概率论与数理统计-第七章 参数估计.ppt

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1、参数估计参数估计 第七章第七章 引言引言 上一讲，我们介绍了总体、样本、简上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理个重要的抽样分布定理.它们是进一步学它们是进一步学习统计推断的基础习统计推断的基础.第一讲第一讲 点估计点估计 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的

2、某些函数.参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数参数.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量).为为 F(x,)，

3、其中，其中 为未知参数为未知参数(可以是可以是参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计矩估计矩估计极大似然估计极大似然估计（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ）设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间1.57,1.84内，内，假如我们要估计某队男生的平均身高假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的样本，我们的任务是要根据选出的样本（的任务是要根据选出的样本（5个数）求出个数）求出总体均值总体均值 的估计的估

4、计.而全部信息就由这而全部信息就由这5个数个数组成组成.一、点估计概念及讨论的问题一、点估计概念及讨论的问题例例1 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,呢呢?据此据此,我们应如何估计我们应如何估计和和而全部信息就由这而全部信息就由这100个数组成个数组成.为估计为估计 ,我们需要构造出适当的样本我们需要构造出适当的样本的函数的函数T(X1,X2,Xn)，每当有了样本，就，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为代入该函数中算出一个值，用来作为 的的估计值估计值.把样本值代入把

5、样本值代入T(X1,X2,Xn)中，得到中，得到的一个点估计值的一个点估计值.T(X1,X2,Xn)称为参数称为参数的点估计量，的点估计量，请注意，被估计的参数请注意，被估计的参数 是一个是一个未知常数，而估计量未知常数，而估计量 T(X1,X2,Xn)是一个随机变量，是样本的函数是一个随机变量，是样本的函数,当当样本取定后，它是个已知的数值样本取定后，它是个已知的数值,这这个数常称为个数常称为 的估计值的估计值.使用什么样的统计量去估计使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值可以用样本均值;也可以用样本中位数也可以用样本中位数;还可以用别的统计量还可以用别的统计量.问题是问题是:我们知道我们

6、知道,服从正态分布服从正态分布由大数定律由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计体重的一个估计.类似地，用样本体重的方差类似地，用样本体重的方差 .用样本体重的均值用样本体重的均值样本体重的平均值样本体重的平均值 二、二、寻求估计量的方法寻求估计量的方法1.矩估计法矩估计法2.极大似然法极大似然法3.最小二乘法最小二乘法4.贝叶斯方法贝叶斯方法这里我们主要介绍前面两种方法这里我们主要介绍前面两种方法.1.矩估计法矩估计法 其基本思想是其基本思想是用样本矩估计总体矩用样本矩估计总体矩.理论依据理论依据:它是基于一种简单的它是基于一种简

7、单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方思想建立起来的一种估计方法法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出的最早提出的.大数定律大数定律记总体记总体k阶原点矩为阶原点矩为样本样本k阶原点矩为阶原点矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为就称为矩估计法矩估计法.记总体记总体k阶中心矩为阶中心矩为样本样本k阶中心矩为阶中心矩为 设总体的分布函数中含有设总体的分布函数中含有k个未知参数个未知参数 都是这都是这k个参数的函数个参数的函数,记为：记为：,那么它的前那么它的前k阶矩阶矩一般一般i=1,2,k从这从这k个方程中解出个方程中解出j=1,

8、2,k那么用诸那么用诸 的估计量的估计量 ai分别代替上式分别代替上式中的诸中的诸 ,即可得诸即可得诸 的矩估计量的矩估计量：j=1,2,k矩估计的一般步骤矩估计的一般步骤:1.求出总体求出总体X的前的前m阶原点矩阶原点矩3用样本原点矩用样本原点矩 代替总体矩代替总体矩 即得未知参数的矩估计即得未知参数的矩估计 2.解上面方程组得：解上面方程组得：解解:由矩法由矩法,样本矩样本矩总体矩总体矩从中解得从中解得的矩估计的矩估计.即为即为数学期望数学期望是一阶是一阶原点矩原点矩 例例2 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为是未知参数是未知参数,其中其中X1,X2,Xn是取自是取自X的样本的样本,求

9、参数求参数 的矩估计的矩估计.解解:由密度函数知由密度函数知 例例3 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的矩估计的矩估计.具有均值为具有均值为 的指数分布的指数分布故故 E(X-)=D(X-)=即即 E(X)=D(X)=解得解得令令用样本矩估计用样本矩估计总体矩总体矩即即 E(X)=D(X)=矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行,并不需要并不需要事先知道总体是什么分布事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息.一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估

10、计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性一定的随意性.2.极大似然估计法极大似然估计法 是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种种参数估计方法参数估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇.费歇费歇在在1922年重新发现了年重新发现了 这一方法，并首先研究了这这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质种方法的一些性

11、质.极大似然估计法的基本思想极大似然估计法的基本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一某位同学与一位猎人一起外出打猎起外出打猎.如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下.下下面面我我们们再再看看一一个个例例子子,进进一一步步体体会会极极大似然法的基本思想大似然法的基本思想.你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率概率一般大于这位同学命中的概率.看来这看来这一枪是猎人射中的一枪是猎人

12、射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想然法的基本思想.例例4 设设XB(1,p),p未知未知.设想我们事先知设想我们事先知道道p只有两种可能只有两种可能:问问:应如何估计应如何估计p?p=0.7 或或 p=0.3如今重复试验如今重复试验3次次,得结果得结果:0,0,0由概率论的知识由概率论的知识,3次试验中出现次试验中出现“1”的次数的次数k=0,1,2,3 将计算结果列表如下：将计算结果列表如下：应如何估计应如何估计p?p=0.7 或或 p=0.3k=0,1,2,3p值值 P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.70.027 0

13、.189 0.441 0.343 0.30.343 0.441 0.189 0.027出现出现估计估计出现出现出现出现出现出现估计估计估计估计估计估计0.3430.4410.4410.343如果有如果有p1,p2,pm可供选择可供选择,又如何合理地又如何合理地选选p呢呢?从中选取使从中选取使Qi 最大的最大的pi 作为作为p的估计的估计.i=1,2,m则估计参数则估计参数p为为时时Qi 最大最大,比方说比方说,当当 若重复进行试验若重复进行试验n次次,结果结果“1”出现出现k次次(0 k n),我们计算一切可能的我们计算一切可能的 P(Y=k;pi)=Qi，i=1,2,m 如果只知道如果只知道

14、0p1,并且实测记录是并且实测记录是 Y=k(0 k n),又应如何估计又应如何估计p呢呢?注意到注意到是是p的函数的函数,可用求导的方法找到使可用求导的方法找到使f(p)达到达到极大值的极大值的p.但因但因f(p)与与lnf(p)达到极大值的自变量相同达到极大值的自变量相同,故问题可转化为求故问题可转化为求lnf(p)的极大值点的极大值点.=f(p)将将ln f(p)对对p求导并令其为求导并令其为0,这时这时,对一切对一切0p1,均有均有从中解得从中解得=0便得便得 p(n-k)=k(1-p)以上这种以上这种选择一个参数使得实验结选择一个参数使得实验结果具有最大概率果具有最大概率的思想就是极

15、大似然法的思想就是极大似然法的基本思想的基本思想.这时这时,对一切对一切0p0,求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得即为即为 的的MLE.对数似然函数为对数似然函数为解：解：似然函数为似然函数为 例例7 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的极大似然估计的极大似然估计.i=1,2,n对数似然函数为对数似然函数为解：解：似然函数为似然函数为i=1,2,n=0 (2)由由(1)得得=0 (1)对对 分别求偏导并令其为分别求偏导并令其为0,对数似然函数为对数似然函数为用求导方法无法最终确定用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求用极大似然原则来

16、求.是是对对故使故使 达到最大的达到最大的 即即 的的MLE，于是于是 取其它值时，取其它值时，即即 为为 的的MLE.且是且是 的增函数的增函数由于由于第二次捕出的有记号的鱼数第二次捕出的有记号的鱼数X是是r.v,X具有具有超几何分布：超几何分布：为了估计湖中的鱼数为了估计湖中的鱼数N，第一次捕上，第一次捕上r条鱼，条鱼，做上记号后放回做上记号后放回.隔一段时间后隔一段时间后,再捕出再捕出S条鱼条鱼,结果发现这结果发现这S条鱼中有条鱼中有k条标有记号条标有记号.根据这个信息，如何估计湖中的鱼数呢？根据这个信息，如何估计湖中的鱼数呢？最后，我们用极大似然法估计湖中的鱼数最后，我们用极大似然法估

17、计湖中的鱼数应取使应取使L(N;k)达到最大的达到最大的N，作为作为N的极大似的极大似然估计然估计.但用对但用对N求导的方法相当困难求导的方法相当困难,我们我们考虑比值考虑比值：把上式右端看作把上式右端看作N的函数，记作的函数，记作L(N;k).经过简单的计算知，这个比值大于或小于经过简单的计算知，这个比值大于或小于1，或或而定而定.由由经过简单的计算知，这个比值大于或小于经过简单的计算知，这个比值大于或小于1，或或而定而定.由由 这就是说，当这就是说，当N增大时，序列增大时，序列P(X=k;N)先是上升而后下降先是上升而后下降;当当N为小于为小于 的最的最大整数时大整数时,达到最大值达到最大

18、值.故故N的极大似然的极大似然估计为估计为样本均值是否是样本均值是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？(2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量量“好好”？样本方差是否是样本方差是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？这就需要讨论以下几个问题这就需要讨论以下几个问题:(1)我们希望一个我们希望一个“好的好的”估计量具有什么估计量具有什么 特性？特性？(3)如何求得合理的估计量？如何求得合理的估计量？那么要问那么要问:常用的几条标准是：常用的几条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3相合性相合性这里我们重点介绍前面两个标准这里我们重点介绍前面两个标准

19、.二、估计量的优良性准则二、估计量的优良性准则 估计量是随机变量，对于不同的样本值估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值知参数的真值.这就导致无偏性这个标准这就导致无偏性这个标准.1无偏性无偏性则称则称 为为 的无偏估计的无偏估计.设设是未知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若 例例如如，用用样样本本均均值值作作为为总总体体均均值值的的估估计计时时，虽虽无无法法说说明明一一次次估估计计所所产产生生的的偏偏差差，但但这这种种偏偏差差随随

20、机机地地在在0的的周周围围波波动动，对对同同一一统统计问题大量重复使用不会产生系统偏差计问题大量重复使用不会产生系统偏差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了这就引进了有效性这一概念有效性这一概念.的大小来决定二者的大小来决定二者和和一个参数往往有不止一个无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计,若若 和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，比较比较我们可以我们可以谁更优谁更优.由于由于2有效性有效性D()0

21、,有有则称估计量则称估计量 是未知参数是未知参数的相合的相合(或一致或一致)估计量估计量.可以证明可以证明 都是总体方差都是总体方差DX的相合估计的相合估计.引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计.它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大.区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷.第二讲第二讲 区间估计区间估计 譬如，在估计湖中

22、鱼数的问题中，若譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极的极大似然估计为大似然估计为1000条条.若我们能给出一个区间，在此区间内我若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中.这样对鱼这样对鱼数的估计就有把握多了数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含参数相信它包含参数真真值值.湖中鱼数

23、的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信度记作习惯上把置信度记作 这里这里 是一个是一个很小的正数很小的正数.置信度的大小是根据实际需要选定的置信度的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信度例如，通常可取置信度 =0.95或或0.9等等.根据一个实际样本，由给定的置信度，根据一个实际样本，由给定的置信度，我们求出一个尽可能我们求出一个尽可能小的区间小的区间 ，使，使置信区间置信区间.称区间称区间 为为 的的置信度为置信度为 的的 下面我们就来正式给出置信区间

24、的定义下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法并通过例子说明求置信区间的方法.一、一、置信区间定义：置信区间定义：设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定满足满足若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信置信度度（置信（置信水平水平、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间.分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个

25、只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)(X1,Xn)(X1,Xn)2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.构造置信区间的一般办法：构造置信区间的一般办法：1.构造一个含有未知参数

26、构造一个含有未知参数 而不含其它未知而不含其它未知 参数的随机变量参数的随机变量 ，使其分，使其分 布为已知且与布为已知且与无关；无关；2.对给定的对给定的 ，根据，根据T的分布找出两个临界值的分布找出两个临界值 c与与d，使得，使得 则有：则有：3.将不等式将不等式 转化为转化为 等价形式等价形式于是于是 即为即为的置信度为的置信度为 的置信区间。的置信区间。a a-1教材已经给出了概率分布的上侧分位数教材已经给出了概率分布的上侧分位数(临界临界值值)的定义，为便于应用，这里我们再简要介的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下绍一下.在求置信区间时，要查表求分位数在求置信区间时，要查表求分

27、位数(临界值临界值)例如例如:设设0 1,对标准正态变量对标准正态变量X，称满足，称满足的点的点 为标准正态变量为标准正态变量X的上侧的上侧 分位数分位数.标准正态分布的标准正态分布的上侧上侧 分位数分位数例如例如:设设0 1,对卡方变量对卡方变量X，称满足，称满足的点的点 为为X的上侧的上侧 分位数分位数.分布的上分布的上 分位数分位数自由度为自由度为n的的例如例如:设设0 1,对随机变量对随机变量T，称满足，称满足的点的点 为为T分布的上侧分布的上侧 分位数分位数.Tt(n).设设0 1,对随机变量对随机变量F，称满足，称满足的点的点 为为F分布的上侧分布的上侧 分位数分位数.F分布的上侧

28、分布的上侧 分位数分位数自由度为自由度为n1,n2的的N(0,1)选选 的点估计为的点估计为求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，二、置信区间的求法二、置信区间的求法明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信度是多少？置信度是多少？寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解：寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.1.单个正态总体参数的区间

29、估计单个正态总体参数的区间估计对给定的置信度对给定的置信度查正态分布表得查正态分布表得对于给定的置信度对于给定的置信度(大概率大概率),根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间,使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信度置信度.使使为什么为什么这样取这样取？对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得使使从中解得从中解得也可简记为也可简记为于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为例例2 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查 n 个婴儿个婴儿得得 n 个体重数据个体重数据X1,X2,Xn 求求 和和 的置信区间的置信区间（

30、置信度为（置信度为 ）.解：解：这是单个总体均值和方差的估计这是单个总体均值和方差的估计已知已知先求均值先求均值 的置信区间的置信区间.因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数使使即即均值均值 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.即为即为从中解得从中解得取取从中解得从中解得再求方差再求方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 使使于是于是 即为所求即为所求.例例3.零件尺寸与规定尺寸的偏差零件尺寸与规定尺寸的偏差XN(，2),今今测得测得10个零件，得偏差值（单位：微米）个零

31、件，得偏差值（单位：微米）2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4，试求，试求，2的无的无偏估计值和置信度为偏估计值和置信度为0.9的置信区间的置信区间.解：解：的无偏估计为的无偏估计为 2的无偏估计为的无偏估计为 的置信区间为的置信区间为:的置信度为的置信度为0.9的置信区间为的置信区间为:(0.6064,3.3935);2的置信区间为的置信区间为:2的置信度为的置信度为0.9的置信区间为的置信区间为:(3.075,15.6397).的置信区间为的置信区间为:需要指出的是，给定样本，给定置信水需要指出的是，给定样本，给定置信水平，平，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的.对同一个参数，

32、我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.N(0,1)取取由标准正态分布表，对任意由标准正态分布表，对任意a、b，我们可我们可以求得以求得P(aUb).例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，求参数求参数 的置信度为的置信度为 的的 置信区间置信区间.N(0,1)例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为的的置信区间为置信区间为由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些.置信区间为置信区间为我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为的

33、的我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短.类似地，我们可得到若干个不同的置信类似地，我们可得到若干个不同的置信区间区间.任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(x)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信的置信区间区间.在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短.a=-b 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，F分布分布，习惯上仍取对称的百分位点，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间来计算未知参数

34、的置信区间.我们可以得到未知参数的的任何我们可以得到未知参数的的任何置信水置信水平小于平小于1的的置信区间，并且置信区间，并且置信水平越高，置信水平越高，相应的相应的置信区间置信区间平均长度平均长度越长越长.也就是说，要想得到的区间估计可靠也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾这是一对矛盾.实用中应在保证足够可靠的前提下，尽实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些量使得区间的长度短一些.2.两个正态总体参数的区间估计两个正态总体参数的区间估计求：求：(1)的置信区间的置信区间;例例1.设总体设总体 为总

35、体为总体X的容量为的容量为n1的样本，的样本，为总体为总体Y的容量为的容量为n2的样本，设两的样本，设两个样本相互独立个样本相互独立,(2)的置信区间的置信区间.(置信度为置信度为 )将上式变形得将上式变形得 的置信区间为的置信区间为:解解:(1)由于由于 .对给定对给定的置信度的置信度1 ,确定分位数确定分位数 使得使得:(2)时时,由于由于 其中其中 对给定的置信度对给定的置信度1 ,确定分位数确定分位数 使得使得:将上式变形得将上式变形得 的置信区间为的置信区间为:这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的情形的情形.若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.同学们可通过练习，掌握各种求未知同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的参数的 置信区间的具体方法置信区间的具体方法.这一讲，我们介绍了区间估计这一讲，我们介绍了区间估计.