理论力学振动.pptx

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1、 振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。积分常数。第1页/共82页 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作都选择平衡位置作为广义坐标的原点。为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的 动量定理；动量定理；动量矩定理

2、；动量矩定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的分析动力学基础中的 拉格朗日方程。拉格朗日方程。第2页/共82页 按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类 自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。励下发生的振动。受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激

3、励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。第3页/共82页 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。这种系统的振动称为非线性振动。按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：单自由度单自由度振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自

4、由度振动振动两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统连续系统振动振动连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。第4页/共82页19-1 单自由度系统的自由振动l l0 0mmk kk kx xOOx xl l0 0ststF FWW1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程l l0 0弹簧原长；弹簧原长；k k弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；stst弹簧的静变形；弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x x 向下为正，则有：向下为正，则有：第5页/共82页 A A振幅；振幅；n n固有频率；固有

5、频率；（n n+）相位；相位；初相位。初相位。第6页/共82页 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式第7页/共82页第8页/共82页例例 题题 1 1mmv v 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积A A2.892.8910104 4mm2 2，材料的弹性，材料的弹性模量模量E E200GPa200GPa。重物的质量重物的质量mm6 6000kg000kg，以匀速以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。下降。当重物下降到当重物下降

6、到 l l 25m25m 时，钢丝绳时，钢丝绳上端突然被卡住。上端突然被卡住。l l求求：（：（1 1）重物的振动规律重物的振动规律；（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。解解：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统系统,弹簧的刚度为弹簧的刚度为第9页/共82页mmk k静平衡位置静平衡位置OOx x 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为方程的解为方程的解

7、为利用初始条件利用初始条件求得求得第10页/共82页mmk k静平衡位置静平衡位置OOx xmmx xWWF FT T（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象取重物为研究对象第11页/共82页l l固定端固定端 均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为 l l,弯曲刚度为弯曲刚度为EIEI。梁的自由端放置梁的自由端放置一质量为一质量为mm的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运动微分方程。动微分方程。例例 题题 2 2mmEIEIl l固定端固定端y yststOOy y 考察梁和物块所组成的考察梁和物块所

8、组成的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标位移作为广义坐标 q=yq=y,坐坐标原点标原点OO设在梁变形后的设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用y ystst表表示。示。第12页/共82页 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标为坐标为y y)时时，物块的受力：应用牛顿第二，物块的受力：应用牛顿第二定律定律WW=m=mg gF F 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标为坐标为y y)时时，梁的自由端位

9、移与力之间的关系梁的自由端位移与力之间的关系EIEIl l固定端固定端FFy yy yststmmEIEIl l固定端固定端OOy y第13页/共82页此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程第14页/共82页串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度k k1 1k k2 2mmg gk k1 1mmg gk k2 21.1.串串 联联第15页/共82页k k1 1k k2 2mmk k1 1k k2 2mmmmg gF F1 1F F2 22.2.并并 联联第16页/共82页k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1mm 图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四

10、根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为 k k1 1、k k2 2 、k k3 3 、k k4 4 且且k k1 1=2=2 k k2 2 =3=3 k k3 3=4=4 k k4 4。假设质量为的物。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例例 题题 3 3试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。解解：（：（1 1）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度第17页/共82页k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1mm解解：（：（1 1）计算）计算3 3、4 4的等效

11、刚度的等效刚度（2 2）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度（3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度（4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率第18页/共82页？1mmk kOO在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点O O 固定后，固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比值为值为 。k kk kmml l 在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为频率为 n0n0，现将物块改移至距上端处，则，现将物块改移至距上端处，则其固有频率其固有频率=n0 n0。？2第19页/共82页mmk k

12、a al l例例 题题 4 4 图示结构中，杆在水平位置处于平衡，图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若若k k、mm、a a、l l 等均为已知。等均为已知。求：求：系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率mmg gF F解：解：取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得由动量矩定理，得在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第20页/共82页mmk ka al lmmg gF F在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第21页/共82页19-2 计算固有频率的能量法mmk k静平衡位置静平衡位置OOx x物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能

13、点，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第22页/共82页物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒第23页/共82页mmk ka al l 解：解：设设OAOA杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例例 题题 5 5由能量法解由能量法解 例题例题4 4第24页/共82页例 题 6

14、半径为半径为r r、质量为质量为 mm的均质的均质圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为 R R 的刚性的刚性圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动 。求：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。RCO第25页/共82页RCO 解：解：取摆角取摆角 为广义坐标为广义坐标由运动学可知：由运动学可知：系统的动能系统的动能系统的势能系统的势能拉氏函数为拉氏函数为第26页/共82页RCO 第27页/共82页RCO 第28页/共82页RCO例例 题题 7 7由能量法求固有频率由能量法求固有频率 解：解：设摆角设摆角 的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统

15、的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为第29页/共82页RCO 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有第30页/共82页19-3 单自由度系统有阻尼自由振动 阻尼阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C C粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数1.1.阻阻 尼尼第31页/共82页2.2.振动微分方程振动微分方程mmk kmmc cOO

16、x xF FFk kkF FFc ccv v取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为第32页/共82页本征方程本征方程本征值本征值本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。设其解为设其解为其通解为其通解为第33页/共82页3.3.小阻尼情形小阻尼情形 当当 n n 11)情形情形临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而

17、是按负指数衰减衰减11x xOOt t第36页/共82页19-4 单自由度系统无阻尼受迫振动km0e受迫振动受迫振动系统在外界激励下产生的振动系统在外界激励下产生的振动。激励形式激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。第37页/共82页F FFk kkF FF1.1.振动微分方程振动微分方程mmOOx xx x振动微分方程振动微分方程第38页/

18、共82页微分方程的解为：微分方程的解为：将将 x x2 2 代入微分方程，得代入微分方程，得解得解得第39页/共82页2.2.受迫振动的振幅受迫振动的振幅幅频特性曲线第40页/共82页3.3.共振现象共振现象当当 n n 时时，激振力频率等于系统，激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为无穷大，这种现象称为共振共振。这表明无阻尼系统发生共振时，这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。振幅将随时间无限地增大。第41页/共82页19-5 单自由度系统有阻尼受迫振动F FFk kmmc cF FFmmOOx xF FFk kk

19、F FFc cc 这一微分方程的全解等于这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。程的特解之和。第42页/共82页有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解代入微分方程，解得代入微分方程，解得第43页/共82页运动微分方程的通解为：运动微分方程的通解为：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是第一部分是衰减振动衰减振动；第二部分是；第二部分是受迫振动受迫振动。引入：引入：第44页/共82页第45页/共82页第46页/共82页幅频特性与相频

20、特性幅频特性与相频特性1 1、0 0的附近区域的附近区域(低频区或弹性控制区低频区或弹性控制区)，1 1，0 0，响应与激励同相；对于不同的响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不值，曲线密集，阻尼影响不大。大。2 2、11的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，0 0，响响应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。第47页/共82页幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 11时，时，B/a B/a 1 1 。因此，设计时因此，设计时应当使测振仪具有比较低应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较的固有频率，

21、才能有比较大的大的 值值。被测频率愈高，测量精被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测量精度便低。量精度便低。对于同一对于同一 值，阻尼较值，阻尼较大时，大时，B/a B/a 趋趋近于近于1 1。第53页/共82页例例 题题 9 9工作台工作台c ck kmmx xe e已知已知：m m、k k、c c,x xe e=a asinsin t t 试分析：试分析：仪器的稳态响应。仪器的稳态响应。解解：假设观察者在不动的假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移器在铅垂方向的位移 x x 作为作为广义坐标，以平衡位置为广广义坐标，以

22、平衡位置为广义坐标的原点。义坐标的原点。仪器的运动方程为仪器的运动方程为OOx x第54页/共82页 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前前/2/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成:对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第55页/共82页 对于仅有阻尼的运动激

23、励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第56页/共82页第57页/共82页幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性曲曲线线第58页/共82页 本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅振效果，即仪器振幅B B小于振源振幅小于振源振幅 a a，应当如何设，应当如何设计隔振层的刚度计隔振层的刚度 k k？对于隔振效果，阻尼大一点好还？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？是小一点好？关于本例的讨论第59页/共82页 单自

24、由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？怎样作功？又有怎样的能量关系呢？无阻尼自由振动无阻尼自由振动 系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。有阻尼自由振动有阻尼自由振动 阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。幅值随时间衰减。受迫振动受迫振动第6

25、0页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系根据力在根据力在d dt t时间内所作之元功时间内所作之元功d dW=W=Fvdt 当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。反相位时，每一时刻都作负功。阻尼力和速度反相阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为的负功为第61页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 若力与速度相位相差若力与速度相位相差/2/2 ，则力在一个周期内作

26、功等于，则力在一个周期内作功等于零。零。惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差/2/2 ，因，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。于零。第62页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 激励力超前位移激励力超前位移 相位，可将其分解为与速度和位移同相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。相位的两部分。对于微分方程简谐激励力对于微分方程简谐激励力 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内

27、作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为第63页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为 这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。的稳态响应有一个稳定

28、的振幅。根据稳态响应幅值的表达式有根据稳态响应幅值的表达式有第64页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 因为在一个周期内激励力所作因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值动幅值还未达到稳定值B B0 0时，激时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。量，振幅将增加。当振幅到达当振幅到达B B0 0时，激励力所作时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振

29、动。统能够维持等幅振动。第65页/共82页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 若由于某种干扰使振幅大于若由于某种干扰使振幅大于B B0 0时，阻尼耗散的能量大于激励时，阻尼耗散的能量大于激励 力力所作之功，振幅又会衰减，直至所作之功，振幅又会衰减，直至在在 B B0 0处又维持稳定的振幅。处又维持稳定的振幅。第66页/共82页 结论与讨论 按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。性振动。关于振动概念

30、关于振动概念 工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。限多自由度。系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。第67页/共82页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 建立系统

31、运动方程属于动力学第二类问题，即：已知建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。平衡位置作为广义坐标原点。第68页/共82页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 拉格朗日方程拉格朗日方程对于无阻尼的情形对于无阻尼的情形第69页/共82页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分

32、方程 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 拉格朗日方程拉格朗日方程对于有阻尼的情形对于有阻尼的情形第70页/共82页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 动量矩定理动量矩定理对于有一固定轴，并且绕固定轴对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。量矩定理更好。J JOO系统绕固定轴系统绕固定轴 OO的转动惯量的代数和的转动惯量的代数和；L LOO所有外力对固定轴所有外力对固定轴 OO之矩的代数和之矩的代数和。力矩方向力矩方向 与广义坐标方向相同时为正，反之为

33、负与广义坐标方向相同时为正，反之为负。建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第71页/共82页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 机械能守恒机械能守恒对于没有能量损耗的保守系统对于没有能量损耗的保守系统 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第72页/共82页 结论与讨论 有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。量耗散。单自由度线性系统单自由度线

34、性系统 自由振动要点自由振动要点 固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。和等效质量有关。无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有能量的补充或耗散。能量的补充或耗散。第73页/共82页 结论与讨论 单自由度线性系统单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点简谐激励的受迫振动要点 激励引起的稳态受迫振动，即微分方程的特解。振动频率激励引起的稳态受迫振动，即微分方程的特解。振动频率为激励频

35、率为激励频率 。即使系统有阻尼，振幅也不会随时间衰减。即使系统有阻尼，振幅也不会随时间衰减。简谐激励的响应包括三部分：激励引起的自由振动，频率也为激励引起的自由振动，频率也为 d d ，振幅与激励有关。，振幅与激励有关。这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件的齐次解。对有阻尼系统，它们的振幅随时间衰减。的齐次解。对有阻尼系统，它们的振幅随时间衰减。稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性区幅频特性和相频特性研究。区幅频特性和相频特性研究。初始条件引起的自由振动，频率为初始条件引起的自由振动，频率为

36、 d d，振幅与激励无关。，振幅与激励无关。第74页/共82页 结论与讨论 单自由度线性系统单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点简谐激励的受迫振动要点 稳态响应的振幅是稳定的，不会因受干扰而偏离；无阻尼系统共振时，振幅将越来越大。这些现象都可以由稳态受迫振动中的能量关系加以解释。第75页/共82页 结论与讨论 多自由度线性系统多自由度线性系统 振动的概念振动的概念第76页/共82页 结论与讨论 多自由度线性系统多自由度线性系统 振动的概念振动的概念第77页/共82页 结论与讨论 多自由度线性系统多自由度线性系统 振动的概念振动的概念第78页/共82页 结论与讨论 多自由度线性系统多自由度线性系统 振动的概念振动的概念 对于多自由度系统，固有频率怎样定义？多自由度系统的振动有什么特点？多自由度系统的自由振动是否也是简谐振 动？第79页/共82页 结论与讨论 多自由度线性系统多自由度线性系统 振动的概念振动的概念 一般情形下，多自由度系统的自由振动并不是简谐振动。但在特定条件下可以是简谐振动，此时系统各质点同步到达最大偏离位置或同步到达平衡位置。第80页/共82页返回本章目录页返回本章目录页第81页/共82页感谢您的观看！第82页/共82页