同济大学朱慈勉-结构力学第9章-弯矩分配法课件.ppt

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1、弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法的本质及其适用范围z弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法的适用范围：弯矩分配法的适用范围：单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。v弯矩分配法的基本概念弯矩分配法的基本概念以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为以图示结构为例说明

2、，所有杆件的线刚度均为 ，杆长均为，杆长均为 ，不计杆件轴向变形。，不计杆件轴向变形。根据位移法原理，原结构分解为根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。两种受力状态。只有一个位移法未知量只有一个位移法未知量A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元分配单元。ABCD原结构原结构ABCD(a)状态状态ABCD(b)状态状态(a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移 固定状态(b)状态：只发生结点位移，无外荷载 放松状态相当于原结构“先固定、后放松”4/15/2023固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固定

3、状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。正负号规定：绕杆端顺时针为正。ABCD原结构原结构ABCD(a)固定状态固定状态ABCD(b)放松状态放松状态固定状态内力分析固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。结点附加刚臂上的约束力矩称为结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。正负号规定：顺时针为正。结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。在上述正负号规定条件下

4、，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。4/15/2023放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向反向力矩（相当于解除约束）。力矩（相当于解除约束）。ABCD原结构原结构ABCD(a)固定状态固定状态ABCD(b)放松状态放松状态放松状态内力分析放松状态内力分析放松状态的内力可借助放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。等概念计算。转动刚度：转动刚度：AB杆件杆件A端（又称近端）发生单位转角时，端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为端产生的弯矩值，称为AB杆杆A端的转动

5、刚度，端的转动刚度，记为记为 。转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。4/15/2023ABCD(b)放松状态放松状态放松状态内力分析放松状态内力分析传递系数：传递系数：AB杆件仅杆件仅A端发生转角时，端发生转角时，B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比，称为从端弯矩之比，称为从A到到B的弯矩传递系数，记为的弯矩传递系数，记为 。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：放松状态内力（分配系数）放松状态内力（分配系数）AA结点力矩结

6、点力矩A结点力矩平衡方程：而，所以，得，从而，称为称为力矩分配系数力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即，即 。Why?物理含义：结点力矩平衡4/15/2023ABCD原结构原结构计算过程小结计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：远端传递力矩：杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终

7、弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADA分配分配传递传递备注备注分配力矩下划线，以示与传递力矩区分4/15/2023ABCD原结构原结构弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADA分配分配传递传递备注备注ABCDM图图(xql2)施加约束(固定)解除约束(放松)注意问题：注意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用

8、正负号表示，故，必须牢记正负号规定正负号规定，计算过程中切勿混淆，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。和遗漏正负号。结点不平衡力矩结点不平衡力矩必须反号必须反号后才能进行分配和传递。后才能进行分配和传递。弯矩分配法计算步骤：弯矩分配法计算步骤：计算各杆的分配系数和传递系数。计算各杆的分配系数和传递系数。计算荷载作用下的固端弯矩。计算荷载作用下的固端弯矩。将结点不平衡力矩将结点不平衡力矩反号反号后，进行力矩分配和传递。后，进行力矩分配和传递。按叠加原理计算最终杆端弯矩。按叠加原理计算最终杆端弯矩。4/15/2023|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。】试

9、用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解】【解】计算分配系数：ABDC杆端杆端BAABADACCADA结点结点BACD分配分配传递传递计算固端弯矩：ABDCM图图(kNm)4 4C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 。4/15/2023|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。DA结点结点杆端杆端BACDBAABADACCA分配分配传递传递AD杆件的处理：杆件的处理：ABCDD端的链杆只产生轴力，故端的链杆只产生轴力，故 。AC杆件的处理：杆件的处理：（M图略）图略）4/15/

10、2023|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。几个分配单元？几个分配单元？2个或个或1个。个。法一：法一：B结点和结点和C结点结点2个分配单元。个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍多结点弯矩分配法后续介绍)法二：法二：B结点结点1个分配单元。（个分配单元。（CD弯矩静定，原结构可简化）弯矩静定，原结构可简化）ABCDABC弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，理论上讲，弯矩分配法

11、即适用于超静定结构，也适用于静定结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。以减少计算工作量。分配分配传递传递B结点的集中外力矩如何处理？结点的集中外力矩如何处理？可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，而作用在结点上的集中力而作用在结点上的集中力矩无需改变符号直接参与分配。矩无需改变符号直接参与分配。ABCB点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为 。反号后，即。反号后，即作为结点分配力矩。作为结点

12、分配力矩。B结点分配力矩为412021（M图略）图略）4/15/2023|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？分配分配传递传递（M图略）图略）ABC根据转动刚度的定义，根据转动刚度的定义，和和 分别表示分别表示B发生单位转角时发生单位转角时BA和和BC的杆端弯矩。的杆端弯矩。ABC时变形时变形ABC时弯矩时弯矩4/15/2023|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。】试用

13、弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB固定状态固定状态固端弯矩结点不平衡力弯矩ACDB放松状态放松状态两个分配单元B和C结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。放松C(B保持锁定状态)此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm锁住C，放松B此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm完成一轮分配由于分配系数和传递系数不大于1且不可能全为1，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使结构受力和变形逐步接近实际状态。4/15/2023|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例【例1】试用弯

14、矩分配法作图示连续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB上述计算过程一般通过列表进行上述计算过程一般通过列表进行（固定状态）（固定状态）分配分配与与传递传递（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）第第1轮分配轮分配（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）第第2轮分配轮分配（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）第第3轮分配轮分配多结点弯矩分配法是一种渐近法，多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。计算结果为近似解。为了使计算收敛速度快，通常先为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。始分配。终止弯矩分配的条件一般有两种：终止弯矩

15、分配的条件一般有两种：a）明确分配轮次。如：要求完成）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配完成后即可终止计算。两轮分配完成后即可终止计算。b）明确计算精度。如：计算要求）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应计算保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩小于至分配弯矩或传递弯矩小于0.01。注意最后一个轮次分配与传递需注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。同时完成，不可以只分配不传递。ACDBM图图(kNm)4/15/2023|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例【例2】试用弯矩分配法作图示连续梁

16、的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。(只分配两轮只分配两轮)分配分配与与传递传递（锁（锁C放放B、D）（锁（锁B、D放放C）ACBDE本结构三个分配单元：本结构三个分配单元：B、C、D锁锁C后，后，B、D相互之间无影响，故，可相互之间无影响，故，可同时放松同时放松第第1轮轮（锁（锁C放放B、D）（锁（锁B、D放放C）第第2轮轮ACBDEM图图(kNm)4/15/2023|弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展z弯矩分配法弯矩分配法主要适用于无结点线位移的超静定结构主要适用于无结点线位移的超静定结构，因为有结点线位移时，杆件的，因为有结点线位移时，杆件的转动刚度和传递系数一般难以确定。

17、转动刚度和传递系数一般难以确定。z对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。无剪力分配法无剪力分配法适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；剪力静不定的杆件无相对侧移。剪力静不定的杆件无相对侧移。例：例：柱子：有相对侧移，但剪力静定；柱子：有相对侧移，但剪力静定；横梁：横梁：剪力未知，但两端无相对侧移。剪力未知，但两端无相对侧移。4/15/2023|弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展z无剪力分配法无剪力分配法剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数

18、和固端弯矩：剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：对对mn柱，由位移法知：柱，由位移法知：根据静力平衡条件可得：根据静力平衡条件可得：从而，从而，剪力静定杆的剪力静定杆的相对侧移与杆相对侧移与杆端转角是相关端转角是相关的，二者关系的，二者关系可以通过杆件可以通过杆件剪力大小确定剪力大小确定根据转动刚度和传递系数的定义：根据转动刚度和传递系数的定义：比较可见：比较可见：剪力静定杆的转动刚度和剪力静定杆的转动刚度和传递系数与一端固定一端传递系数与一端固定一端定向滑动约束的杆件相同定向滑动约束的杆件相同固端弯矩根据剪力和反弯固端弯矩根据剪力和反弯点位置确定点位置确定4/15/2

19、023|弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展z无剪力分配法无剪力分配法【例【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。【解】【解】利用对称性取半结构利用对称性取半结构计算分配系数：计算分配系数：计算固端弯矩：计算固端弯矩：剪力静定杆分配分配传递传递结点结点杆端杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略杆端略4/15/2023|弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展z无剪力分配法无剪力分配法【例【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。分配分配传递传递结点结点杆端杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略

20、杆端略M图图(kNm)剪力分配法剪力分配法一、柱顶有水平荷载作用的铰结排架一、柱顶有水平荷载作用的铰结排架 侧移刚度（ki）及柱顶发生水平位移时，各柱顶的剪力：PEI1EI2EI3l2l3l1(a)(b)=1EIhd=3EI/h3(c)PQ1=k1Q2=k2Q3=k3(d)Q1=1PQ2=2PQ1l 1Q2l 2Q3l 3Q3=3P(e)由图（由图（d）：）：代（代（2）入（）入（1）：）：式中式中g g 称称剪力分配剪力分配系数系数二、横梁刚度无限大时刚架的剪力分配二、横梁刚度无限大时刚架的剪力分配P（a）EI1EI2EI3l2l3l1(c)PQ1Q2Q3（b）=1PEIhk=12EI/h3P（d）Q1=c c1PQ2=c c2PQ3=c c3PQ1l 1/2Q2l2/2Q3l 3/2Q1l 1/2图示刚架，横梁刚度无限大，无结点角位移，只有水平线位移图示刚架，横梁刚度无限大，无结点角位移，只有水平线位移。侧移刚度（k）及柱顶侧移为时，各柱的剪力：由图（由图（c）：）：代（代（2）入（）入（1）：）：式中式中c c称称剪力分配系数剪力分配系数 柱上端无转角，柱中点的弯矩柱上端无转角，柱中点的弯矩为零，柱上下端的弯矩等值反向。为零，柱上下端的弯矩等值反向。由剪力求得各柱两端弯矩为由剪力求得各柱两端弯矩为M=Ql/2；由结点的平衡，可求出；由结点的平衡，可求出梁端弯矩。梁端弯矩。