联合分布与边缘分布.pptx

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1、 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.引言引言第1页/共59页一般地,设 是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向量叫做 维随机向量或 维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.引言引言第2页/共59页一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量 的分布函数,或者称为随机

2、变量 和 的联合分布函数.定义1设 是二维随机变量,第3页/共59页 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第4页/共59页 随机点 落在矩形域概率为一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第5页/共59页一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第6页/共59页一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第7页/共59页即F(x,y)关于x,y是右连续的。4.对任意的

3、一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第8页/共59页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量或随机变量X和Y 的联合分布律.k=1,2,离散型一维随机变量XX 的分布律为 k=1,2,定义2限对或无限可列多对,则称是离散型随机变量.设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量 的分布律,第9页/共59页也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第10页/共59页二维离散型随机变量 的分布律具有性质二维离散型随机变量 的联合分布函数为：二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量

4、第11页/共59页 例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=3=3/8=3/8二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第12页/共59页解解且由乘法公式得例例2二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第13页/共59页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第14页/共59页例例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,

5、设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求 (X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y )的可能取值为解解二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第15页/共59页故(X,Y )的分布律为下面求分布函数.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第16页/共59页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第17页/共59页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第18页/共59页所以(X,Y)的分布函数为二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量第19页/共59页连续型一维随机变量XX的概率密度函数函数 称为二维定义3对于二维随机变

6、量 的分布函数则称 是连续型的二维随机变量,（X,Y)的概率密度,随机变量存在非负的函数如果任意 有使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.或三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第20页/共59页三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度的性质:表示介于 f(x,y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.注：第21页/共59页在 f(x,y)的连续点,三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量注：第22页/共59页三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量例4 4 设(X,Y)的概率密度是(2)求分布函数 (3)求概率 .(1)求常数A;

7、解 (1)由可得A=2.第23页/共59页积分区域区域解 (2)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第24页/共59页三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第25页/共59页当 时,故当 时,三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第26页/共59页(3)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第27页/共59页例5 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C 为常数.(1)确定常数确定常数A,B,C；(2)求求P(X 2);(3)求求(X,Y)的联合密度函数。的联合密度函数。三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第28页/共59页解解(1)三、二维连续型随

8、机变量三、二维连续型随机变量第29页/共59页(2)(3)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第30页/共59页四、课堂练习四、课堂练习设随机变量(X,Y)的概率密度是(1)确定常数 (2)求概率三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第31页/共59页解(1)故三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第32页/共59页(2).三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量第33页/共59页二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而 和 都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于 X 和 Y的边缘分布函数.依次称为二维随机四、边缘分布四、边缘分布一、边缘

9、分布函数一、边缘分布函数第34页/共59页一般地，对离散型 r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X 的边缘分布律为:X和Y 的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律四、边缘分布四、边缘分布第35页/共59页(X,Y)关于 Y 的边缘分布律为:离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:四、边缘分布四、边缘分布第36页/共59页 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.四、边缘分布四、边缘分布第37页/共59页例例6 已知下列分布律求其边缘分布律.四、边缘分布四、边缘分布第38页/共59页注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分

10、布解解四、边缘分布四、边缘分布第39页/共59页解解例例7样本点四、边缘分布四、边缘分布第40页/共59页四、边缘分布四、边缘分布第41页/共59页三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布四、边缘分布四、边缘分布第42页/共59页同理可得 Y 的边缘分布函数Y 的边缘概率密度.四、边缘分布四、边缘分布第43页/共59页解解例例8四、边缘分布四、边缘分布第44页/共59页四、边缘分布四、边缘分布第45页/共59页四、边缘分布四、边缘分布第46页/共59页=5c/24=1,c=24/5解：(1)dxxxc-=10222/)(求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9 设(X,Y)的概

11、率密度是四、边缘分布四、边缘分布第47页/共59页解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9 设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布四、边缘分布第48页/共59页解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9 设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布四、边缘分布第49页/共59页即四、边缘分布四、边缘分布第50页/共59页练习练习 设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘概率密度.四、边缘分布四、边缘分布第51页/共59页解当 时,当 时,故四、边缘分布四、边缘分布第52页/共59页当 时,当 时,故四、边缘分布四、边缘分布第53页/共59

12、页 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.五、常见分布五、常见分布二维均匀分布二维均匀分布第54页/共59页 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 则称（X,Y）服从参数为 的二维正态分布.其中均为常数,且记作（X,Y）N().五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布第55页/共59页例10 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为所以五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布第56页/共59页则有五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布第57页/共59页 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数 .同理可见由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说,对于给定的 不同的 对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布第58页/共59页感谢您的观看！第59页/共59页