中考数学二轮复习热点题型突破训练---三角形相似问题.docx

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1、三角形相似问题三角形相似是中考的重点考查内容,一般会从以下两个方面进行考查:在简单背景下进行相似的识别、构造、推理证明、计算等;在复杂情境中结合三角形全等、特殊三角形、四边形、三角函数进行考查.一、基本定理(建立“A”字型,“8”字型)由两条直线被一组平行线所截,所得对应线段成比例得到基本定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.(一)“A”字型如图.DEBC,ADEABC.(二)8字型如图.DEBC,ADEACB.1.(2022龙东)如图,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点, 连接EF交AD于点P.若AB

2、C的面积是24,PD=1.5,则PE的长是 ( )A.2.5 B.2 C.3.5 D.32.(2020河南)如图,在ABC中,ACB=90,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为 ( ) A. B.(2,2) C. D.(4,2)3.如图,在ABC中,点D在AC边上,ADDC=12,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,则BEEC为 ( )A.12 B.13 C.14 D.234.(2020乐山)把两块含30角的直角三角尺按如图所示的方式拼接在一起,E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则AFAC

3、的值为 .5.(2021北京)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转得到线段AE,连接BE,DE.(1)比较BAE与CAD的大小;用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明. 二、“两角相等,两三角形相似”(一)斜“A”型如图:A=A,1=C,ADEACB.(二)子母型如图:C=C,1=B,ADCBAC.6.(2022广元)如图,在ABC中,BC=6,AC=8,C=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与AB交于点D,再分别以A、D为圆

4、心,大于12AD的长为半径画弧,两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、AB于点E、F,则AE的长度为 ( )A.52B.3C.22D.1037.如图,在ABC中,BAC=90,M是斜边BC的中点,BNAM,垂足为N,且BN的延长线交AC于点D.(1)求证:ABCADB;(2)如果BC=20,BD=15,求AB的长度.(三)射影定理(直高图)ACB=90,CDAB,ACDCBD,CD2=ADBD.ADCACB,AC2=ADAB.BCDBAC,BC2=BDAB.8.如图,在矩形ABCD中,F是DC上一点,BFAC,垂足为E,ADAB=12,CEF的面积为S1,AEB的面积为S2,则S1S2的值

5、等于 .9.(2020山西)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 .(四)“K”字型如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,EF.AEF=90,1+2=90,2+3=90,1=3.又B=C,ABEECF.10.如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E是BC上一点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,将ABE沿直线AE翻折,使点B落在点N处, AN交DC于点M.当AB=2CF时,NM的长为 ( ) A.2 B.0.7C.0.5 D.0.211.如图,在平面直角坐标系中,正方形

6、ABCD的顶点A的坐标为(-1,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线y=6x上,过点C作CEx轴交双曲线于点E,连接BE,则BCE的面积为 ( )A.5B.6C.7D.812.(2022济南)如图,一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内,模板四周的直角顶点M,N,O,P,Q都在矩形ABCD的边上.若8个小正方形的面积均为1,则边AB的长为 .13.如图,在ABC中,C=90,BC=3,AC=5,点D为线段AC上一动点.将线段BD绕点D逆时针旋转90得到DE,求AE的最小值.14.【基础巩固】(1)如图1,ABC为等腰直角三角形,ABC=ADB=BEC=90.求证

7、:ADBBEC.【尝试应用】(2)如图2,在(1)的条件下,连接AE,AE=AC=10,求DE的长.【拓展提高】(3)如图3,在RtABC中,D,E分别在直角边AB,BC上,AD=2DB=2CE,2BAC+BED=135,求tanBAC.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=13x2-2x与x轴正半轴交于点A(6,0),抛物线的顶点M的坐标为(3,-3).直线y=-12x+3经过点A,与y轴交于点B,连接OM.将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:ADM-ACM=45. (五)“一线三角型”如图,在ABC中,点D,E,F

8、分别在边BC,AB,AC上,连接DE,DF.且B=C=EDF=,1+2=180-,2+3=180-,1=3.B=C,BDECFD.16.如图,把等边ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC.若BP=4 cm,则EC= cm.17.如图,在菱形ABCD中,边长为6,B=60,点M是AB的中点,连接AC.N是BC上一动点,把ABC沿MN折叠,使点B恰好落在AC边上的B处,且ABBC=21,则BN= .18.如图,在菱形ABCD中,B=60,点E,F分别在边AB,BC上,AE=5BE,DFE=120,则BFFC的值为 .19.如图,在ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,A

9、C边上的点,且APD=B.(1)求证:ACCD=CPBP;(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.三角形相似问题参考答案一、基本定理(建立“A”字型,“8”字型)1.A2.B3.B4.355.解:(1)BAE=CAD,BM=MD+BE.证明:由题意可,得EAD=BAC,AE=AD,EAD-BAD=BAC-BAD,BAE=CAD.AB=AC,AE=AD,ABEACD(SAS),BE=CD.M为BC的中点,BM=CM.BM=MD+CD=MD+BE.(2)NE=ND.证明:在BM上截取BF,使得BF=BE,连接EF,如图.由(1)可得BF=CD.ABEACD,ABE=ACB,AB=

10、AC,ABC=ACB,ABE=ABC.BF=BE,EFAB.MNAB,EFMN,NEND=MFMD.MF=MB-BF=MC-CD=MD,NE=ND.二、“两角相等,两三角形相似”6.A7.(1)证明:M是斜边BC的中点,AM=CM,MAC=C.MAC+BAN=90,ABD+BAN=90,MAC=ABD,C=ABD.BAC=DAB=90,ABCADB.(2)解:ABCADB,ACAB=BCBD=2015=43,设AC=4x,AB=3x,可得(4x)2+(3x)2=202,解得x=4(负值舍去),AB=3x=12.8.1169.548510.C11.C12.20131313.解:设CD=x,则AD

11、=5-x,过点E作EHAD于点H,由旋转的性质可知BD=DE.ADE+BDC=90,BDC+CBD=90,ADE=CBD.又EHD=C,BCDDHE(SAS),EH=CD=x,DH=BC=3.AD=5-x,AH=AD-DH=5-x-3=2-x,在RtAEH中,AE2=AH2+EH2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,当x=1时,AE2取得最小值2,即AE取得最小值2.14.解:(1)ADB=ABC=BEC=90,ABD+CBE=90,ABD+DAB=90,CBE=BAD,又AB=BC,ADBBEC.(2)作AFCE,交CE于点F.AC=AE,CF=EF,ADBBEC,B

12、D=CE=2EF=2AD.故DE=3AD.DE2+AD2=AC2,AC=10,DE=310.(3)如图,过点C作CQCB,在CQ上截取CK使得CK=EB,连接EK,DK,作DKQ的角平分线交BA的延长线于点T.设BD=EC=a,AD=2a,BE=CK=b.易得DBEECK(SAS),ED=EK,BED=CKE.CKE+CEK=90,CEK+BED=90,DEK=90,EKD=EDK=45.CKE+DKQ=135,DEB+2BAC=135,DKQ=2BAC.KT平分DKQ,DKT=TKQ.BTCQ,T=TKQ=BAC,KTAC,四边形ATKC是平行四边形,CK=AT=b.T=DKT,DT=DK.

13、DK=2DE=2a2+b2,2a2+b2=2a+b,整理得2a2+4ab-b2=0,a=2+62b(负值已经舍去),tanBAC=b+a3a=b+2+62b32+62b=3+63.15.证明:根据题意,得m=-12.直线y=-12x+n过点M(3,-3),n=-32,y=-12x-32.当y=0时,-12x-32=0,解得x=-3,C(-3,0).过点M作MNx轴于点N,N(3,0),ON=MN=3,MON=45.D(2,0),OD=2,DN=1.在RtMND中,MD=MN2+DN2=10.C(-3,0),CD=5.DMDO=102,DCDM=102,DMDO=DCDM.MDC=ODM,DCM

14、DMO,DMC=DOM=45.ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=45.提示:旋转,构造一线三等角.法二提示:如图.法三提示:如图.法四提示:如图.法五提示:如图.16.(2+23)17.218.21或1119.(1)证明:AB=AC,B=C.APC=BAP+B,APC=APD+DPC,APD=B,BAP=DPC,ABPPCD,BPCD=ABCP,ABCD=CPBP.又AB=AC,ACCD=CPBP.(2)解:PDAB,APD=BAP.APD=B=C,BAP=C.又B=B,BAPBCA,BABC=BPBA.AB=10,BC=12,1012=BP10,BP=253.学科网（北京）股份有限公司