面授高等数学.pptx

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1、极极 限限极限存在的充要条件极限存在的充要条件:左极限左极限 :右极限右极限 :第一章第一章 极限和连续极限和连续第1页/共64页常用的等价无穷小常用的等价无穷小 第一章第一章 极限和连续极限和连续第2页/共64页 两个重要极限 或或第一章第一章 极限和连续极限和连续第3页/共64页连连 续续f(x)在点在点 x0处连续的三要素：处连续的三要素：第一章第一章 极限和连续极限和连续第4页/共64页 单侧连续左连续；左连续；右连续右连续.定理定理第一章第一章 极限和连续极限和连续第5页/共64页函数的间断点如果上述三个条件中如果上述三个条件中有一个不满足有一个不满足，则称，则称 f(x)在在点点x

2、 x0 0 处不连续处不连续(或间断或间断)，并称点，并称点x x0 0为为 f(x)的不连的不连续点续点第一章第一章 极限和连续极限和连续第6页/共64页练 习A.3 B.2 C.1 D.0CC第7页/共64页A.0 B.1 C.2 D.3DD第8页/共64页 设设 ，则，则a的值是（的值是（）.A.B.1 C.5 D.7DD第9页/共64页 .第二个重要第二个重要极限极限第10页/共64页第11页/共64页 设函数设函数 在在x=0处连处连续，求常数续，求常数a的值的值.解：左极限解：左极限解：左极限解：左极限右极限右极限右极限右极限第12页/共64页 设函数设函数 ，在点，在点x=0处的

3、极限存在，则处的极限存在，则a=_.解：左极限解：左极限右极限右极限因为极限存在，所以左极限等于右极限因为极限存在，所以左极限等于右极限第13页/共64页第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 导数与微分导数与微分 洛必达法则洛必达法则 导数的应用导数的应用第14页/共64页右导数右导数左导数左导数可导的充要条件可导的充要条件定理定理 可导可导连续连续第15页/共64页求导公式求导公式第16页/共64页 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(C为常数为常数)隐函数求导法则隐函数求导法则两边对两边对 x 求导求导第17页/共64页 导数的几何意义导数的几何意义 第18

4、页/共64页 设设 ，则，则 =（）.A.sinx B.x C.x+cosx D.1+cosx解：由导数的基本公式及四则运算法则，有解：由导数的基本公式及四则运算法则，有DD第19页/共64页 设函数设函数 ，则，则 =_.第20页/共64页 设设 ，则，则 =_.第21页/共64页第22页/共64页 曲线曲线 在点（在点（0,1）处的切线斜率）处的切线斜率k=_.第23页/共64页 曲线曲线 在点（在点（1,2）处的切线方）处的切线方程为程为y=_.第24页/共64页微微 分分 定理定理 函数函数在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是且当且当f(x)在点在点时时,其微分一定是其微分一定是

5、处可微处可微第25页/共64页基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式第26页/共64页设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)函数函数的和、差、积、商的微分法则的和、差、积、商的微分法则第27页/共64页第28页/共64页解：解：所以所以 第29页/共64页洛必达法则洛必达法则二、二、型未定式型未定式一、一、型未定式型未定式第30页/共64页型未定式的洛比达法则型未定式的洛比达法则存在存在(或为或为 )法则法则1 设函数设函数f(x)和和F(x)满足条件：满足条件：(洛必达法则洛必达法则)一、一、第31页/共64页 计算计算 解：由洛比达法则，得解：由洛比达法则，得

6、第32页/共64页：（洛比达法则）（洛比达法则）第33页/共64页求求解解 原式原式?不是未定式不是未定式不能用洛必不能用洛必达法则达法则 !注注 在连续使用洛比达法则时，在连续使用洛比达法则时，每次使用每次使用前都要检验极限是否为未定式，否则可能前都要检验极限是否为未定式，否则可能导致错误导致错误.第34页/共64页型未定式的洛比达法则型未定式的洛比达法则存在存在(或为或为 )法则法则2 设函数设函数f(x)和和F(x)满足条件：满足条件：(洛必达法则洛必达法则)二、第35页/共64页A.B.0 C.D.1CC第36页/共64页求极限常用的方法求极限常用的方法(2)利用极限的四则运算法则求极

7、限。利用极限的四则运算法则求极限。第37页/共64页（3）对于分式的极限，若）对于分式的极限，若分母的极限为零分母的极限为零，而，而分子的分子的极限不为零极限不为零，则利用无穷小量与无穷大量的关系，可知，则利用无穷小量与无穷大量的关系，可知所求分式的所求分式的极限为极限为（4）对于分式的极限，若分子与分母的极限都为零，则）对于分式的极限，若分子与分母的极限都为零，则可考虑进行可考虑进行恒等式变形恒等式变形，然后消去分子与分母中的公因子，然后消去分子与分母中的公因子，化为（化为（2）或（）或（3）。或用）。或用洛必达法则洛必达法则求解。求解。（5）利用下列公式求极限）利用下列公式求极限第38页/

8、共64页导数的应用导数的应用1.利用导数判定函数利用导数判定函数f(x)的单调性的单调性2.利用导数判定函数利用导数判定函数f(x)的极值的极值3.利用导数求连续函数利用导数求连续函数f(x)在区间在区间a,b上的最上的最大值与最小值。大值与最小值。4.利用导数判定曲线利用导数判定曲线y=f(x)的凹凸性与拐点。的凹凸性与拐点。5.证明不等式证明不等式第39页/共64页可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上上单调递增单调递增在在 I 上上单调递减单调递减第40页/共64页 下列函数在区间（下列函数在区间（0，+）内单调）内单调减少的是（减少的是（）.A.B.C.D.DD第41页/共6

9、4页 .y第42页/共64页 已知函数已知函数f（x）在区间）在区间 单调增单调增 加，加，则使则使f（x）f（2）成立的）成立的x的取值范围是（的取值范围是（）.A.B.C.D.A A第43页/共64页驻 点第44页/共64页1.极值的定义极值的定义定义定义:在其中当在其中当时时,(1)则称则称 为为 的的极大点极大点,称称 为函数的为函数的极大值极大值;(2)则称则称 为为 的的极小点极小点,称称 为函数的为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点.函数的极值函数的极值第45页/共64页利用导数判定函数利用导数判定函数f(x)极值的通常步骤极值的通常步骤(1

10、)求出求出f(x)的定义域；的定义域；(2)求出求出f(x)=0，求出，求出f(x)的所有驻点，并求出定的所有驻点，并求出定义域内义域内f(x)不可导的点。不可导的点。(3)若若f(x)在上述点的某邻域内可导，可以利用极在上述点的某邻域内可导，可以利用极值的值的第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件判定上述点是否为极值点；判定上述点是否为极值点；(4)若在若在f(x)的驻点处，的驻点处，f(x)二阶可导，且二阶导数二阶可导，且二阶导数易求，则可以利用极值的易求，则可以利用极值的第二充分条件第二充分条件第二充分条件第二充分条件判定驻点判定驻点是否为极值点。是否为极值点。第46页/共64

11、页1、极值第一判别法、极值第一判别法且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,2、极值第二判别法、极值第二判别法二阶导数二阶导数,且且则则 在点在点 取极大值取极大值;则则 在点在点 取极小值取极小值.第47页/共64页 设函数设函数 ，求求 的极大值的极大值.解：由解：由极值第一判定法极值第一判定法极值第一判定法极值第一判定法求解求解第48页/共64页由由极值第二判定法极值第二判定法求解求解第49页/共64页利用导数求连续函数利用导数求连续函数f(x)在区间在区间a,b上的上的最大值与最小值的步骤：最大值与最小值的步骤：对应用问题对应用

12、问题 ,有时可根据实际意义判别求出的有时可根据实际意义判别求出的第50页/共64页在半径为在半径为R的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示）径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示）.当矩形的当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？解：如图，设解：如图，设解：如图，设解：如图，设x x轴通过半圆的轴通过半圆的轴通过半圆的轴通过半圆的直径直径直径直径 ，y y轴垂直且平分直径轴垂直且平分直径轴垂直且平分直径轴垂直且平分直径.XYOADBCR第51页/共64页定义定义.设函数设

13、函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹凹的的;(2)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凸凸的的.曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点第52页/共64页凹凸判定法：凹凸判定法：(1)在在 I 内内则则 f(x)在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;(2)在在 I 内内则则 f(x)在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.设函数设函数在区间在区间I 上有上有二阶导数二阶导数二阶导数二阶导数z z第53页/共64页拐拐 点点曲线凹与凸的分解点，称曲线凹与凸的分解点，称为曲线的拐点。为曲线的拐点。第54页/共64页求连续曲线的求连续曲线的拐点拐点步骤如下：步骤如下：（1）求出

14、函数）求出函数f(x)的的f(x)=0或或f(x)不存在的点。不存在的点。（2）再求出点的左、右领域，若）再求出点的左、右领域，若f(x)异号异号，则则该点就是该点就是拐点拐点，否则，就不是拐点。，否则，就不是拐点。第55页/共64页 曲线曲线 的拐点坐标为的拐点坐标为_.第56页/共64页 求函数求函数 的单调区间、的单调区间、极值和曲线极值和曲线 的凹凸区间的凹凸区间.解：函数的定义域为解：函数的定义域为解：函数的定义域为解：函数的定义域为第57页/共64页-202 +0-0 +-0 +-+为极为极为极为极大值大值大值大值为极为极为极为极小值小值小值小值第58页/共64页曲线的渐近线曲线的

15、渐近线垂直渐近线垂直渐近线 水平渐近线水平渐近线第59页/共64页综综 合合 题题 设曲线设曲线 在点在点x=1处取得极处取得极小值小值-1，且点（，且点（0，1）为曲线的拐点，求常）为曲线的拐点，求常数数a、b、c.解：由解：由 由在点由在点x=1处取得极值，处取得极值，第60页/共64页 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解：解：1）定义域）定义域x-1=3）令）令 =0，得出，得出x=0（注意（注意x=-1这这一点也应该作为我们考虑单调区间的点）一点也应该作为我们考虑单调区间的点）第61页/共64页x-10_无意义无意义_0+y无意义无意义F(0)=1为极为极小值小值故函数在故函数在故函数在故函数在 区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递减，在 区间内单调递增。区间内单调递增。区间内单调递增。区间内单调递增。该函数在该函数在该函数在该函数在x=0 x=0处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为1 1。第62页/共64页第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页