数值分析－ 数值积分和数值微分.pptx

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1、第六章第六章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分问题的提出问题的提出人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆,我国我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km,远地点距离地球表面远地点距离地球表面2384km,地球半径为地球半径为6371km,求该卫星的轨道长度求该卫星的轨道长度.本问题可用椭圆参数方程本问题可用椭圆参数方程来描述人造地球卫星的轨道来描述人造地球卫星的轨道,式中式中a=8755km,b=6810km分别为椭圆的长短半轴分别为椭圆的长短半轴,该轨道的长度就该轨道的长度就是如下的参数方程弧长积分是如下的参数

2、方程弧长积分 这个积分是椭圆积分,不能用解析方法求解.本章主要讨论如何解决这类不能用解析方法计算的定积分问题,第1页/共110页第六章第六章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分6.1引言引言我们知道我们知道,若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原上连续且其原函数为函数为F(x),则可用则可用Newton-Leibnitz公式公式求得定积分求得定积分求定积分的值求定积分的值,Newton-Leibnitz公式公式无论在理论无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及不能完全解决定积分的

3、计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：中经常遇到以下三种情况：第2页/共110页(1)被积函数被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数有限形式表示的原函数F(x)，例如：，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了公式就无能为力了(2)还有被积函数还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分并不复杂，但积分后其表达式却很复

4、杂，积分后其原函数后其原函数F(x)为：为：第3页/共110页(3)被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式,其函数其函数关系由表格或图形表示。关系由表格或图形表示。对于这些情况对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的通过原函数来计算积分有它的局限性局限性,因而研究一种新的积分方法来解决因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。这时需要用数值解法来建立积分的近似计算

5、方法。将积分区间细分将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)f(x)进行积分进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。是本章讨论数值积分的主要内容。第4页/共110页同样对于函数同样对于函数f(x)f(x)的求导问题，因为在微分学中，的求导问题，因为在微分学中，函数函数f(x)f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要格形式给出，或

6、函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容数值微分。数值微分。6.2 6.2 数值积分概述数值积分概述 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=f(x)这四条边所围成的曲边梯这四条边所围成的曲边梯形面积。如图形面积。如图6-16-1所示，而这个面积之所以难于计所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边算是因为它有一条曲边y=f(x)y=f(x)图图6-1数值积分的数值积分的几何意义几何意义第5

7、页/共110页建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的其中最常用的有两种：有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在，在积分区间积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的,因而因而的值也是未知的的值也是未知的,称称为为f(x)在区间在区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算提供一种算法，相应地就获得一

8、种数值求积方法法，相应地就获得一种数值求积方法第6页/共110页三个求积分公式三个求积分公式 梯形公式梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如例如 分别取分别取 和和则分别得到中矩形公式和梯则分别得到中矩形公式和梯形公式。形公式。y=f(x)abab第7页/共110页y=f(x)yabSimpson公式公式(a+b)/2f()的近似值而获得的一种数值积分方法。的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式把中矩形公式把a,b的中点处函数值的中点处函数值作为作

9、为平均高度平均高度f()的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。ab(a+b)/2在这三个公式中在这三个公式中,梯形公式梯形公式把把f(a),f(b)的加权平均值的加权平均值作为平均高度作为平均高度第8页/共110页Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a,b,(a+b)/2这三点的这三点的函数值函数值f(a),f(b),的加权平均值的加权平均值似值而获得的一种数值积分方法。似值而获得的一种数值积分方法。作为平均高度作为平均高度f()的的近近（2）先用某个简单函数）先用某个简单函数近似逼近近似逼近f(x),用用代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即，即

10、以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函数应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计且又容易计算积分算积分,因此将因此将选取为插值多项式选取为插值多项式,这样这样f(x)的积的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替分就可以用其插值多项式的积分来近似代替第9页/共110页插值求积公式插值求积公式设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点 有函数值有函数值,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 式中式中 这里这里 多项式多

11、项式P(x)P(x)易于求积易于求积,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 第10页/共110页其中其中称为求积系数。给出如下定义称为求积系数。给出如下定义。定义定义6.1 6.1 求积公式求积公式 其系数其系数 时，则称求积公式为插值时，则称求积公式为插值求积公式。求积公式。(6.4)(6.4)第11页/共110页设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得由插值余项定理得其中其中 当当f(x)f(x)是次数不高于是次数不高于n n的多项式时，有的多项式时，有 =0,=0,求积公式求积公式(6.4)(6.4)能成为准确的等式。由于闭能成为准确的等式。由于闭

12、区间区间a,ba,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式个求积公式能对多大次数的多项式f(x)f(x)成为准确等成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。出以下定义。第12页/共110页定义定义6.2（代数精度）（代数精度）设求积公式（设求积公式（6.4）对于一）对于一 切次数小于等于切次数小于等于m的多项式的多项式是准确的是准确的,而对于次数为而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的的多项式是不准确的,则称该求积公式具有则称该求积公式具有m m次代数精度次代数精

13、度(简称代数精度简称代数精度)由定义可知，若求积公式由定义可知，若求积公式的代数精度为的代数精度为n,n,则求积系数则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组：或或第13页/共110页这是关于这是关于的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵是梵得蒙矩阵是梵得蒙矩阵,当当互异时非奇异互异时非奇异,故故有唯一解。有唯一解。第14页/共110页定理定理6.1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有n次代数精度。次代数精度。证证:充分性充分性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式

14、为插值型求积公式,求积系数为求积系数为 又又 当当f(x)f(x)为不高于为不高于n n次的多项式时次的多项式时,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0R(f)=0。因而这时求积公式至少。因而这时求积公式至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。必要性必要性 若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度,则对则对n n次多项式次多项式 第15页/共110页定理定理6.1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有n次代数精度。次代数精度。必要性必要性 若求积公式至少具有若求

15、积公式至少具有n n次代数精度次代数精度,则对则对n n次次 多项式多项式精确成立精确成立,即即而而取取 时时所以有所以有 ,即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式 第16页/共110页例例6.1设积分区间设积分区间a,b为为0,2，取，取 时时,分别用梯形和辛卜生公式分别用梯形和辛卜生公式计算其积分结果并与准确值进行比较计算其积分结果并与准确值进行比较解解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示较如下表所示 第17页/共110页 f(x)1xx2x3x4ex准确值准确值222.6746.406.389梯形公式计算值梯形公式计算值2

16、248168.389辛卜生公式计算值辛卜生公式计算值222.6746.676.421 从表中可以看出从表中可以看出,当当f(x)是是 时时,辛卜辛卜生公式比梯形公式更精确生公式比梯形公式更精确 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代数精度，辛卜生公次代数精度，辛卜生公式有式有3 3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证 第18页/共110页取取f(x)f(x)=1时，时，两端相等两端相等 取取f(x)=xf(x)=x时时,取取f(x)=xf(x)=x2 2

17、时时,两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。两端相等两端相等 第19页/共110页例例6.2试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式解解:要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度,则对则对f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 求积公式准确成立，即得如下方程组。求积公式准确成立，即得如下方程组。解之得，解之得，所求公式为：所求公式为：第20页/共110页例例6.3试确定求积系数试确定求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解:分别取分别取f(x)=1,x,xf(x)

18、=1,x,x2 2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立,即即 得如下方程组。得如下方程组。所得求积公式为：所得求积公式为：对于对于f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2,x,x3 3都准确成立都准确成立,对于对于f(x)=xf(x)=x4 4 就不就不准确了，所以此求积公式准确了，所以此求积公式 3 3 次代数精度。次代数精度。第21页/共110页由于由于n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如式的代数精度。例如插值求积公式插值求积公式有三个节点至少有

19、有三个节点至少有2次代数精度，是否有次代数精度，是否有3次代数次代数精度呢？将精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都代入公式两端，左端和右端都等于等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将公式两端严格相等，再将f(x)=x4代代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。次代数精度。第22页/共110页的代数精度的代数精度可以验证可以验证,对于对于f(x)=1,x时公式两端相等时公式两端相等,再将再将f(x)=x2代入公式代入公式左端左端例例6.4考察求积公式考察求积公式两端不相等两端不相等,所以该求积公式具有所以该求积公式

20、具有1次代数精度次代数精度.三个节点不一定具有三个节点不一定具有2次代数精度，次代数精度，因为不是插值型的因为不是插值型的右端右端第23页/共110页例例6.5给定求积公式如下：给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证:设设 ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的 LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 第24页/共110页第25页/共110页由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。是插值型求积公式。插值型求积公式为插值型求积公式为第26页/共110页例例6.6求

21、证求证不是插值型的不是插值型的证明证明:设设x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的Lagrange插插值值基函数为基函数为第27页/共110页第28页/共110页第29页/共110页例例6.7给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有准确成立，则有第30页/共110页例例6.7给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1,A0,

22、A1,使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相代入求积公式两端相等等,而将而将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其代所以其代数精度为数精度为3次次第31页/共110页例例6.8确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数设所求公式的代数精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即第32页/共110页例例6.8

23、确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数设所求公式的代数精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即其中其中h=b-a,令令f(x)=x3代入上式代入上式,两端不等两端不等,说明求说明求积公式只有积公式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得：第33页/共110页构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：(1)复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2)求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与积分区

24、间及节点xk有关，而与被有关，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3)n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4)求积系数之和求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性第34页/共110页例例6.9求证当节点为求证当节点为n+1个时个时,插值求积系数之和为插值求积系数之和为第35页/共110页(1)(1)在积分区间在积分区间a,ba,b上选取节点上选取节点x xk k(2)(2)求出求出f(xf(xk k)及及 或解关于或解关于A Ak k的线性方程组

25、求出的线性方程组求出A Ak k，这样，这样 就得到了就得到了(3)利用利用f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤第36页/共110页例例6.9对对构造一个至少有构造一个至少有3次代数精次代数精度度的求积公式的求积公式解解:3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点,在在0,3上取上取0,1,2,3四四个个节点构造求积公式节点构造求积公式确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精次代数精度，只需将度，只需将f(x)=x4代入来验

26、证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度第37页/共110页6.3牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式在插值求积公式在插值求积公式中中,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中插值多项式插值多项式求积系数求积系数这里这里是插值基函数。即有是插值基函数。即有第38页/共110页将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,步长步长求积节点为求积节点为为了计为了计算系数算系数Ak,由于由于,所以所以作变量代换作变量代换当当时时,有有,于是

27、可得于是可得nh=b-a第39页/共110页(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式(6.4)有有称为牛顿称为牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,C,Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号引进记号(k=0,1,n)则则第40页/共110页容易验证容易验证显然显然,C Ck k是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常数的常数,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数,譬譬如当如当n=1n=1时时 第41页/共110页当当n=2=2时时P P130 130 表表-1-1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯

28、系数的柯特斯系数。当当n=8n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。第42页/共110页6.4 6.4 几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1)梯形公式梯形公式 当当n=1=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式定理定理6.2（梯形公式的误差）设（梯形公式的误差

29、）设f(x)在在 a,b 上具有上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为第43页/共110页证证:由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 由于由于(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号,在在a,ba,b上连上连续续,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理 ,在在a,ba,b上存上存在一点在一点，使，使 因此因此 第44页/共110页（2 2）辛卜生公式辛卜生公式 当当n=2=2时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式柯特斯公式就是辛卜

30、生公式（或（或 称抛物线公式）称抛物线公式）定理定理6.36.3（辛卜生公式的误差）设在（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 定理证明从略。定理证明从略。第45页/共110页（3 3）柯特斯公式。柯特斯公式。当当n=4=4时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式为柯特斯公式为定理定理6.46.4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在a,ba,b上具有上具有连续的连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 定理的证明从略。定理的证明从略。第46页/共110页例例6.11分别

31、用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字)(1)(1)用梯形公式计算用梯形公式计算 (2)(2)用辛卜生公式用辛卜生公式 第47页/共110页(3)(3)用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为积分的准确值为积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。第48页/共110页例例6.12 6.12 用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5

32、5位小数位小数)解解:辛卜生公式辛卜生公式 由于由于 由辛普森公式余项由辛普森公式余项 知其误差为知其误差为 第49页/共110页例例6.12用辛用辛普森普森公式和公式和柯特斯柯特斯公式计算定积分公式计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5位小数位小数)解解:柯特斯公式柯特斯公式知其误差为知其误差为第50页/共110页例例6.12用辛用辛普森普森公式和公式和柯特斯柯特斯公式计算定积分公式计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5位小数位小数)该定积分的准确值该定积分的准确值,这个例子告诉这个例子告诉我们，对于同一个积分，当我

33、们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确时，公式却是精确的，这是由于辛的，这是由于辛普森普森公式具有三次代数精度，柯特公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。多项式当然是精确成立的。第51页/共110页6.5复化求积公式复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于提高。但由于n88时的牛顿时的牛顿柯特斯求积公式开始出柯特斯求积公式开始出现负值的柯特

34、斯系数。根据误差理论的分析研究，现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式得到整个区间上的求积公式，这就是复化

35、求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化和复化辛普森辛普森公式。公式。第52页/共110页复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,步长步长求积节点为求积节点为 在每个小在每个小区间区间 上应用梯形公式上应用梯形公式 求出积分值求出积分值I Ik,k,然后将它们累加求和然后将它们累加求和,用用作为所求积分作为所求积分I I的近似值。的近似值。第53页/共110页记记(6.5)(6.5)(6.5)(6.5)式称为复化梯形公式。式称为复化梯形公式。当当f(x)f(x)在在a,ba,b上

36、有连续的二阶导数上有连续的二阶导数,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 在在a,ba,b上的余项上的余项 第54页/共110页设设 在在 a,b 上连续，根据连续函数的介值定理知，上连续，根据连续函数的介值定理知，存在存在 ，使，使因此因此,余项余项复化梯形求积算法实现复化梯形求积算法实现 （1 1）复化梯形公式计算步骤）复化梯形公式计算步骤 确定步长确定步长h=(b-a)/N (N h=(b-a)/N (N 为等分数为等分数 )对对k=1,2,k=1,2,N-1,N-1，计算，计算T=T+f(a+kh)T=T+f(a+kh)T=h T=h f(a)+2T+f(b)

37、f(a)+2T+f(b)/2/2第55页/共110页（2 2）复复化化梯梯形形公公式式的的流流程程图图第56页/共110页(3)(3)程序实现程序实现(见附录见附录A A-11 A-11 复化梯形求积法）复化梯形求积法）复化辛卜生公式及其误差复化辛卜生公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,记子区间记子区间的中点为的中点为 在每个小区间上应用辛卜生在每个小区间上应用辛卜生公式，则有公式，则有 记记 (6.6)(6.6)称为复化辛卜生公式称为复化辛卜生公式 第57页/共110页 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜生公式生公式(6

38、.6)的求积余项为的求积余项为如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分,内分点依次记内分点依次记 同理可得复化柯特斯公式同理可得复化柯特斯公式 求积余项为求积余项为第58页/共110页 复化求积公式的余项表明，只要被积函复化求积公式的余项表明，只要被积函数发数发f(x)f(x)所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在 a,b 上连续，上连续，那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为 、。因此当。因此当h0(即即n)时时,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个都收敛于积分

39、真值，且收敛速度一个比一个快。快。第59页/共110页复化辛卜生求积算法实现复化辛卜生求积算法实现（1 1）复化辛卜生公式计算步骤复化辛卜生公式计算步骤 确确定定步步长长h=(b-a)/N,S1=f(a+h/2),S2=0(N为等分数为等分数)对对k=1,2,=1,2,N-1，计算，计算S1=S1+f(a+kh+h/2),S2=S2+f(a+kh)S=h f(a)+4S1+2S2+f(b)/6/6第60页/共110页（2 2）复复化化辛辛卜卜生生公公式式流流程程图图第61页/共110页(3)(3)程序实现程序实现(见附录见附录A A-12 A-12复化辛卜生求积法复化辛卜生求积法)例例6.13

40、 6.13 依次用依次用n=8n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4n=4的复化的复化 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 解解:首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8,n=8时，时，见见P P136136由复化梯形公式由复化梯形公式(6.5)(6.5)可得如下计算公式：可得如下计算公式：第62页/共110页由复化辛卜生公式由复化辛卜生公式(6.6)(6.6)可得如下计算公式可得如下计算公式（积分积分准确值准确值I=0.9460831I=0.9460831）这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度

41、却差别较大，同积分的准算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字较，复化梯形法只有两位有效数字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。而复化辛卜生法却有六位有效数字。第63页/共110页例例6.14用复化梯形公式计算定积分用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过才能使误差不超过 解解:取取 ,则则 ,又区间长度又区间长度b-a=1b-a=1，对，对复化梯形公式有余项复化梯形公式有余项 即即 ,n212.85,n212.8

42、5，取，取n=213n=213，即将区间，即将区间0,10,1分为分为213213等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 。问区间问区间0,10,1应分多少等份应分多少等份第64页/共110页6.6 6.6 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积法）求积法 复复化化求求积积方方法法对对于于提提高高计计算算精精度度是是行行之之有有效效的的方方法法，但但复复化化公公式式的的一一个个主主要要缺缺点点在在于于要要先先估估计计出出步步长长。若若步步长长太太大大，则则难难以以保保证证计计算算精精度度，若若步步长长太太小小，则则计计算算量量太太大大，并并且且积积

43、累累误误差差也也会会增增大大。在在实实际际计计算算中中通通常常采采用用变变步步长长的的方方法法，即即把把步步长长逐逐次次分半，直至达到某种精度为止。分半，直至达到某种精度为止。变步长的梯形公式变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。定的精度实现步长的自动选取。第65页/共110页 设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，即分成等分，即

44、分成n个子区间，个子区间，一共有一共有n+1个节点，即个节点，即x=a+kh,k=0,1,，n，步长，步长 。对于某个子区间。对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分利用梯形公式计算积分近似值有近似值有对整个区间对整个区间a,ba,b有有第66页/共110页将子区间将子区间 再二等份再二等份,取其中点取其中点作新节点作新节点,此时区间数增加了一倍为此时区间数增加了一倍为2n,2n,对某个子区间对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值利用复化梯形公式计算其积分近似值。对整个区间对整个区间a,ba,b有有 比较比较 和和 有有(6.7)(6.7)(6.7)式式称为变称为变步长梯步长梯形公式形

45、公式第67页/共110页 当把积分区间分成当把积分区间分成n等份，用复化梯形等份，用复化梯形公式计算积分公式计算积分I的近似值的近似值 时，截断误差为时，截断误差为若把区间再分半为若把区间再分半为2n2n等份，计算出定积分等份，计算出定积分的近似值的近似值 ，则截断误差为，则截断误差为当当 在区间在区间a,ba,b上变化不大时上变化不大时,有有 所以所以 第68页/共110页 可见可见,当步长二分后误差将减至当步长二分后误差将减至 ,将将上式移项整理，可得验后误差估计式上式移项整理，可得验后误差估计式上式说明，只要二等份前后两个积分值上式说明，只要二等份前后两个积分值和和 相当接近，就可以保证

46、计算结果相当接近，就可以保证计算结果的误差很小，使的误差很小，使 接近于积分值接近于积分值I I。第69页/共110页 变步长的梯形求积算法实现变步长的梯形求积算法实现（1 1）变步长的梯形求积法的计算步骤）变步长的梯形求积法的计算步骤 变变步步长长梯梯形形求求积积法法。它它是是以以梯梯形形求求积积公公式式为为基基础础，逐逐步步减减少少步步长长，按按如如下下递递推推公公式式求求二二分分后后的的梯形值梯形值其中其中Tn和和T2n分别代表二等分前后的积分值分别代表二等分前后的积分值如果如果,(为给定的误差限为给定的误差限)则则T2n作为积分的近似值作为积分的近似值,否则继续进行二等分否则继续进行二

47、等分,即即转转再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值二分后的积分值T2n作为所求的结果作为所求的结果第70页/共110页（2 2）变变步步长长梯梯形形公公式式的的流流程程图图第71页/共110页(3)(3)程序实现程序实现(见附录见附录A A-13 A A-13 变步长梯形求积法变步长梯形求积法)例例6.15 6.15 用变步长梯形求积法计算定积分用变步长梯形求积法计算定积分解解:先对整个区间先对整个区间 0,10,1 用梯形公式用梯形公式,对于对于 所以有所以有 然后将区间二等份然后将区间二等份,由于由于 ,故有故有 进一步二分求积区间

48、进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值并计算新分点上的函数值 第72页/共110页有有这样不断二分下去，计算结果如这样不断二分下去，计算结果如P P139139列表所列表所示。积分的准确值为示。积分的准确值为0.94608310.9460831，从表中可，从表中可看出用变步长二分看出用变步长二分1010次可得此结果。次可得此结果。第73页/共110页龙贝格求积公式龙贝格求积公式 变变步步长长梯梯形形求求积积法法算算法法简简单单，但但精精度度较较差差，收收敛敛速速度度较较慢慢，但但可可以以利利用用梯梯形形法法算算法法简简单单的的优优点点，形形成成一一个个新新算算法法，这这就就是是龙龙贝贝格格

49、求求积积公公式式。龙龙贝贝格格公公式式又又称逐次分半加速法。称逐次分半加速法。根据积分区间分成根据积分区间分成n等份和等份和2n等份时的误差估计等份时的误差估计式式(6.8)可得可得所以积分值所以积分值 的误差大致等于的误差大致等于 ,如果用如果用 对对 进行修正时，进行修正时，与与 之和比之和比 更接近积分真值更接近积分真值,所以可以将所以可以将 看成是对看成是对 误差的一种补偿误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子因此可得到具有更好效果的式子.第74页/共110页(6.9)考察考察 与与n等份辛卜生公式等份辛卜生公式 之间的关系。将之间的关系。将复化梯形公式复化梯形公式梯形变步长公式

50、梯形变步长公式 代入代入(6.9)(6.9)表达式得表达式得 故故 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和和 作线性组合，结果却得到复化辛卜生公式计算得到作线性组合，结果却得到复化辛卜生公式计算得到的积分值的积分值 。第75页/共110页再考察辛卜生法。其截断误差与再考察辛卜生法。其截断误差与 成正比，因此，成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至如果将步长折半，则误差减至 ，即有，即有由此可得由此可得可以验证可以验证,上式右端的值其实等于上式右端的值其实等于C Cn n，就是说，用辛，就是说，用辛卜生公式二等份前后的两个积分值卜生公式二等份前后的两个积分