2020年九年级数学中考综合复习2：综合题复习讲义.pdf

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1、综合复习二.数学综合题&综 合 评 述：代数和几何是初中数学的两大主线，有着各自的特点和解题方法，同时它们又是紧密联系，不可分割的整体，数学综合题是中考的重要题型，主要分为三类：代数综合题、几何综合题、代数几何综合题。一、代数综合题代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要镖客方程、函数、不等式等内容，常用到数学方法有：化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.解代数综合题注意归纳整理代数中的基础知识、基本技能、基本方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，加强知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的。二、几何综合题几

2、何综合题是中考热点之一，一般难度较大，解法灵活，主要综合了圆、相似三角形、四边形等相关知识，对于学生的思维能力要求较高，几何综合题表面上会给人一种无从入手的感觉，但实际上往往有很多线索可供选择，解答这类问题关键是灵活运用分析法和综合法找好解题思路，有时题设和结论的关系较为隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。除此之外，还应注意以下几点：（1）学会复杂图形简单化、不规则图形规则化，找出图形中的基本图形；（2）总结常规的证题方法和思路；（3）运用方程思想解决几何计算问题，运用转化的思想解决几何的证明问题。三、代数几何综合题代数几何综合题是代数与几何知识的综合，是数与形的有机结合，主要的考查内容包括：1.

3、以几何知识为主线，运用方程思想解决方程与几何有关的综合题；2.运用数形结合的思想解决坐标与几何的综合题；3.利用几何图形的性质和函数知识，解决函数与几何的综合题；4.运用数形结合的思想建立几何变量之间的函数关系式，其解题步骤是灵活运用函数、方程、数形结合思想，由形导数，以数促形，综合应用代数和几何知识解题。&.典型例题剖析：.例1、已知方程2/+3 工-1 =0,求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系，可从原方程根与系数入手，具体解法为：解：设 2/+3 x-1 =0 的两根为王,x2,则新方程的两根为,，*27 1由根与系数的关系得

4、：X,+x2=-,%1 -x2=-则,+-!-=上=3,.=-?-=-2故新方程为V -3），-2 =0规律总结：解决一元二次方程的综合题，必须灵活应用根的判别式，根与系数的关系，及一元二次方程的各种解法。常见错误：（1）忽略一元二次方程a?+6x+c=0 中awO的条件；（2）忽略方程有解时根的判别式A=/-4ac的检验。.例2、已知关于x 的方程相?/+（2m+3）x+l=0 的两个实数根的和为-1,而关于x 的另一个方 程/+2（a+m）x+2 a-m2+67-4 =0有大于0 且小于5 的实数根，求a 的整数值。思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系与不等式的综合运用。具体解法为

5、：解：设?2/+(2m+3卜+1 =0 的两根为再，x2,得 七+=一 1v .2 m+3乂.M+x,=-m2”3=_ ,解得町=一,团2 =3m又当根=一1时，=(2,+3-4 尸=12,+9=-3 YO,此时方程无解二加=一 1舍去，m=3把 加=3 代入/+2(a+tn)x+2a m2+6加一4=0得：x2+2(a+3)x+2a+5=0(x+2a+1)=0,解得 X 1=-l,x2=-2a-5 此方程有大于0 且小于5 的实数根.0Y2-5Y5,解得：-5Y”-2又”为整数，。=T 或-3规律总结：涉及一元二次方程的综合题，必须会灵活应用一元二次方程的解法及根与系数的关系和根的判别式，涉

6、及不等式的综合题，必须熟悉不等式的解法。常见错误：（1）忽略根的判别式的检验，如本题若不检验ANO,?=-1便不能排除；（2）找不准不等式的整数解，避免此种错误可借助数轴。.例3、（2019年海淀模拟试题）一次函数y=A/+匕 和反比例函数y=&的图象相交于X点、P（m-1,n+1）,点。（0,a）在函数y=%x+的图象上，且?、是关于x 的一元二次方程以 _（3+l）x+2（+1）=0 的两个不相等的整数根，其中。为整数，试求一次函数和反比例函数的解析式。思路点拨:本题是由函数与方程组成的综合题，解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根。具体解法为：解：解关于x 的一元二次方程以2-（3a+

7、l）x+2（“+1）=0,得_ a+l.1=2,=-=1 da a.方程有两个不相等的整数根，且。为整数a=-,止 匕 时 =0（。=1时，x=2 不合题意）m 0,=2 或%=2,n 0二P 点坐标为（一 1 ,3）或（I,1 ）又；点。（0,a）在函数y=x+人的图象上b=a=当P点坐标为（-1,3）时，根据题意得:故 =一1-1和反比例函数丫=二x当P点坐标为（1,1）时，根据题意得:故y =2 x 1和反比例函数y=-X一次函数的解析式为：y =Y x-l或y =2 x-l；反比例函数的解析式为：=口 或y =1.X X规律总结：函数与方程的综合题，其联系点往往是交点与方程的解，注意函

8、数的性质与方程有关知识的综合应用，另外求函数解析式时，往往利用待定系数法转化成方程（组）解决。常见错误：（1）审题不清，忽略关键条件出错，如忽略“方程有两个不相等的实数根，且“为整数”会导致问题多解；（2）分析问题不透，导致问题遗漏出错.如“、是方程的两根，2、0也是方程的两根，此时加、的值应有有两种情况，忽略其中一种，便导致出错。.例4、（2 0 1 9年天津）已知一次函数y=2 x,二次函数为=x?+1.（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值H、为，并填在表格中：X-3-2-10123必=2 xy2=x2+1（2）观 察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一

9、个值，这两个函数所对应的函数值必4%均成立；（3）试问是否存在二次函数为=以2+法+C,其图象经过点（-5,2）,且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值弘4%4%均 成 立？若存在，求出函数%的解析式；若不存在，请说明理由。思路点拨：本题是由函数与不等式组成的综合题，关键是从函数问题中列出相应的不等式.具体解法是：解：（1）填表如下：（2）因 为 必-乃=2x-（1 +1）-+2x-l=_（x-l）240,所以对于x取任何实数，都有必y2X-3-2-10123y=2x-6-4-20246丫2 =+1105212510均成立；（3）由已知二次函数为=以2+公+，的图象经过点（

10、-5,2）,得25a-5b+c2 当x=l时，y,=y2=2,必=4+6+。，若对于自变量 取任何实数时，都有必3 4y2成立，则有 24a+b+c 4 2,所以 a+/?+c=2 由联立得关于、c的方程组，解得b=4a,c=2-5a+4ax+2-5。当必4%时，W 2x 0若二次函数3 =如2+4ax+2-5a对于一切实数x,yN O恒成立，则必有Q ”0 A 0*/口 （，即 1 /2 得。=一（4a-2）2-4a（2-5a）0 （3a-1）2 0 3,4 1 D ,C =2 JC l 3 3二存在二次函数y3=g x2+g x+g在实数范围内对于任意X的同一值，弘 =公2+bx+c中a

11、w O的条件；（2）审题不清，思维混乱导致乱解或错解。.例5、（20 19年南京）如图1,在A A S C中，AB=A C,以A C为直径的。与4 5相交于点E,与8 c相交于点O,点F是 鹿 的 中 点。（1）求证：O尸是。的切线；(2)若A E=14,BC=1 2,求 所 的 长。思路点拨：本题考查圆的切线的判定及切割线定理的灵活应用.具体解法为:(1)证明：连结OO,AD：AC为。O的直径，ZS4DC=9O,即 4)_L 8c：AB=AC,NB=NC,ZBAD=ZCAD又.四边形ADC内接于。O，ABED=ZC,NBDE=ZBAC：.ZB=ZBED：.DE=DB点F是BE的中点，DFYA

12、B,ZBDF=ZFDE：.ZBDF=-NBDE=-NBAC2 2又：OD=OA：.AADO=ZCAD=-ZBAC2ZBDF=ZADO：.Z.ODF=ZADF+ZADO=ZADF+ZBDF=ZADB=90又；OZ）是。o的半径，是。o的切线（2）解：设 班 =x,则 BEnZBfMZx又；BD=CD=BC=62由切割线定理得：BEAB=BDBC2x（2x+14）=6x12,解得：x,=2,x2=-9（不合题意，舍去）故BF的长为2.规律总结：几何圆中的综合题一是注意弦角的转换，二是切割线定理、相交弦定理、切线长定理、勾股定理与方程的综合应用，其解题关键是通过分析找出已知与所求之间的关系。常见错误

13、：（1）推理不严密，如证明。尸是。的切线，需证明两个条件，一是OOLOF；二是OO是。的半径，两者缺一不可，如忽略其中一个条件，则推理不严密；（2）分析问题的条件与结论时与相关知识联系不上，导致问题无从下手，无法解决。.例 6、（2019年四川）如图2,是。的直径，C是84延长线上的一点，CP切。于点P,弦PDLAB于点E,过 点3作8Q LCP于点。，交。O于点“，G是AB上一点，且B G=-A B,连结 4G 交 PD 于 F,连结 BF,若 PD=6 g ,tan ZBFE=3y5.3（1）求NC的度数；（2）求QH的长。思路点拨：本题条件中涉及圆的弦、切线、弧等，关键是垂径定理、切割线

14、定理的灵活运用。具体解法为：解：（1）连结OP二 NOPC=90V PDVAB,AB 是。的直径，PD=6也：.PE=-PD =3/32XV BG=-AB3N84G=30在他AAE尸中，ZBAG=30,tanZBAG=AE 3/.AE=V3EF又由垂径定理得：PE2=AE BE（3=（x/3ET）.（3V3EF）,解得 EF=g：.AE=3,BE=9,OE=3：.OP=-A B =62；OP1.CP,PE 上 AB：.ZC=ZOPE=90-APOC在 a AOPE中，OE=!(?尸2，NC=NOPE=90P(2)在 RrACOP中，ZC=30,OP=6:.CO=2OP=12/.AC=6,BC=

15、18由勾股定理得：CP2=CO2-O P2=122-62=6 x 1 8,得 CP=6百.在向ACB。中，NC=30,SC=18A BQ=-C B =9,CQ=H Q =9后2 tan 300:.PQ=CQ-C P=3y/3X V PQ-=QH BQ工包JBQ 9规律总结：圆中涉及三角函数的计算必须想办法构造直角三角形，另外分析问题时，注意结合条件选择有关性质来解题。常见错误：审题不清，思维混乱，导致解题无从下手。.例7、(2019年自贡)如图3所示，已知直线y=-2x+2 分别与x 轴、y 轴交于点A、B,以线段相为直角边，在第一象限内作等腰直角A4BC,Zft4C=9 0 ,过点C 作轴，

16、垂足为D.(1)求点A、B 的坐标和AD的长；(2)求 A、B、C 三点的抛物线的解析式。思路点拨：本题属于代数几何综合题，考查等腰直角三角形的性质及抛物线解析式的确定。具体的解法为：解：(1)在 y=2x+2 中，当 x=0 时，y=2；当 y=0 时，x=l二4(1,0),B(0,2)Z(?Afi+ZC4D=90,NO/W+NO班=90。:.ZCAD=ZABOX V ZAOB=ZCDA=90,BA=AC，RtMOBRtACDA：.AD=OB=2(2)O D O A+A D +2=3,由(1)知 RfAAOS三及ACDAA tanZOBA=tanZDAC,即 包=乌=OB AD 2，CD=.

17、O点的坐标为(3,0),C 点的坐标为(3,1)设过A、B、C 三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(aw O)将 A(l,0),B(0,2),C(3,1)代入，得:Q+6+C=0c=2,解得 4 =9 ,9。+3 b +c =1故过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y =x 2-1 Z x +26 6规律总结：（1）解答代数几何综合题，一定要注意数形结合，数与形的结合点往往在点的坐标上；（2）涉及函数解析式的题目一般采用待定系数法。常见错误：（1）审题不清，思维混乱，导致出错；（2）个别问题结论不唯一，因数形不统一，思考不周密而导致有遗漏。.例8、（2 0 1 9年重庆）如图4所示，

18、在平面直角坐标系内，已知点A （0,6）,点8 （8,0）,动点尸从点A开始在线段A O上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点。从点5开始在线段班上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。设点P、Q移动的时间为r秒。（1）求直线A 5的解析式；（2）当/为何值时，A 4尸。与A A O 3相似？并求出此时点P与点。的坐标；7 4（3）当，为何值时，A A P Q的面积为三个平方单位。思路点拨：本题利用函数和相似知识解决动点问题。（1）求直线的解析式可用待定系数法；（2）若A A P Q与A A O B相似，只 知 是 公 共 角，可分情况讨论；（3）可先求A A P Q面积的函数解析式,然

19、后利用方程求出r的值。具体的解法为：解：（1）设 直 线 的 解 析 式 为：y=k x+b,由题意得：b=68k+b=0,解得:b=6故直线的解析式为：y =-x +64(2)由 A Q =6,80=8,得 A B =1 0A AP=t,AQ=W-2t如图5所示，当N A P Q =Z A O 3时，A A P 0 MOB._L=Ub 3,解得：，=型6 1 0 1 1故有P点坐标为（0,生），点。的坐标为（竺，）1 1 1 1 1 1如图6所示，当N A Q P=Z A O 8时，MQP A A O B.t 1 0-2/=-1 0 6，解得：，二21 3故有P点坐标为（0,三），点。的坐标

20、为（M,）1 3 1 3 1 3（3）过点。作Q EJ.A O于点E（如图7）.在用A A O 8 中，s i n Z B A O =-AB 5A Q在 RiAAEQ 中，QE=AQ-s i n ZBAO=-（10-27）=8-t 5=。=#一%）=一*解得：r =2或r =3规律总结：解动点题其关键是结合图形，分析题意，将运动的几何元素看作静止来加以解答，函数和方程是解决这类问题的重要工具。常见错误：思考不周密出现漏解，如A A P Q与A 4O 8相似有两种情况，忽视其中一种必导致漏解。.例9、如图8所示，在平面直角坐标系中，正方形430。的边长为a,O为原点，点3在x轴的负半轴上，点。在

21、y轴的正半轴上。直线O E的解析式为y =2 x,直线C 5过x轴上一点(-a,0)且与O E平行，现正方形以每秒色的速度匀速沿x轴正方向平行移动，设运动时间5 1 0为f秒，正方形被夹在直线O E和C F间的部分面积为5.(1)当0 W 4时，写出S与f的函数关系式；(2)当44,45时，写出S与r的函数关系式，在这个范围内S有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。思路点拨：这是一道动形问题，函数是刻画动形问题的最佳数学模型，此题应画出图形，分析图形运动过程中的变化规律，并以此为突破口。具体解法为：解：(1)当0 4 Y4时，如图9,由图可知0=生，设经过f秒后，正方形移动到Aq

22、M N处.1 01 2.当，=4时，BB.=O M =-a x 4 =-a1 1 0 5 当0K/K4时，灯在C点左侧夹在两平行线间的部分是多边形C O Q N G,其面积为：0 c o尸G的面积一&V P Q的面积3V CO=-a,OD=a5 D C O P G的面积=C O O =巳/5又丁点尸的坐标为(色，。)2一 八 。aN P =-2 10由y=2x知,N Q=2 N P S N P.NQ=(L)(2)当4 4/4 5 时，如图10所 示.这 时 正 方 形 移 动 到 处.7I.当 44145 时，a4BBiW-a5,2.当4 4,4 5 时，B1在 C 点、O 点之间夹在两平行线

23、间的部分是BQ QN GR,即7CQPG被切掉了&VPQ和ACB|R后的剩余，其面积为：OCOPG的面积一 ZWPQ的面积一 AC与R 的面积。仿 照(1),同理可得OM=生，N P =-t10 2 10V C O -a,C M =晓 +2,B.M=a5 5 10CB.C M-B.M =-a +-a =-1 5 10 10 5 SA CM 1 c B=(CBJ2=儒 一,a)2 a532当t=2 时，s 有最大值，此时s 最 大=3/2 a 2.2求 人 5 100 2 200规律总结：解决这类问题，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，通过归纳得出规律和结论。常见错误：图形运动过程中的

24、关键图形找不准而导致出错。&.综合巩固练习：一、课改区中考试题练习1.（2 0 1 9 年黄冈）已知x,y为实数，且+3 0-2）2 =0,则 一y的 值 为（）A、3 8、一 3 C、1 D.-12.（2 0 1 9 年北京）已知2 x-3 =O,求代数式乂/-x）+x2（5-x）-9的值。3.（2 0 1 9 年海淀）已知反比例函数y =V的图象经过点A （4,若一次函数y =x+l 的x 2图象经过平移后经过该反比例函数图象上的点5 （2,m）,求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标。4.（2 0 1 9 年北京）在平面直角坐标系x Q y 中，直线y =-x 绕点。顺时针旋转9 0。

25、得到直线心直线。与反比例函数y =&的图象的一个交点为A （a,3）,试确定反比例函数的解析式。X5.（2 0 1 9 年海淀）已知抛物线y =o x2-的+%-2.（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若 m是整数，抛物线y =江-w x+?-2 与x 轴交于整数点，求m的值。（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A ,抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若 M为坐标轴上一点，且=求点用的坐标。6.（2 0 1 9 年荷泽）如图1 1,直线y =-2 x-2 与双曲线y =&交于点A,与x 轴、y 轴分别相交X于点B、C,A _ L x轴于点。，如果S&3=SA C O

26、B，求火的值。7.（2 0 1 9 年海淀）如图1 2 所示，一根长为2 a 的 木 棍（他），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且 5端沿地面向右滑行。（1）请判断木棍滑动的过程中，点 P到点。的距离是否变化？并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，A A O 3 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。8.（2 0 1 9 年北京）已知：如图 1 3,在梯形 A BCD,AD/BC,Z A B C =9QP,Z C =4 5 ,BE L C D于点E,AD=,C D =2 日.求 应:的长。9.（2 019 年河南）如图1 4

27、,正方形的边长为4 c?,点尸是BC 边上不与3、C 重合的任意一点，连结AP,过点P作 PQLAP交。C 于点Q,设 B P 的长为x c m,C Q的长为(1)求点尸在3c上运动过程中y的最大值;(2)当 y c m 时，求 x的值。-4N P =9 0。，P M =P N,M N =S c m,矩形 的长和宽分别为8c m和 2 m,C 点和M 点互相重合，BC 和 MN 在一条直线上.令R/A P M N不动，矩形 覆。)沿 MN 所在直线向右以每秒1C M的速度移动(如图16),直到C 点与N 点重合为止.设移动x 秒后，矩形A B C D 与 R/A P M N重叠部分的面积为y

28、e w?,求 y与x的函数关系式。11.(2 019 年武汉)如图1 7,在平面直角坐标系中，点01的坐标为(T,0),以点01为圆心，8 为半径的圆与x 轴交于A、8 两点，过点A作直线0与 x 轴负方向交成60。角。以R(13,5)为圆心的圆与x 轴相切于点O.(1)求直线2 的解析式；(2)将。2 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线。沿 x 轴向右平移，当。2 第一次与。Oi 相切时，直线。也恰好与。O?第一次相切，求直线。平移的速度；(3)如图18所示，将。Oz 沿x 轴向右平移，在平移过程中与x 轴相切于点E,EG 为。的直径，过点A作。2 的切线，切。O?于另一点尸，连

29、结A。?、F G,那么FG-A O2 的值是否变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。12.(2 019 年黄冈)如图1 9,已知。的弦他垂直于直径C 3,垂足为尸，点 E在上，且 E 4 =E C.(1)求证：A C2=A E A B；(2)延长EC 到点P,连结P3,若 PB=PE ,试判断尸 3与。的位置关系，并说明理由。13.(2 019 年长沙)如图2 0,把一个直角三角尺A C B 绕着3(F角的顶点8 顺时针旋转，使得点A与 C 3 的延长线上的点E重合。(1)三角尺旋转了多少度；(2)连结C D,试判断A CB。的形状；(3)求 N 3 D C 的度数。14.

30、(2 019 年荷泽)如图2 1,在。中，弦 4?与。C 相交于点E,A B C D.(1)求证：M E C 三 tsDEB；(2)点 B与点C 关于直线O E对称吗？试说明理由。图 2 215.(2 019 年荷泽)如图2 2,在正方形他 8中，AB=2,E 1是 边 上 一 点(点 E与点A、。不重合).8 E的 垂 直 平 分 线 交 于 点交 D C 于点、N.(1)设 A E =x,四 边 形 的 面 积 是 S,写出S关于x的函数关系式；(2)当他 为何值时，四边形4DN M的面积最大？最大值是多少？16.(2 019 年荷泽)如图2 3,在直角坐标系中，。是原点，A、B、C 三点

31、的坐标分别为A (18,0),8(18,6),C(8,6),四边形0 A B e 是梯形，点 P、。同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿 0 4向终点4运动，速度为每秒1 个单位，点 Q沿 O C、C B向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时、另一点也停止运动。(1)求出直线O C 的解析式及经过0、A、C 三点的抛物线的解析式.(2)试 在(1)中的抛物线上找一点。，使得以0、A、。为顶点的三角形与A 4 O C 全等，请直接写出点。的坐标.(3)设从出发起，运动了 f 秒.如果点0 的速度为每秒2个单位，试写出点。的坐标，并写出此时/的取值范围.(4)设从出发起，运动了，秒.当

32、P,。两点运动的路程之和恰好等于梯形O A B C 的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出f 的值；如不可能,请说明理由。二、经典题练习1.(2 019 年上海)如图 2 4,在 A 4 B C 中，N A B C =9 0,4 3 =4,B C =3,O 是边 A C 上的一个动点，以点。为圆心作半圆，与边回 相切于点O,交线段O C 于点E.作 P _ L D,交射线A 5于点P,交射线C B 于点F.(1)求证：AADESAAEP；(2)设。4 =x,A P y,求 y与x的函数解析式，并写出它的取值范围；(3)当 3 9=1 时，求线段A 尸的

33、长。2.(2 019 年眉山)如图2 5,N M O N =90,在 N MO N 的内部有一正方形A O C。，点A、C 分别在射线O N,点名是O N 上的任意一点，在 N M O N 的内部作正方形(1)连结 0,0 ,求证：Z A D Dt=90 ；(2)连结CC，猜一猜，Z G CN 的度数是多少？并证明你的结论；(3)在 O N 上再任取一点斗，以AJ为边，在/M O N 的内部作出正方形Aja。?，观察图形,并 结 合(1)、(2)的结论，请你再作出一个合理的解释。3.(2 0 1 9年 天 水)已 知 R/A 4B C 的两个锐角A、8的正切值恰好是关于x的一元二次方程mx1+(2m-9)x +(nr-2)=0 (z w O)的两个根，求?的值.4.(2 0 1 9年沈阳)如图2 6,直线y=-x +3 与x 轴相交于点A,与丫轴相交于点8,C Cm.)是第二象限内任意一点，以C点为圆心的圆与x 轴相切于点E,与 直 线 相 切 于 点 尸.(1)连结CE、C B,当四边形O 8 C E 是矩形时，求点C的坐标；(2)如图2 7,求(D C 与 y 轴相切于点。，求。C的半径r；(3)求加与的函数关系式；(4)在。C的移动过程中，能否使A O E F 是等边三角形(只回答“能”或“不能”)。