静电场边值问题.pptx

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1、5.3 一维场直接积分例1.求同轴线中的电场分布，已知内半径a外半径b，内导体电位U，外导体为0。在柱坐标系下，柱对称下拉普拉斯方程r r 0 0代入边界条件代入边界条件:r=ar=a时时y=y=UU，r=br=b时时y y=0=0，C C1 1=?,=?,C C2 2=?=?第1页/共45页得：则：（柱坐标下）第2页/共45页例 2已知：导体球，半径a，球体电位U。求：球外的电位？分析：球对称球坐标系下，电位只与半径有关则：则：直接积分得：直接积分得：第3页/共45页利用边界条件确定两个待定常数利用边界条件确定两个待定常数r=ar=a时时y=y=UU，r=r=时时y y=0=0，得，得C C

2、1 1,C C2 2第4页/共45页例3.同轴电缆，填充两种介质，内导体电位为U,外导体接地。求电位。由于对称性，电位与j、z座标无关，仅与r相关柱座标系下拉氏方程第5页/共45页解得：利用边界条件：根据以上条件求出系数就得到介质中电位。第6页/共45页内容主要包括:二维拉氏方程直角坐标系下柱坐标系下未包括：二维球坐标系下拉氏方程三维Laplace方程求解泊松方程（非齐次方程）求解5.4 分离变量法求解拉氏方程第7页/共45页分离变量法的主要思想将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量和参数的常微分方程；运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求

3、解的方程；利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；最后将这些通解“组装”起来。第8页/共45页笛卡儿坐标系中分离变量法求解令：两边同时除以：第9页/共45页三项中每一项必须是常数！三项中每一项必须是常数！令：第10页/共45页的求解1.如果(k为正实数)2.如果3.如果(k k为正实数为正实数)第11页/共45页确定Y和Z通解的步骤类似最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起最后代入边界条件确定待定常数第12页/共45页P108页电势满足方程：分离变量得：第13页/共45页解得：第14页/共45页腔内电势解由二维傅里叶变换得第15页/共45页一、求解矩形区域的Lapla

4、ce方程微波导和光波导器件的 横截面常是矩形,其中的电磁场模式多是横电波或横磁波,即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化;此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。第16页/共45页举例.如图的波导中求解电位第17页/共45页求解求解求解求解v v(x,yx,y)设解为：设解为：代入上面关于代入上面关于v v的方程得：的方程得：先求解哪一个？先求解哪一个？与齐次边界有关的那个。与齐次边界有关的那个。第18页/共45页 本征函数为：本征值为：将本征值将本征值l ln n代入代入 Y Y 的方程，可得通解：的方程，可得通解：于是由叠加原理得到v的通

5、解为：第19页/共45页将另一对边界条件代入方程的通解得：将另一对边界条件代入方程的通解得：上两式实际上是上两式实际上是u u0 0和和UU0 0展开后的正弦级数展开后的正弦级数,于是于是联立上两式可得联立上两式可得A An n和和B Bn n,从而原方程的解得以确定。从而原方程的解得以确定。第20页/共45页上题中边界处的上题中边界处的电位分布电位分布探讨一下边界处分布函数的形状：探讨一下边界处分布函数的形状：第21页/共45页求解步骤正确写出方程和边界条件；在齐次化边界条件下利用分离变量法求解；利用齐次边界条件求特征值、特征函数；写出通解形式代入边界，求待定系数。第22页/共45页二、求解

6、柱坐标系下的Laplace方程此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化；第23页/共45页求解柱坐标系下的Laplace方程电位只与 r 有关电位只与 r、z 有关电位只与 r、j 有关第24页/共45页只与 r、z 有关的Laplace方程 当当=0=0时：时：当当 00时：时：若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件,则则 m m不可能不可能0.0.求解圆柱内部问题

7、求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线包含圆柱轴线r r=0)=0)时时,为了满足自然边为了满足自然边界条件界条件,NNn n(.)项应舍去项应舍去.第25页/共45页 当当m m 00时：时：R R(r r)没有实的零点没有实的零点,如果要求如果要求 u u 在圆柱侧面在圆柱侧面r r=a a 满足齐次满足齐次边界条件，则应排除边界条件，则应排除 00的可能。的可能。求解圆柱内部问题求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线包含圆柱轴线r r=0)=0)时时,为了满足自然边为了满足自然边界条件界条件,K Kn n(.)项应舍去项应舍去.第26页/共45页一般解为：1)如果考虑圆内问题则其解为2)如果考虑圆外问题

8、则其解为3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。3.电位只与 r、j j 有关第27页/共45页3.球坐标系下与j j无关时（轴对称情况）球内电位取有限值（球内电位取有限值（r=0r=0电位有限）电位有限）球外电位取有限值（球外电位取有限值（r r取无穷大电位有限）取无穷大电位有限）第28页/共45页例1.解题时首先看能否化简已知：已知：很长很长的同轴电缆，内导体半径为的同轴电缆，内导体半径为a,a,维持电位维持电位V V0 0，外导体半径为，外导体半径为b b，接地。，接地。求：导体区域内的电位分布？求：导体区域内的电位分布？分析：柱座标，电位对称，仅与分析：柱座标

9、，电位对称，仅与r r有关有关第29页/共45页例2.书p136例5.6第30页/共45页三.球坐标系下的二维Laplace方程自学内容第31页/共45页什么是“镜像法”？用适当的用适当的镜像电荷镜像电荷(Image-ChargesImage-Charges)代替边界代替边界，求解电位分布的方法。求解电位分布的方法。“镜像法镜像法”的依据的依据“唯一性定理唯一性定理”Uniqueness TheoremUniqueness Theorem“镜像法镜像法”思路思路用假想的用假想的镜像电荷镜像电荷代替边界上的代替边界上的感应电荷感应电荷保持求解区域中场方程和边界条件不变保持求解区域中场方程和边界条

10、件不变 “镜像法镜像法”使用范围：使用范围：界面界面几何形状较规范，几何形状较规范，电荷个数电荷个数有限，或分布形式简单有限，或分布形式简单5.5 镜像法Method of ImagesMethod of Images第32页/共45页(1)(1)将导体移走将导体移走,在在“对称对称”点处放置一个点处放置一个“像像”电荷电荷q*q*第一类镜像法：平面镜像(2)(2)仍然要满足仍然要满足“导体板导体板”存在时的条件存在时的条件,q*q*？q*q第33页/共45页边界条件：边界条件：对称性：对称性：拉氏方程拉氏方程q*q*q q“像点”q*：满足“导体板”存在时的条件满足！满足！满足！满足！满足！

11、满足！由唯一性定理知由唯一性定理知第34页/共45页第35页/共45页第二类镜像法：柱面镜像像？像？线电荷线电荷“电轴电轴”位置？位置？柱内、与线电荷平行柱内、与线电荷平行分布？分布？密度设为密度设为p*p*第36页/共45页假设：假设：导体圆柱面上任一点导体圆柱面上任一点MM第37页/共45页因为导体是等位体因为导体是等位体若若“三角形相似三角形相似”第38页/共45页思考：复杂的第2类镜像问题已知：两根无限长平行圆柱，半径为已知：两根无限长平行圆柱，半径为a a、b b，轴心距离，轴心距离d d求：两柱间单位长度上的电容求：两柱间单位长度上的电容请参考：书请参考：书P158 P158 例例5.135.13第39页/共45页第三类镜像法：球面镜像例如：一个点电荷，位于接地导体球旁边，球半径为例如：一个点电荷，位于接地导体球旁边，球半径为a a求：该电荷受到的静电力求：该电荷受到的静电力?第40页/共45页导体球上任一点导体球上任一点MM第41页/共45页电介质中的镜像第42页/共45页分界面上切向电场连续分界面上切向电场连续,且一般情况下法向电位移连续且一般情况下法向电位移连续:第43页/共45页结论：第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页