电动力学电动力学二二唯一性定理精选文档.ppt

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1、电动力学电动力学二二唯一性定理本讲稿第一页，共二十二页2一、静电问题的唯一性定理一、静电问题的唯一性定理区域区域V可以分为若干个均匀区域可以分为若干个均匀区域Vi，每一，每一均匀区域的电容率为均匀区域的电容率为 i。设。设V内有给定的电内有给定的电荷分布荷分布(x)。电势。电势在均匀区域在均匀区域Vi内满足泊内满足泊松方程松方程本讲稿第二页，共二十二页3除此之外，要完全确定除此之外，要完全确定V内的电场，内的电场，还必须给出还必须给出V的外边界的外边界S上的一些条上的一些条件。件。在两区域在两区域Vi和和Vj的分界面上满足边值关系的分界面上满足边值关系本讲稿第三页，共二十二页4唯一性定理：唯一

2、性定理：设区域设区域V内自由电荷分内自由电荷分布为布为(x)，在，在V的外的外边界边界S上给定上给定（i）电势）电势s或或（ii）电势的法向倒数）电势的法向倒数(/n)s则则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。也就是说，在也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的的边界边界S上满足给定的上满足给定的 或或/n值。值。本讲稿第四页，共二十二页5证明：证明：设有两组不同的解设有两组不同的解 和和 满足唯一性定理的条件。满足唯一性定理的条件。由由得

3、得令令本讲稿第五页，共二十二页6在两均匀区界在两均匀区界面上有面上有在整个区域在整个区域V的边界的边界S上有上有或或本讲稿第六页，共二十二页7考虑第考虑第i个均匀个均匀区区Vi的界面的界面Si上上的积分的积分对所有分区对所有分区Vi求和求和在均匀在均匀区界面区界面 内部边界积分相互抵消内部边界积分相互抵消 本讲稿第七页，共二十二页8这说明这说明 和和 至多只能相至多只能相差一个常量。但电势的差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性响，这就证明了唯一性定理。定理。而右边被积函数而右边被积函数 i()2 0。上式成立的条件是上式成立的条件是在在V内各点上都有

4、内各点上都有=0，即在，即在V内，内，外边界因外边界因 积分亦为零积分亦为零或或 本讲稿第八页，共二十二页9二、有导体存在时的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种电场，所需要条件有两种类型：类型：一类是给定每个导体上一类是给定每个导体上的电势的电势i；另一类是给定每个导体上另一类是给定每个导体上的总电荷的总电荷Qi。本讲稿第九页，共二十二页10如图设在某区域如图设在某区域V内内有一些导体，除去导有一些导体，除去导体内部以后的区域为体内部以后的区域为V。设。设V内有给定电内有给定电荷分

5、布荷分布，S上给定了上给定了|s 或或(/n)|s值。值。本讲稿第十页，共二十二页11第二类型：设区域第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之内有一些导体，给定导体之外的电荷分布外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷，给定各导体上的总电荷Qi以及以及V的的边界边界S上的上的 或或/n 值，则值，则V内的电场唯一地确内的电场唯一地确定。定。第一类型：当每个导体上的电势第一类型：当每个导体上的电势i给定时，即给给定时，即给出了出了V所有边界上的所有边界上的 或或(/n)值，因而由上一小值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，节证明了的唯一性定理可知，V内的电场被唯一确内的电场被唯一确定。定。本讲

6、稿第十一页，共二十二页12在第在第i个导体上满足个导体上满足总电荷条件总电荷条件和等势面条件和等势面条件以及在以及在V的边界的边界S上具有给定的上具有给定的|s 或或(/n)|s值。值。也就是说，存在唯一的解，也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足它在导体以外满足泊松方程泊松方程本讲稿第十二页，共二十二页13证明证明设有两个解设有两个解 和和 满足满足或或则则 满足满足本讲稿第十三页，共二十二页14对区域对区域V用公式用公式本讲稿第十四页，共二十二页15上式左边的面积分包括上式左边的面积分包括V的边界的边界S以及每以及每个导体的表面个导体的表面Si上的积分。上的积分。在在Si上的积分上的积分

7、在在S上的积分上的积分由此由此本讲稿第十五页，共二十二页16即即 和和 至多只能相差一个常至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。量，因而电场唯一确定。当导体外的电势确定后，当导体外的电势确定后，导体上的电荷面密度由导体上的电荷面密度由边值关系确定边值关系确定本讲稿第十六页，共二十二页17例例 如如图图两两同同心心导导体体球球壳壳之之间间充充以以两两种种介介质质，左左半半部部电电容容率率为为 1，右右半半部部电电容容率率为为 2，设设内内球球壳壳带带总总电电荷荷Q，外外球球壳壳接接地地，求求电电场场和和球球壳壳上上的的电荷分布。电荷分布。本讲稿第十七页，共二十二页18设两介质内的电势、电场强度

8、设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为和电位移分别为解解本讲稿第十八页，共二十二页19如果我们假设如果我们假设E仍保持球对称性，即仍保持球对称性，即此时边值关系得到满足。此时边值关系得到满足。由于左右两半是不同介由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界我们先考虑两介质分界面上的边值关系面上的边值关系本讲稿第十九页，共二十二页20导体球面上的积分导体球面上的积分将电场值代入得将电场值代入得解出解出本讲稿第二十页，共二十二页21则则此解满足唯此解满足唯一性定理的一性定理的所有条件，所有条件，因此是唯一因此是唯一正确的解。正确的解。注意导体两半球上的面电荷分布是不同注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但的，但E却保持球对称性。却保持球对称性。本讲稿第二十一页，共二十二页22设内导体半径为设内导体半径为a，则球面上的电荷，则球面上的电荷面密度为面密度为虽然虽然E仍保持球对称性，但是仍保持球对称性，但是D和导体面上的和导体面上的电荷面密度电荷面密度不具有球对称性。不具有球对称性。本讲稿第二十二页，共二十二页