向量a 与 b的夹角为也且|a|=l,|2a-b|=V ,贝 ij|b|等于(C)A.V 3 B.V 2C.1 D.2解析:1 2a-b|2=(2a-b)2=4|a 12-4 1 a|b ,c o s +1 b =4-2|b|+|b =3,解得|b|=l.故选 C.4.(多选题)在日常生活中，我们经常会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为Fb F2,且|Fj =|F21,Fi与 F2的夹角为。.给出以下结论,其中正确的

34、是(AD)A.9 越大越费力，0 越小越省力B.0的取值范围为 0,2c.当 e g 时，D.当 e=等时,|F-=|G|解析：对于A,因为IGU IF1+F2I为定值，所以|G|2=|FJ 2+H|2+2|Fj|F2|COS 9=2|F,I2 (1+c o s 0),解得|件|三二、.由题意知2(l+cos0)0 e 0,n)时,y=c o s。单调递减，所以|用厂单调递增，即。越大越费力，。越小越省力,A正确;对于B,由题意知，。的取值范围是 0,弘)，故B错误;对于C,当。音时，困2岁,所以|FJ=|G|,故C错误;对于D,当。手时，|F2=|G|2,所以|F=|G|,故D正确.

35、故选AD.5.若eb e 2是夹角为g的两个单位向量,而a=2e)+e2,b=-3 e,+2e2,则向量a和b的夹角为(C)A.-B.-6 3C.D.3 3解析：因为|e i|=1,|e2|=l,=p 所以 e e2=,因为 a=2e,+e2,b=-3 e 1+2e 2,所以|a|=5+4 x 1=V 7,|b|=J1 3 +2 X (-3)x 2 x|=V 7,a ,b=-6 1 e 1+2|e2|2+e i,e 2,所以 I a|b|c o s =6 1 必+2|e212+e ,e2,所以 V 7 义夕c o s =-6+2+=-(,所以 c o s =-1,因为 0,n ,所以向量

36、a与b的夹角为学故选C.6.已知A D是直角三角形AB C斜边B C上的高，点P在D A的延长线上，,且满足(PB+PC)AD=4V2,若 AD=V2,则PB-PC的值为(A )A.2 B.3 C.4 D.6解析：设 N DP C=a,N DP B=B,由(PB+PC)AD=4 V 2,AD=V 2,得|P 8|V 2c o s B +PC V 2c o s a =4 7 2,所以|丽|冬+|而|.黑=4,!r t ；)rC所以|P D|=2,因为AD是直角三角形AB C斜边B C上的高，所以|CD|IB DU IAD-PC=PB|PC c o s(a +0 )=IP B I .pc (c o

37、 s a c o s B-s in a s in B)=|P B|PC (,7)=4-1 AD i 2=P C|PB PC PB4-2=2.故选A.7.(多选题)(20 21湖南长沙高三模拟)设a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线，则下列选项中正确的是(B CD)A.(a ,b)c-(c a)b=0B.|a|-|b|9.已知与/C的夹角为 90 ,|/8|=2,(人,T T 2u R),且 BC=Q,贝心的值为解析:根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B (0,2),C(1,0),所以4 B=(0,2),心(1,0),B C=(1,-2).设 M (x,y),

38、则4 M=(x,y),所以 B C=(x,y)(1,-2)=x-2y=0,所以 x=2y.又/M=入 AB+1 1 AC,即(x,y)=人(0,2)+u (1,0)=(u ,2 人)，所以 x=u ,y=2 人,1 1所匚匚以I、【一入=2_尹言_/=1g%2y 4答案:41 0.已知单位向量a 与b,满足(a+b)2=l,则a 与b 的夹角为;若向量 c满足3 a+(2-3)b=c(3 0,2),贝 l j|c|的取值范围是解析:依题意知|a|=|b|=l,由(a+b)2=1 得a2+2a ,b+b l,解得 a b=-j,贝!J cos-ab-ja*b 2又 G 0,n,所以号;将a

39、 a+(2-3)b=c两边平方，得 c2=3 a2+2 3(2-co)a,b+(2-w)-b2=3 w 2-6 3+4,因为 3 0,2,所以 I c|=73 8-6a)+4 e ,2.答案号 1,211.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (-1,-2),B (2,3),C(-2,-1).求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；T (2)设实数t 满足C48-tOC)OC=Q,求 t 的值.解：由题设知58=(3,5),心(-1,1),T则48+/。=(2,6),AB-AC=(4,4),所以 4B+/C|=2V1U,|48-4。|=4四，故所求的两条对角线的长分别为4V2,

40、2V10.(2)法一由题设知区1=(-2,-1),n-1左=(3+21;,5+t).由 G4B tO C)OC=Q,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-ll,所以t=-.T T 法二 AB 0C=WC2,AB=(3,5),AB OC 11t=5ocB级综合运用练12.已知0是4ABC内部一点，且满足。力+。3+。=0,又-AC=243,NBAC=60,则OBC 的面积为(C)A.B.32C.1 D.2 解析：由力 B-AC=2 ZBAC=60,可得/B-AC=AB AC cosZBAC=|/B/C|=2V 3,所以 I 4B/C|=4 B，所以第B|sinZBAC

41、=3,又。4+0B+0CR,所以 0 为ZkABC 的重心,所以SzXoBcWSziABcNL 故选 013.在四边形ABCD中，已知M是A B边上的点，且MA=MB=MC=MD=1,ZCMD=120,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动，则成1 后的取值范围是(B)A.-1,0)B.*0)C.-1,1)D.1)解析:连接M N (图略).由题意得NA NBEM A-M N)(MB-MN)=MN2-MA2=MN 2-1,ISAMCN 中，MC=1,ZMCN=30，所以 MME?+NC-2 NC 1X=NC-V3NC+1,所以 M N2-1=NC2-V3NC=(NC-)由2 2 4MC=MD

42、=1,ZCMD=120,可得C D=g,又点N在线段CD(端点C,D除外)上运动，所以0NC 遮，所以三WMN2T1 4.在四边形A B C D中，点E,F分别是A D,B C的中点,设/D -BC=x,-,AC-BD=y,若 A B=V2,E F=1,C D=V3,贝i j x y 的最小值为.解析:如图所示,设A B n DC=O,B T T T A n-P C因 JABAE+EF+FB=EF+-T T T T T-4D4-RTDC=DE+EF+FC=EF+,2T T两式相加得前二丝产.:E0因为A B=V2,E F=1,C D=g,把两边平方可得,AB2+DC2+2AB DC 2+3+2

43、AB DC1=-=-4T T 1所以A B r)c=-1.又易 BC=(OD-OA)4(OC-OB)=OD OC-OD OB-OA-OC+OA O B=x,所以。OC+OA OB=x+OD OB+OA-0C.又A C BD=(OC-OA)(OD-OB)=T 0D OC-OB OC-OA-OD+OA 0B=(O D-OC+OA-OB)-OB-OC-OA-OD=y,所以oB -OC+OA OB=OB-OC+OA-OD+y.根据可得 x+OD OB+OA OC=OB OC+OA OD+y,T-即 x-y=-OD OB-OA-OC+OB OC+OA OD,1即 xy=OB DC+OA-CD=DC (

44、O B 一。4)=DC A B=一右即 y=|+x,所以 x y=x (|+x)=x2+|x=(x+?W，所以 x=一；,(x y)m i=-.4 4 16答案:w1 5.已知|a|=4,|b|=3,(2 a-3 b)(2 a+b)=6 1.(1)求 a 与 b 的夹角9 ;求|a+b|;(3)若/B=a,B C=b,求A A B C 的面积.解：(1)因为(2 a-3 b)(2 a+b)=6 1,所以 4 1 a 12-4 a ,b-3 1 b 12=6 1.又 I a|=4,|b|=3,所以 6 4-4 a ,b-2 7=6 1,所以 a b=6,又 OW。W j 所以。=学(2)|a

45、+b 12=(a+b)2=|a 12+2 a b+1 b|2=42+2 X(-6)+3 2=1 3,所以 I a+b I=g.(3)因为晶与丘的夹角0 号，所以N A B C=n-空3 3又|AB I I a I=4,IBC|=|b|=3,所以 S/XABC2X 4 义 3 X-33.1 6 .在平面直角坐标系x O y 中，已知向量m=（子,-日），n=（s in x,cos x）,x （0,）.（1）若 m n,求 t a n x的值；若 m与 n的夹角为也求x的值.解：因为 m=（j,-争，n=（s in x,cos x）,m n,所以 m n=0,即 js in x-;y cos x=

46、0,所以 s in x=cos x,所以 t a n x=l.（2）因为|m|=|n|二 l,所以 m n=cospn V2.V2 1即一s in x-cos x=-,222所以 s in（x-；）g,因为0 x ,1 7 .在4 A B C 中，A B=5,A C=1 0,AB 4 c=2 5,点 P 是ZA B C 内（包括边界）的一动点，且心=|6-|人品（入 R）,则|G|的最大值是（B ）A.B.V3 72C.V3 9 D.V4 1解析：法一在4 A B C 中，A B=5,A C=1 0,旗品=2 5,所以 5 X1 0 -1cos A=2 5,cos A=-,又 AW（0,n

47、）,所以 A=p B C=j5 2 +1 02-2 x 5 x 1 0 x|=5 V3,因为 A B2+B C2=A C2,所以B g.以A为坐标原点,A B 所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (0,0),B(5,0),C (5,5 V3),设点 P 的坐标为(x,y),0 Wx W5,0 Wy W5 g,因为森三足|入丘所以(x,y)=3 5,0)-|入 5 V3)=(3-2 入，-入)，所以C 1入所以丫=旧&-3),直线B C 的方程为x=5,联立:二f(%3)，解得此时/最大，为旧+(2 8 了=V3 7.故选B.法二同解法一求得A=p B=p在边A B 上

49、e2,a,b 的夹角为 9 ,2 2所以 cos?9 .2L=He1+e2)2-(3 e1+e2)J2=a b i ei+e?I 1 3 et+e22(4+4%*e2)_ 4 4-4 e1 e2(2+2 e1 e2)(1。+6?1 *?2)5+3 e1 3不妨设 t=et e2,则 t 泞,cos?94 5+3 t又丫=号在巳+8)上单调递增，5+3 t 4所以C O S?。答噌，5 H 一 V4所以cos?。的最小值为工.法二由题意，不妨设 ei=(l,0),e2=(cos x,sin x).因为|2当飞2区企,所以 J(2-COS%)2+sirj2%W&,得 5-4 cos xW 2,

50、即cos4易知 a=(l+cos x,sin x),b=(3+cos x,sin x),所以 a b=(l+cos x)(3+cos x)+sin*I 2x*4=4+4 cos x,I a|2=(l+cos x)2+sin2x=2+2cos x,|b 12=(3+cos x)+sin2x=10+6cos x,rr H l 2 n(a D)2(4+4 COS X)2 4+4 COS X所以 COS 0 =-22=-=-.a b|(2+2cosx)(10+6cosx)5+3 cosx不妨设 m=cos x,则 cos2 9=4+4 m,4 5+3 m又y=r翳在巳+8)上单调递增，5+3 m 4所

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人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用.pdf

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