《概率论与数理统计》第15讲.ppt

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1、例例1 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个婴儿中中“男孩男孩”的个数的个数.贝努里概型贝努里概型和和二项分布二项分布一、一、我们来求我们来求X的概率分布的概率分布.X的概率函数是：的概率函数是：男男 女女X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例2 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次，次，令令X 表示表示3 3次中出现次中出现“4 4”点的次数点的次数X的概

2、率函数是：的概率函数是：不难求得，不难求得，掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”一般地，一般地，设在一次试验中我们只考虑两个设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：互逆的结果：A或或 ，或者形象地把两个互逆或者形象地把两个互逆结果叫做结果叫做“成功成功”和和“失败失败”.”.新生儿：新生儿：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”这样的这样的n次独立重复试验称作次独立重复试验称作n重贝努里重贝努里试验，简称贝努里试验或试验，简称贝努里试验或贝努里概型贝努里概型.再设我们重复地进行再设我们重复地进行n次独立试验次独立试

3、验(“(“重重复复”是指这次试验中各次试验条件相同是指这次试验中各次试验条件相同)，每次试验成功的概率都是每次试验成功的概率都是p，失败的概率失败的概率都是都是q=1-=1-p.用用X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A（成功成功）出现的次数，则出现的次数，则（2）不难验证：不难验证：（1）称称r.vr.vX服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)当当n=1时，时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称称X服从两点分布服从两点分布例例3 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次

4、，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则 X B(3,0.05)，注：若注：若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放回无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概

5、型求解里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？古典概型与贝努里概型不同，有何区别？请思考：请思考：贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，且且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.可以简单地说，可以简单地说，例例4 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在100

6、0小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率.解解:设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏坏的灯泡数的灯泡数.X B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为视为“成功成功”.每次试验每次试验,“成功成功”的概率为的概率为0.8 P(X 1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104 对于固定对于固定n及及p，当当k增增加时加时,概率概率P(X=

7、k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最达到最大值；大值；(x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数)n=10,p=0.7nPk 对于固定对于固定n及及p，当当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)

8、在在k=(n+1)p和和k=(n+1)p-1处处达到最大达到最大值值.课下请自行证明上述结论课下请自行证明上述结论.n=13,p=0.5Pkn0 想观看二项分布的图形随参数想观看二项分布的图形随参数n,p的的具体变化，请看演示具体变化，请看演示二项分布二项分布二、二项分布的泊松近似二、二项分布的泊松近似 当试验次数当试验次数n很大时，计算二项概率变很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例得很麻烦，如教材例4中，要计算中，要计算 我们先来介绍我们先来介绍二项分布的泊松近似，二项分布的泊松近似，后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似正态近似.或诸如此类的计

9、算问题，必须寻求近似方法或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.证明见教材证明见教材.定定理理的的条条件件意意味味着着当当 n很很大大时时，pn 必必定定很很小小.因因此此，泊泊松松定定理理表表明明，当当 n 很很大大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：泊松定理泊松定理设设 是一个正整数，是一个正整数，则有，则有其中其中 n 100,np 10 时近似效果就很好时近似效果就很好 请看演示请看演示二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似实际计算中，实际计算中，其中其中 此例说明，当此例说明，当p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接接近于近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以，可将问题

10、略为转换一下，仍然可以应用泊松近似应用泊松近似.当当 n很大时，很大时，p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接接近于近于1)时，时，能否应用二项分布的泊松近似？能否应用二项分布的泊松近似？请看教材例请看教材例5.下面我们看一个应用例子下面我们看一个应用例子.例例5 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员的维修人员.设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理.问至少应配备多少维修人员，问至

11、少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看

12、作可看作n=300的贝努里概型的贝努里概型.XB(n,p)，n=300,p=0.01可见，可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300,p=0.01设需配备设需配备N个维修人员，个维修人员，所求的是满足所求的是满足P(XN)N)N)n大大,p小小,np=3,用用 =n

13、p=3的泊松近似的泊松近似下面给出正式求解过程：下面给出正式求解过程：即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.查书末的泊松分布表得查书末的泊松分布表得N+1 9,即即N 8我们求满足我们求满足的最小的的最小的N.这一讲，我们介绍了二项分布这一讲，我们介绍了二项分布.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.我们介绍了二项分布的泊松近似，我们介绍了二项分布的泊松近似，使用时应注意条件使用时应注意条件.在解应用题时需要注意判断问题是否在解应用题时需要注意判断问题是否为为贝努里概型贝努里概型，可否用可否用二项分布求解二项分布求解.