几何解题途径的探求.ppt

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1、 竞赛数学竞赛数学杨涤尘杨涤尘 竞赛数学竞赛数学概述概述概述概述 竞赛数学竞赛数学1.直接直接证证法法:推理的每一步推理的每一步,都是从都是从题设题设条件或已推得的条件或已推得的的的结论结论出出发发,根据已知的定根据已知的定义义、公理、定理等、公理、定理等,运用推理运用推理规规则则,推出新的推出新的结论结论,直到命直到命题题所需的所需的结论为结论为止止.按照在证明中对论题的取舍不同，论证方法可分为直接证按照在证明中对论题的取舍不同，论证方法可分为直接证法和间接证法两种。法和间接证法两种。竞赛数学竞赛数学直接证法。直接证法。直接从所给的论题下手，利用论据直接从所给的论题下手，利用论据证明论题的正

2、确性进行推理。几何中多数命题是证明论题的正确性进行推理。几何中多数命题是采用这种方法证明的。采用这种方法证明的。竞赛数学竞赛数学 例例1 已知已知P,Q,R依次是依次是 ABC的外接的外接圆圆的的的的中点中点,PR交交AB于于D,PQ交交AC于于E.求求证证:DE=BD+CE.QPRABCDEI证证 由于由于所以所以 BAP=CAP.连连接接AR,AQ,和和DI,则则 DRI=CAI=DAI,故故A,R D,I四点共四点共圆圆.因此因此 DRI+AQP=180o.竞赛数学竞赛数学同理可同理可证证A,Q,E,I四点共四点共圆圆,所以所以 AIE+AQP=180o.而而 ARP+AQP=180o.

3、故故 AID+AIE=180o.所以所以D,I,E三点共三点共线线.又又 ADI=ARC=ABC.所以所以DE/BC.因此因此 ECI=ICB=EIC,DBI=IBC=DIB.从而从而BD=DI,CE=IE.故故DE=BD+CE.QPRABCDEI 竞赛数学竞赛数学间接证法实际就是间接证法实际就是由证明反论题的谬误而达到证实由证明反论题的谬误而达到证实论题的正确性论题的正确性。如果在推理过程中反论题被否定，。如果在推理过程中反论题被否定，那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中的间接证法主要有反证法、同一法两种。的间接证法主要有反证法、同一法两种

4、。2.间间接接证证法法:否定否定结论结论,即承即承认结论认结论的反面成立的反面成立,结结合合题设题设条件条件,进进行行逻辑逻辑推理推理,导导致与已知条件或与公理、定致与已知条件或与公理、定义义、定、定理相矛盾或前后矛盾的情形理相矛盾或前后矛盾的情形,从而从而间间接接证证明明结论结论成立成立.竞赛数学竞赛数学证：证：证：证：假设AD、BE被交点H互相平分则ABDE是平行四边形。AEBD，即ACBC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立.所以AD与BE不能被点H互相平分。（1）反证法）反证法 竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学“原命题真确，它的逆命题不一定真确，反之亦然

5、原命题真确，它的逆命题不一定真确，反之亦然”.一般而言，如果一个命题的条件和结论都是唯一一般而言，如果一个命题的条件和结论都是唯一的，即它们所指的概念的对象都是唯一的，那么这的，即它们所指的概念的对象都是唯一的，那么这个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同一法则。同一法则就是同一法的逻辑根据。一法则。同一法则就是同一法的逻辑根据。如果一个命题不易直接证明，而且它又符合同如果一个命题不易直接证明，而且它又符合同一法则，那么我们可以不去直接证明这个命题的正一法则，那么我们可以不去直接证明这个命题的正确性，而去证明它的逆命题的正确性，然后根据同确性，

6、而去证明它的逆命题的正确性，然后根据同一法则，肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法则，肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法。一法。（2）同一法）同一法 竞赛数学竞赛数学同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性质，而且这个命题又符合同一法则。用同一法则质，而且这个命题又符合同一法则。用同一法则证明题目时它的步骤是：证明题目时它的步骤是：作图：作出具有某种性质的图形；作图：作出具有某种性质的图形；证明：证明所作图形符合已知条件；证明：证明所作图形符合已知条件；判断：根据图形的唯一性，判断所作图形与判断：根据图形的唯一性，判断所作图形与已知图形重合

7、；已知图形重合；结论：肯定命题的结论正确。结论：肯定命题的结论正确。同一法均可改用反证法。同一法均可改用反证法。竞赛数学竞赛数学例例3 已知四边形已知四边形ABCD中中,ABD=ADB=15o,CBD=45o,CDB=30o,求证求证 ABC是正三角形是正三角形.DABCE图图5.1.3 证证 如图如图5.1.3,在射线在射线BC上截取上截取E,使使BE=BA,连连AE,DE,则则 ABC=15o+45o=60o,ABE是正三角形是正三角形,故故 BAE=60o,AE=AB,又因为又因为 BAD=180o-(15o+15o)=150o,AD=AB,竞赛数学竞赛数学故故 EAD=150o-60o

8、=90o,AD=AE,即即 AED是等腰直角三角形是等腰直角三角形,EDA=45o.但由已知但由已知,CDA=30o+15o=45o,且且DC、DE在在DA的同侧的同侧因而射线因而射线DC与与DE重合重合,它们与它们与BC的交点的交点C和和E也重合也重合.而而 ABE是正三角形是正三角形,故故 ABC也是正三角形也是正三角形.竞赛数学竞赛数学v 问问问问题题题题总总总总是是是是在在在在转转转转化化化化中中中中完完完完成成成成的的的的。解解解解题题题题常常常常常常常常是是是是将将将将陌陌陌陌生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。v

9、 主主主主要要要要的的的的形形形形式式式式表表表表现现现现为为为为：推推推推理理理理运运运运算算算算化化化化（几几几几何何何何关关关关系系系系转转转转变变变变为为为为代代代代数数数数关关关关系系系系，三三三三角角角角关关关关系系系系），几几几几何何何何关关关关系系系系的的的的转转转转化化化化（比比比比如如如如线线线线段段段段关关关关系系系系变变变变为为为为面面面面积积积积关关关关系系系系、边边边边的的的的关关关关系系系系转转转转化化化化角角角角的的的的关关关关系系系系），弱弱弱弱化化化化关关关关系系系系转转转转化化化化强强强强化化化化关关关关系系系系，一一一一般般般般关关关关系系系系转转转转化

10、化化化特特特特殊殊殊殊关关关关系系系系，正正正正面面面面关关关关系系系系转转转转化化化化为为为为反反反反面面面面关关关关系系系系，几几几几何何何何关关关关系转化为向量关系等。系转化为向量关系等。系转化为向量关系等。系转化为向量关系等。下面主要介绍：代数法与三角法下面主要介绍：代数法与三角法 竞赛数学竞赛数学例题选讲例题选讲例题选讲例题选讲分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。有两个根故 竞赛数学竞赛数学点点D,E,F,G,H,I都在都在三角形三角形三角形三角形ABCABC的

11、边上，的边上，的边上，的边上，S S1 1表示六边形表示六边形表示六边形表示六边形DEFGHI的面积，的面积，S2表示三角形表示三角形ABC的面积，的面积，求证：求证：竞赛数学竞赛数学ABCOGDIFEH只要证设同理 竞赛数学竞赛数学从而由柯西不等式，有即 竞赛数学竞赛数学例3GEDABCor 竞赛数学竞赛数学有些几何有些几何问题问题,由于由于题设题设条件与条件与结论结论中所涉及的中所涉及的 一些一些几何元素的位置关系分散几何元素的位置关系分散,不易找出不易找出题设题设条件与条件与结论结论的的联联系系.这时这时可根据可根据图图形的特点及形的特点及问题问题的需要的需要,将将图图形或其形或其部分施

12、行某种初等几何部分施行某种初等几何变换变换.以便把分散的条件集中起以便把分散的条件集中起来来,在施行在施行变换变换的的图图形中沟通形中沟通题设题设条件与条件与结论结论的关系的关系.竞赛数学竞赛数学 1.平移平移变换变换 竞赛数学竞赛数学例1 “风平三角形”中，AA=BB=CC=2，AOB=BOC=60。如图求证：AOB+BOC+COA 。竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学例例2 已知已知 ABC的面积为的面积为S,D,E,F分别为分别为BC,CA,AB边边上的点上的点,且且求以求以AD,BE,CF为边的三角形面积为边的三角形面积S.FABCEDGA 竞赛数学竞赛数学解解 如如图图,将将AD作为

13、以作为以FABCEDGA 则则ADCA 为平行四边形为平行四边形.连连A F,A E,并设并设A E的延长线交的延长线交BC为平移向量的平移变换至为平移向量的平移变换至A C,于于G,则则故故 CG=BD,从而从而BG=DC=AA,即四边形即四边形ABGA 也是平行也是平行四边形四边形,有有ABA G,因而由于已知因而由于已知已知已知所以所以 竞赛数学竞赛数学由更比定理由更比定理又又FABCEDGA 故更比定理有故更比定理有 故故 竞赛数学竞赛数学所以所以GE=AF,从而从而A E=BF,于是于是 A E/BF,且且 A E=BF.即四边形即四边形BE A F也是平行四边形也是平行四边形,BE

14、=A F,因而因而 A CF是以是以AD,BE,CF的长为边的三角形的长为边的三角形.设设 ABC的边的边BC的的高为高为h,则则即即FABCEDGA h 竞赛数学竞赛数学所以所以FABCEDGA h 竞赛数学竞赛数学FABCEDGA Hx由于由于所以所以所以所以 竞赛数学竞赛数学故故 竞赛数学竞赛数学例 3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。竞赛数学竞赛数学1.定义 设是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X，使得OX=OX，且XOX=，则R叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为XX，图形FF

15、 。其中0时，为逆时针方向。2.主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。2.2.旋转变换旋转变换 竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学 例例3 3 如如图图(1),ABC和和 ADE是两个不全等的等腰直角是两个不全等的等腰直角三角形三角形现现在固定在固定 ABC,而将而将 ADE绕绕A点在平面上旋点在平面上旋转转,试证试证:不不论论 ADE旋旋转转到什么到什么使使 BMD为为等腰直角三角形等腰直角三角形.EABCD位置位置,线线段段EC上必存在点上必存在点M,使使图图(1)竞赛数学竞赛数学EABCDMB 竞赛数学竞赛数学证证明明 如如图图(2)所示所示,

16、将将 DABEABCDMB 图图(2)作以作以D为为旋旋转转中心中心,90o为为旋旋转转角角顺时钟顺时钟方向旋方向旋转转至至 DEB 则则由旋由旋转变换转变换的性的性质质,AB EB 且且AB=EB,但但AB BC且且AB=BC故故BC/EB 且且BC=EB.竞赛数学竞赛数学连连BE,CB,则则BE B C是平行四是平行四边边形形,设设EC的中点的中点为为M,则则BB ,EC互相平分于互相平分于M.又又 DB DB ,故故DM BM,为为等腰直角三角形等腰直角三角形.EABCDMB 且且DM=BM,所以所以 BMD 竞赛数学竞赛数学2.2.对称变换对称变换 竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学