第三章、网络的状态变量分析法ppt课件.ppt

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1、从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。第三章第三章 网络的状态变量分析法网络的状态变量分析法 3-1 3-1 概述概述3-23-2 简单网络状态方程的直观列写法简单网络状态方程的直观列写法3-33-3 网络状态方程的系统列写法网络状态方程的系统列写法3-43-4 状态方程的时域求解法状态方程的时域求解法3-53-5 状态方程的频域求解法状态方程的频域求解法3-63-6 计算机辅助分析计算机辅助分析 3-1 3-1 概述概述 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用

2、情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。状状态态：是是指指在在某某给给定定时时刻刻网网络络所所必必须须具具备备的的最最少少信信息息量量。他他们们和和从从该该时时刻刻开开始始的的任任一一输输入入一一起起足足以以完完全全确确定定今今后后该该网络在任何时刻的性状。网络在任何时刻的性状。状状态态变变量量：是是网网络络的的一一组组独独立立的的动动态态变变量量，他他们们在在任任何何时时刻刻的的值值就就组组成成了了该该时时刻刻网网络络的的状状态态。这这样样一一组组最最少少数数目目的的变变量量，用用矩矩阵阵列列向向量量

3、来来表表示示就就称称为为状状态态向向量量，简简称称状状态态。状状态态向向量量的一个分量就是状态变量。的一个分量就是状态变量。线性电路中，线性电路中，电容上的电压电容上的电压 和和电感中的电流电感中的电流 是网络的状是网络的状态变量。态变量。非线性电路中，非线性电路中，电容上的电荷电容上的电荷 和和电感中的磁链电感中的磁链 是网络是网络的状态变量。的状态变量。以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络的的状态方程状态方程。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已

4、很少使用，在此不再说明。状态方程状态方程 状态方程的矩阵形式状态方程的矩阵形式从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。状态方程的标准形式状态方程的标准形式 令令 则有则有，如果再令如果再令 则有则有x 称为状态向量，称为状态向量，v 称为输入向量。称为输入向量。和和x是是n阶列向量，阶列向量，A为为n n阶方阵，阶方阵，B为为n m阶矩阵，阶矩阵，v为为m阶列向量。阶列向量。状态方程的阶数称为网络的状态方程的阶数称为网络的复杂性阶数复杂性阶数。当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路和仅当

5、网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路和仅由电感支路和电流源支路构成的割集时，其复杂性阶数就等由电感支路和电流源支路构成的割集时，其复杂性阶数就等于储能元件的总数。于储能元件的总数。3-2 3-2 简单网络状态方程简单网络状态方程 的直观列写法的直观列写法 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。直直观观列列写写法法：根根据据KCL、KVL直直接接列列写写出出节节点点或或割割集集的的电电流方程和回路的电压方程，然后整理成状态

6、方程的方法。流方程和回路的电压方程，然后整理成状态方程的方法。例例31 试用直观法列写图示电路的状态方程试用直观法列写图示电路的状态方程。解解对节点对节点1 1和节点和节点2 2分别列写分别列写KCL方程方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。对回路对回路 l1列写列写KVL方程方程 将方程中的非状态变量将方程中的非状态变量 、用状态变量和已知量表示用状态变量和已知量表示 将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理即得状态方程将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理即得状态方程 从使用情况来看，

7、闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。写成矩阵形式为写成矩阵形式为直观列写法的基本步骤：直观列写法的基本步骤：（1 1）对含有电容支路的节点或割集列写）对含有电容支路的节点或割集列写KCL方程；方程；（2 2）对含有电感支路的回路列写）对含有电感支路的回路列写KVL方程；方程；（3 3）将非状态变量用状态变量和已知量表示；）将非状态变量用状态变量和已知量表示；（4 4）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。假设网络中没有纯电容和电压源组成的回路以及纯电感和电流假设

8、网络中没有纯电容和电压源组成的回路以及纯电感和电流源组成的节点或割集。源组成的节点或割集。3-3 3-3 状态方程的状态方程的 系统列写法系统列写法 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。特特有有树树(proper proper tree)tree)：树树支支包包含含了了网网络络中中所所有有的的电电压压源源支支路路和和电电容容支支路路，而而其其连连支支则则包包含含了了网网络络中中的的所所有有电电流流源源支路和电感支路。支路和电感支

9、路。选择了特有树后，对单电容树支割集，即基本割集列写选择了特有树后，对单电容树支割集，即基本割集列写KCL方程，对单连支回路，即基本回路列写方程，对单连支回路，即基本回路列写KVL方程，如方程，如果方程中有非状态变量，则消去之，最后整理并写成标准果方程中有非状态变量，则消去之，最后整理并写成标准形式即可。形式即可。当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路（简称（简称CUs回路）和仅由电感支路和电流源支路构成的割回路）和仅由电感支路和电流源支路构成的割集（简称集（简称LIs割集）时，特有树总是存在的。割集）时，特有树总是存在的。注注意意：此

10、此时时不不采采用用复复合合支支路路的的概概念念，而而是是以以网网络络中中的的每每个个元元件作为一条支路。件作为一条支路。状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例3 32 2 试列写出图示网络的其状态方程。试列写出图示网络的其状态方程。解解 画出有向图，给各支路编号，选择特有树如图中实线所示。画出有向图，给各支路编号，选择特有树如图中实线所示。对由树支对由树支2 2、3 3、4 4确定的基本割集列写确定的基本割集列写KCL方程如下：方程如下：状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式

11、的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。对由连支对由连支7 7、8 8确定的基本回路列写确定的基本回路列写KVL方程如下：方程如下：将方程中的非状态变量将方程中的非状态变量 、用状态变量和已知量表示用状态变量和已知量表示 状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。将此二式代入上面的相应方程中，并进行整理得：将此二式代入上面的相应方程中，并进行整理得：状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式

12、盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。写成矩阵形式为写成矩阵形式为状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。直观列写法的基本步骤：直观列写法的基本步骤：（1 1）画画出出网网络络的的有有向向图图，对对支支路路进进行行编编号号，并并选选定定一一颗颗特特有有树树，使使其其包包含含网网络络中中的的所所有有电电压压源源和和电电容容，而而不不包包含含任任何何电电流流源源和和电感；电感；（2 2）以特有树的电容树支电压和电感连支电流为状态变

13、量；）以特有树的电容树支电压和电感连支电流为状态变量；（3 3）对单电容树支割集列写）对单电容树支割集列写KCL方程；方程；（4 4）对单电感连支回路列写）对单电感连支回路列写KVL方程；方程；（5 5）将非状态变量用状态变量和已知量表示；）将非状态变量用状态变量和已知量表示；（6 6）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。当网络中含有仅由电容和电压源组成的回路和（或）仅由电感当网络中含有仅由电

14、容和电压源组成的回路和（或）仅由电感和电流源组成的割集时，又该如何建立网络的状态方程呢？和电流源组成的割集时，又该如何建立网络的状态方程呢？特有树包含特有树包含：（：（1 1）全部独立电压源；（）全部独立电压源；（2 2）尽可能多的电容；）尽可能多的电容；（3 3）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。还可能包含电阻）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。还可能包含电阻（或电导）支路。（或电导）支路。复杂性阶数为：复杂性阶数为：复杂性阶数或独立状态变量数；：复杂性阶数或独立状态变量数；：电感和电容元件的总数；：电感和电容元件的总数；：独立：独立CUs回路数；回路数；：独立：独立LIs割集数。割集数

15、。状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。按照先树支后连支的顺序写出基本割集矩阵和基本回路矩阵，按照先树支后连支的顺序写出基本割集矩阵和基本回路矩阵，元件类型的安排顺序为：对树支支路是电压源、电容、电阻元件类型的安排顺序为：对树支支路是电压源、电容、电阻（和电导）、电感，对连支支路是电流源、电感、电阻（或电（和电导）、电感，对连支支路是电流源、电感、电阻（或电导）、电容，即：导）、电容，即：下标下标t 表示树支，表示树支，l 表示连支。表示连支。状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸

16、式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。如果网络中有电容和电压源构成的回路，则必定有一个电容支如果网络中有电容和电压源构成的回路，则必定有一个电容支路作为连支，而其余的电容均为树支。因此，在以此电容作为路作为连支，而其余的电容均为树支。因此，在以此电容作为连支的基本回路中不会有电阻（或电导）和电感，所以，连支的基本回路中不会有电阻（或电导）和电感，所以，和和 均为零矩阵。同样，如果网络中有电感和电流源构成的割集，均为零矩阵。同样，如果网络中有电感和电流源构成的割集，则必定有一个电感支路作为树支，而其余的电感均为连支。

17、因则必定有一个电感支路作为树支，而其余的电感均为连支。因此，在以此电感作为树支的基本割集中不会有电阻（或电导）此，在以此电感作为树支的基本割集中不会有电阻（或电导）和电容，所以，和电容，所以，和和 均为零矩阵。根据均为零矩阵。根据 和和 的关系可的关系可知，知，和和 也为零矩阵。也为零矩阵。支路电压和支路电流列向量分别为：支路电压和支路电流列向量分别为：状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。各元件的各元件的VCR为：为：或或 或或 电感之间无耦合时电感之间无耦合时 ，状态方程状态

18、方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。将非状态变量用状态变量和已知量表示，最终整理可得将非状态变量用状态变量和已知量表示，最终整理可得为：为：状态方程状态方程从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。输出方程输出方程输出方程输出方程 ：以待求量（也称为输出量）为变量列出的方程。：以待求量（也称为输出量）为变量列出的方程。通常表示为状态变量和输入激励的线性组合。通常表示为状态变量和输入激励的线性组合

19、。输出方程的一般形式为：输出方程的一般形式为：例例3 32 2续续 求以节点求以节点1 1、2 2、3 3、4 4的电压作为输出的输出方程。的电压作为输出的输出方程。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。输出方程输出方程写成标准形式为：写成标准形式为：3-4 3-4 状态方程的时域解状态方程的时域解 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再

20、说明。一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解 一阶微分方程解的一般表达式一阶微分方程解的一般表达式 零零输输入入响响应应 零零状状态态响响应应 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。一阶微分方程组的求解一阶微分方程组的求解 零零输输入入响响应应 零零状状态态响响应应 称为称为状态转移矩阵状态转移矩阵()()从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。的求解方法的求解方法 1 1 拉氏变换法拉氏变换法状态方

21、程状态方程 对应的齐次方程的拉氏变换式为：对应的齐次方程的拉氏变换式为：方程的通解（零输入响应）方程的通解（零输入响应）从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例3 34 4求求 的的 。解解 的求解方法的求解方法 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2 2 有限级数法有限级数法 的求解方法的求解方法 状态方程状态方程 对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：对于对于n 阶方程则

22、有：阶方程则有：其特征根为其特征根为 ，。根据凯莱哈密顿定理可知根据凯莱哈密顿定理可知 矩阵矩阵 可以用矩阵可以用矩阵A的的(n-1)1)阶多项式来表示。阶多项式来表示。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。所以有所以有 的求解方法的求解方法 进而有进而有系数系数 ，是时间是时间t 的函数。的函数。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。的求解方法的求解方法 系数系数 的确定的确定矩阵矩阵A满足如下

23、矩阵方程满足如下矩阵方程 设设 为为矩阵矩阵A的特征值，则的特征值，则 当当 ，为为A的的n 个不同特征值时，有个不同特征值时，有 解上述方程求出解上述方程求出 ，进而求出，进而求出 。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例3 35 5求求 的的 。解解 的求解方法的求解方法 由由 得：得：解得解得 所以所以 ，解得解得 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有重根的情况有重根的情况 的求解方

24、法的求解方法 设矩阵设矩阵A的特征根中有一二重根，的特征根中有一二重根，则此时确定系数的，则此时确定系数的n个方程为：个方程为：从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。的求解方法的求解方法 有有m重根时：重根时：从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。的求解方法的求解方法 例例3 36 6求求 的的 。解解由由 得：得：解得解得 是一二重根是一二重根 所以所以 解得解得 3-5 3-5 状态方程的频域

25、解状态方程的频域解 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。状态方程状态方程 两边进行拉氏变换得：两边进行拉氏变换得：状态方程的频域解状态方程的频域解状态方程的时域解为状态方程的时域解为零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例3 37 7已知网络的状态方程为已知网络的状态方程为 ，解解初始

26、状态向量为初始状态向量为 ，试求该状态方程的解。试求该状态方程的解。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。零输入解为：零输入解为：从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。的求解方法的求解方法 状态方程的全解为：状态方程的全解为：零状态解为：零状态解为：3-3-6 6 计算机辅助分析计算机辅助分析 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。

27、敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。借借助助计计算算机机对对动动态态电电路路进进行行时时域域分分析析将将使使计计算算的的工工作作量量大大大减少，并提高计算的准确度。大减少，并提高计算的准确度。基本思想基本思想首首先先输输入入电电路路的的拓拓扑扑信信息息和和元元件件类类型型及及参参数数值值，据据此此通通过过编编程程使使计计算算机机自自动动生生成成所所需需要要的的矩矩阵阵和和电电路路的的状状态态方方程程，随后进行求解，并输出状态变量的值。随后进行求解，并输出状态变量的值。电路的拓扑信息电路的拓扑信息包括节点数、支路数。包括节点数、支路

28、数。以以一一个个元元件件作作为为一一条条支支路路，形形成成关关联联矩矩阵阵、割割集集矩矩阵阵及及状状态方程的系数矩阵。态方程的系数矩阵。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。动态电路时域分析流程图动态电路时域分析流程图 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。关键是找到一棵特有树，并由此形成割集矩阵。关键是找到一棵特有树，并由此形成割集矩阵。特有树要包含：（特有树要包含：（1 1）全部独立电压源；（）全部独立电压源；（2 2）尽可能多的）尽可能多的电容；（电容；（3 3）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。生成特有树的算法流程框图生成特有树的算法流程框图