考研中值定理.pptx

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1、1例7分析1:第1页/共60页2分析2:例7第2页/共60页3例8分析从结论想证明1:由罗而定理，第3页/共60页4由罗而定理，例8第4页/共60页5证明2:则由已知条件得例8第5页/共60页6例9.证明不等式2.证明不等式证由上式得又即第6页/共60页7例10.设函数在上二阶可导,且证明由泰勒公式得两式相减得证第7页/共60页83.证明有关中值问题的结论题型一.例11.设分析：第8页/共60页9第9页/共60页10题型二.第10页/共60页11例12.设分析：用罗尔定理时找辅助函数的方法证第11页/共60页12例13.设证第12页/共60页13例14.设在内可导,且证明至少存在一点上连续,在

2、分析:问题转化为证：证明 设辅助函数显然故至少使即有存在一点第13页/共60页14分析:证明例1510年考研题第14页/共60页15总之，有关中值问题的解题方法:利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.第15页/共60页16存在(或为 )定理 1.(洛必达法则)推论1.定理 1 中换为之一,推论 2.若理1条件,则条件 2

3、)作相应的修改,定理 1 仍然成立.二、洛比达法则及其应用第16页/共60页17存在(或为)定理 2.(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.第17页/共60页18例1解例2解第18页/共60页19注意：1)条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件.例如,极限不存在也不是无穷大2)对有些极限失效对数列极限失效.对不存在时失效.第19页/共60页20有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：事实上：有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.如：第20页/共60页213)用洛必达法则之前应先(1)检查极限的类型是否为(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则

4、、变量代换等.注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.第21页/共60页22三、函数单调性的判别法若有若有设函数在上连续，内可导，在则在上单调增加.则在上单调减少.注意：判别法的条件是充分条件而非必要条件.问题：错！一个点不存在单调性第22页/共60页23四、函数的极值1.1.极值的定义：极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定对于该邻域内异于的点如果对适合不等式则称函数在点有极大值极大值如果对适合不等式函数在点有极小值极小值极大值、极小值极大值、极小值通称为通称为极值极值.称为称为极大点；极大

5、点；极大点、极小点极大点、极小点通称为通称为极值点极值点.极值定义：极值定义：极值点定义：极值点定义：将点则称称为称为极小点极小点.点义，第23页/共60页24注：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：极值：最值：最值：是对某个点的邻域而言、相对的、可以不是唯一的.极大值不一定都大于极小值极大值不一定都大于极小值.如何求极值？观察图形知：可导可导函数函数极值点极值点的的导数导数是是零零.是整体的、唯一的.是局部的、第24页/共60页252.2.取得取得极值的条件：极值的条件：设函数设函数在点处可导，可导，且在点(费马定理费马定理)那么那么处处取得极值，取得极值，注意注意1:1:可导

6、可导函数函数的的极值点极值点一定一定是它的是它的驻点，驻点，但但函数的函数的驻点驻点却却不一定是极值点不一定是极值点.可导函数可导函数的的极值点极值点驻点驻点即即如：如：是驻点，是驻点，但但不是极值点不是极值点.2:2:在在点连续但不可导，点连续但不可导，也可能是极值点也可能是极值点.如：如：连续不可导，连续不可导，却却是极小值点是极小值点.x xy yo o第25页/共60页26如：如：在在处连续不可导，处连续不可导，也也不是极值点不是极值点.3:3:极值点的极值点的可疑点：可疑点：驻点，不可导点驻点，不可导点.第26页/共60页273.3.取得取得极值的充分条件：极值的充分条件：设连续连续

7、函数的极值可疑点可疑点的一个邻域内在可除外 可导.到大经过点时，若(1)在的两侧，由正变负由正变负，则是极大值极大值.(2)在的两侧，由负变正由负变正，则是极小值极小值.不变号不变号，在的两侧，(3)则不是极值点不是极值点.左正右负极大左正右负极大左负右正极小左负右正极小左右同号无极值左右同号无极值当由小为(1)(1)第一第一充分条件：充分条件：第27页/共60页28(2)(2)第二第二充分条件：充分条件：设函数在点处具有二阶导数，那么函数在点处取得极大值；(2)当时，函数在点处取得极小值.且注意使用的条件：注意使用的条件：在在 x x0 0处可导处可导.对不可导点不能用对不可导点不能用.问题

8、：五、函数的最值1.闭区间a,b上连续函数的最值的求法(比较法)步骤:(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,就是最小值;比较大小,最大的数就是最大值,最小的数第28页/共60页292.在上连续，在内可导，且只有一个驻点，它是极大(小)点，则它一定是最大(小)值点.3.对于实际问题，且知最若在一定区间内有唯一驻点，大(小)值一定存在，而且一定在定义区间内取得，那么可以不必讨论是否为极值，就可断定该点就是最大(小)值点.六、曲线的凹凸性和拐点第29页/共60页301.定义：(1)若恒有(2)若恒有连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线

9、.第30页/共60页312.凹凸区间的求法如果在内具有二阶导数，若在内(1)(2)则曲线在内是凹的.则曲线在内是凸的.注意：该定理换成其它区间仍然成立.3.拐点的求法(第一充分条件)第31页/共60页32拐点的求法(第一充分条件)七、曲线的渐近线1.水平渐近线2.垂直渐近线3.斜渐近线第32页/共60页33曲线弯曲程度的描述曲率;曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.(2)曲率(3)曲率半径(1)弧微分:思考：曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.dydxds八、曲率、曲率半径第33页/共60页34典型例题分析题型一、证明不等式可以利用：1)单调性2)中值定理3)

10、泰勒公式4)凹凸性5)求最值第34页/共60页35例1证第35页/共60页36说明：1)用单调性证明不等式的步骤：将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数判断 的单调性.用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.2)为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.3)为证不等式 可用 的单调性.思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示:第36页/共60页37例2.证明证故时,单调增加,从而所以原不等式成立.第37页/共60页38例3分析 取对数第38页/共60页39(1)设是方程的一个解,则(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少

11、.提示:A(2)设则在点 a 处().B例4题型二、极值和拐点第39页/共60页40解(3)第40页/共60页41例5解第41页/共60页42例6.求函数的极值与拐点.解 定义区间为列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值拐点第42页/共60页43例7 求数列的最大项.证求导得列表判别:因此在处也取最大值.又因内只有唯一的极大点第43页/共60页44试问 为何值时,在时取得极值,解由题意应有又取得极大值为例8求出该极值,并指出它是极大还是极小.第44页/共60页45例9题型三、讨论方程根的个数.解第45页/共60页46oxy例9第46页/共60页47oxyoxy例9第47页/共

12、60页481)水平渐近线:2)垂直渐近线:3)斜渐近线:题型四.求曲线的渐近线第48页/共60页49解没有铅直渐近线所以它没有水平渐近线;例10第49页/共60页50单调增区间为 ;的连续性及导函数(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示:的正负作 f(x)的示意图.题型五、与曲线的图形有关的问题例11第50页/共60页51 .在区间 上是凸弧;拐点为 提示:的正负作 f(x)的示意图.形在区间 上是凹弧;则函数 f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,第51页/共60页52(3)设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 有()(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.2003数一、数二研第52页/共60页53题型六、利用泰勒公式求极限1、泰勒公式2、麦克劳林公式第53页/共60页54常用函数的麦克劳林公式第54页/共60页55(1)解第55页/共60页56(2)解第56页/共60页57谢谢大家！第57页/共60页58解极小极大第58页/共60页59极小极大极大值第59页/共60页60感谢您的观看！第60页/共60页